空间平面

平面的一般式方程

$Ax + By + Cz + D = 0$

其中 $(A, B, C)$ 为平面的法向量。

法向量的几何意义

法向量 $\vec{n} = (A, B, C)$ 垂直于平面内的所有向量，与平面垂直。

系数的关系

A、B、C 不能全为零
D 由平面的位置决定
方程两边同时乘以非零常数不改变平面

平面的点法式方程

过点 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ ，法向量为 $\vec{n} = (A, B, C)$ 的平面方程为：

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

点法式的特点

直接给出法向量和平面上的点
便于从几何条件建立方程
形式直观，易于理解

平面的截距式方程

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$

其中 $a, b, c$ 分别为平面在 $x, y, z$ 轴上的截距。

截距的几何意义

$a$ ：平面与 x 轴交点的 x 坐标
$b$ ：平面与 y 轴交点的 y 坐标
$c$ ：平面与 z 轴交点的 z 坐标

平面的三点式方程

过三点 $P_1(x_1, y_1, z_1)$ ， $P_2(x_2, y_2, z_2)$ ， $P_3(x_3, y_3, z_3)$ 的平面方程为：

\begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = 0

三点式的推导

利用混合积为零的性质：三向量共面的充要条件是混合积为零。

方程间的转换

一般式 → 点法式

从 $Ax + By + Cz + D = 0$ 转换为：

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

其中 $P_0(x_0, y_0, z_0)$ 为平面上的点。

点法式 → 一般式

从点法式展开即可得到一般式。

截距式 → 一般式

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \Rightarrow \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} - 1 = 0$

练习题

练习 1

求过点 $A(1, 2, 3)$ ，法向量为 $(2, -1, 1)$ 的平面方程。

参考答案 (3 个标签)

平面方程点法式一般式

解题思路：使用点法式方程，然后转换为一般式。

详细步骤：

点法式方程： $2(x - 1) - (y - 2) + (z - 3) = 0$
展开： $2x - 2 - y + 2 + z - 3 = 0$
化简： $2x - y + z - 3 = 0$

答案：平面方程为 $2x - y + z - 3 = 0$

练习 2

求过三点 $A(1, 0, 0)$ ， $B(0, 1, 0)$ ， $C(0, 0, 1)$ 的平面方程。

参考答案 (3 个标签)

平面方程三点式法向量

解题思路：使用三点式方程或先求法向量再用点法式。

详细步骤：

法向量： $\vec{AB} = (-1, 1, 0)$ ， $\vec{AC} = (-1, 0, 1)$ $\vec{AB} \times \vec{AC} = (-1, 1, 0) \times (-1, 0, 1) = (1, 1, 1)$
点法式方程： $(x - 1) + y + z = 0$
化简： $x + y + z = 1$

答案：平面方程为 $x + y + z = 1$

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\vec{n} = (A, B, C)$	法向量	normal vector	平面的法向量
$P_0(x_0, y_0, z_0)$	点坐标	point coordinates	平面上的点
$a, b, c$	截距	intercepts	平面在坐标轴上的截距

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
平面的一般式方程	general equation of a plane	/ˈdʒɛnərəl ɪˈkweɪʒən əv ə pleɪn/	平面的标准方程形式
点法式方程	point-normal form	/pɔɪnt ˈnɔːrməl fɔːrm/	给出点和法向量的方程
截距式方程	intercept form	/ˈɪntərsɛpt fɔːrm/	给出三轴截距的方程
三点式方程	three-point form	/θriː pɔɪnt fɔːrm/	过三点的平面方程
法向量	normal vector	/ˈnɔːrməl ˈvɛktər/	垂直于平面的向量

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