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向量代数和空间解析几何

向量的数量积（点积）

数量积的定义

数量积

设 a⃗=(a1,a2,a3)\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)，b⃗=(b1,b2,b3)\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)，则数量积定义为：

a⃗⋅b⃗=a1b1+a2b2+a3b3\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3

数量积的结果是一个标量，也称为点积。

几何意义

数量积的几何意义
a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta

其中 θ\theta 是两向量之间的夹角。

几何解释

  • 当 θ=0∘\theta = 0^\circ 时，cos⁡θ=1\cos\theta = 1，a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}|
  • 当 θ=90∘\theta = 90^\circ 时，cos⁡θ=0\cos\theta = 0，a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \cdot \vec{b} = 0
  • 当 θ=180∘\theta = 180^\circ 时，cos⁡θ=−1\cos\theta = -1，a⃗⋅b⃗=−∣a⃗∣∣b⃗∣\vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}| |\vec{b}|

性质

数量积的基本性质

交换律：a⃗⋅b⃗=b⃗⋅a⃗\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}

分配律：a⃗⋅(b⃗+c⃗)=a⃗⋅b⃗+a⃗⋅c⃗\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}

数乘结合律：(ka⃗)⋅b⃗=k(a⃗⋅b⃗)(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})

自内积：a⃗⋅a⃗=∣a⃗∣2\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2

应用

判断垂直

向量垂直的条件
a⃗⊥b⃗⇔a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0

计算夹角

向量夹角公式
cos⁡θ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}

向量投影

向量投影

向量 a⃗\vec{a}在 b⃗\vec{b}方向上的投影为：

a⃗⋅b⃗∣b⃗∣\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}

单位向量方向上的投影为：

a⃗⋅b⃗∣b⃗∣2b⃗\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \vec{b}

练习题

练习 1

已知 a⃗=(1,2,3)\vec{a} = (1, 2, 3)，b⃗=(4,0,−1)\vec{b} = (4, 0, -1)，求 a⃗⋅b⃗\vec{a} \cdot \vec{b}。

参考答案 (3 个标签)
数量积 坐标计算 向量运算

解题思路： 使用数量积的坐标计算公式。

详细步骤：

  1. a⃗⋅b⃗=1×4+2×0+3×(−1)\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 4 + 2 \times 0 + 3 \times (-1)
  2. =4+0−3=1= 4 + 0 - 3 = 1

答案：a⃗⋅b⃗=1\vec{a} \cdot \vec{b} = 1

练习 2

已知 a⃗=(1,2,3)\vec{a} = (1, 2, 3)，b⃗=(4,0,−1)\vec{b} = (4, 0, -1)，求两向量的夹角。

参考答案 (3 个标签)
向量夹角 数量积 几何意义

解题思路： 使用数量积计算夹角。

详细步骤：

  1. ∣a⃗∣=12+22+32=14|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}
  2. ∣b⃗∣=42+02+(−1)2=17|\vec{b}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{17}
  3. a⃗⋅b⃗=1\vec{a} \cdot \vec{b} = 1
  4. cos⁡θ=114×17=1238\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{14} \times \sqrt{17}} = \frac{1}{\sqrt{238}}
  5. θ=arccos⁡1238≈80.2∘\theta = \arccos\frac{1}{\sqrt{238}} \approx 80.2^\circ

答案：夹角约为 80.2∘80.2^\circ

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
a⃗⋅b⃗\vec{a} \cdot \vec{b}数量积dot product向量a和b的数量积
cos⁡θ\cos\theta余弦cosine theta角度的余弦值
⊥\perp垂直符号perpendicular垂直关系

中英对照

中文术语英文术语音标说明
数量积dot product/dɒt ˈprɒdʌkt/两个向量的标量积
点积scalar product/ˈskeɪlə ˈprɒdʌkt/数量积的别称
向量投影vector projection/ˈvɛktə prəˈdʒɛkʃən/向量在另一向量方向上的投影
垂直perpendicular/ˌpɜːrpənˈdɪkjələr/夹角为90度的关系
下一章节向量的向量积（叉积）学习向量的向量积定义、性质和几何意义。

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