向量代数和空间解析几何

向量代数是空间解析几何的语言：空间中「平行、垂直、距离、夹角」的判断靠画图只能得到模糊结论，写成向量才成为可计算的代数条件。在没有向量之前，点、线、面只能各自为政；有了向量，几何与代数才第一次互相翻译。本课程按「认识向量 → 用好运算 → 落到空间 → 抽象为空间」的顺序展开：先建立自由向量、模与方向、共线共面等概念与坐标，再讲加法、数乘与线性组合这些定义「线性」的公理，以及点积、叉积、混合积这三件把角度、面积、体积变成数字的工具，然后用它们写出空间中点线面的方程、讨论位置关系并求距离与夹角，接着按标准方程辨认二次曲面，最后把「空间」抽象为向量空间，谈基、维数与坐标变换。读完你应该能熟练使用点积与叉积，能写出空间中点线面的方程并判断位置关系，能识别二次曲面，也能说清向量空间与基、维数的含义。