抛物面

椭圆抛物面

椭圆抛物面是点的集合，其中点的 $z$ 坐标等于该点在 $xy$ 平面上的投影到原点的距离的平方。

标准方程

椭圆抛物面的标准方程

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 2z$

其中 $a, b > 0$ 。

几何性质

开口方向：沿正 $z$ 轴方向开口向上
顶点：在原点 $(0, 0, 0)$
对称性：关于 $xz$ 平面和 $yz$ 平面对称

截线性质

与平行于 $xz$ 平面的截线为抛物线
与平行于 $yz$ 平面的截线为抛物线
与平行于 $xy$ 平面的截线为椭圆

双曲抛物面

双曲抛物面是点的集合，其中点的 $z$ 坐标等于该点在 $xy$ 平面上的投影坐标的线性组合。

标准方程

双曲抛物面的标准方程

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 2z$

其中 $a, b > 0$ 。

几何性质

开口方向：沿 $x$ 轴方向开口向上，沿 $y$ 轴方向开口向下
鞍点：在原点 $(0, 0, 0)$ 处形成鞍形
对称性：关于 $xz$ 平面和 $yz$ 平面对称

截线性质

与平行于 $xz$ 平面的截线为抛物线
与平行于 $yz$ 平面的截线为抛物线
与平行于 $xy$ 平面的截线为双曲线

抛物面的性质

渐进行为

椭圆抛物面：当 $z \to +\infty$ 时，横截面椭圆无限增大
双曲抛物面：具有渐近锥面，开口向无穷大

曲率

椭圆抛物面：只有一个主曲率方向
双曲抛物面：有两个相反的主曲率方向，形成鞍形曲面

应用

椭圆抛物面：卫星天线、汽车前灯反射面
双曲抛物面：建筑设计中的鞍形屋顶、冷却塔

练习题

练习 1

判断曲面 $x^2 + y^2 = 2z$ 的类型。

参考答案 (3 个标签)

抛物面方程识别椭圆抛物面

解题思路：将方程化为标准形式。

详细步骤：

原方程： $x^2 + y^2 = 2z$
标准形式： $\frac{x^2}{1^2} + \frac{y^2}{1^2} = 2z$
这是椭圆抛物面的标准方程

答案：这是椭圆抛物面，开口向上

练习 2

判断曲面 $x^2 - y^2 = 2z$ 的类型。

参考答案 (3 个标签)

抛物面方程识别双曲抛物面

解题思路：识别双曲抛物面的标准形式。

详细步骤：

原方程： $x^2 - y^2 = 2z$
标准形式： $\frac{x^2}{1^2} - \frac{y^2}{1^2} = 2z$
这是双曲抛物面的标准方程

答案：这是双曲抛物面，形成鞍形曲面

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 2z$	椭圆抛物面	elliptic paraboloid	椭圆抛物面的标准方程
$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 2z$	双曲抛物面	hyperbolic paraboloid	双曲抛物面的标准方程

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
椭圆抛物面	elliptic paraboloid	/ɪˈlɪptɪk pəˈræbəlɔɪd/	具有椭圆截线的抛物面
双曲抛物面	hyperbolic paraboloid	/haɪˈpɜːrbɒlɪk pəˈræbəlɔɪd/	具有双曲线截线的抛物面
鞍形曲面	saddle surface	/ˈsædl ˈsɜːrfɪs/	具有鞍点的曲面
渐近锥面	asymptotic cone	/ˌæsɪmˈtɒtɪk koʊn/	曲面的渐近线构成的锥面

上一章节椭球面学习椭球面的标准方程、性质和几何特征。下一章节双曲面学习单叶双曲面和双叶双曲面的定义和性质。

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