柱面

椭圆柱面

椭圆柱面是以椭圆为准线，沿平行于椭圆所在平面且垂直于该平面的直线方向移动形成的曲面。

标准方程

椭圆柱面的标准方程

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

其中 $a, b > 0$ 。

几何性质

母线：平行于 $z$ 轴的直线
准线： $xy$ 平面上的椭圆
截线：与平行于 $xy$ 平面的截线为椭圆

抛物柱面

抛物柱面是以抛物线为准线，沿平行于抛物线所在平面且垂直于该平面的直线方向移动形成的曲面。

标准方程

抛物柱面的标准方程

$y^2 = 2px$

其中 $p > 0$ 。

几何性质

母线：平行于 $z$ 轴的直线
准线： $xy$ 平面上的抛物线
截线：与平行于 $xz$ 平面的截线为抛物线

双曲柱面

双曲柱面是以双曲线为准线，沿平行于双曲线所在平面且垂直于该平面的直线方向移动形成的曲面。

标准方程

双曲柱面的标准方程

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

其中 $a, b > 0$ 。

几何性质

母线：平行于 $z$ 轴的直线
准线： $xy$ 平面上的双曲线
截线：与平行于 $xz$ 平面的截线为双曲线

柱面的性质

方程特点

柱面方程中不包含生成方向的变量：

椭圆柱面：方程中不含 $z$
抛物柱面：方程中不含 $z$
双曲柱面：方程中不含 $z$

对称性

椭圆柱面：关于 $yz$ 和 $xz$ 平面对称
抛物柱面：关于 $xz$ 平面对称
双曲柱面：关于 $xz$ 和 $yz$ 平面对称

无穷性

柱面都是无穷延伸的曲面，没有边界。

特殊情况

圆柱面

当椭圆柱面中 $a = b = r$ 时，成为圆柱面：

$x^2 + y^2 = r^2$

退化柱面

当椭圆柱面中 $a$ 或 $b$ 趋于无穷大时，会退化为平面。

练习题

练习 1

判断曲面 $x^2 + y^2 = 4$ 的类型。

参考答案 (3 个标签)

柱面方程识别圆柱面

解题思路：识别柱面方程的特点。

详细步骤：

方程： $x^2 + y^2 = 4$
方程中不含 $z$ ，这是柱面
截线为圆： $x^2 + y^2 = 4$
这是圆柱面

答案：这是圆柱面，轴平行于 $z$ 轴

练习 2

判断曲面 $y^2 = 2x$ 的类型。

参考答案 (3 个标签)

柱面方程识别抛物柱面

解题思路：识别抛物柱面的标准形式。

详细步骤：

方程： $y^2 = 2x$
方程中不含 $z$
这是抛物线 $y^2 = 2x$ 沿 $z$ 轴方向移动形成的柱面
这是抛物柱面

答案：这是抛物柱面，开口向右

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$	椭圆柱面	elliptic cylinder	椭圆柱面的标准方程
$y^2 = 2px$	抛物柱面	parabolic cylinder	抛物柱面的标准方程
$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$	双曲柱面	hyperbolic cylinder	双曲柱面的标准方程

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
椭圆柱面	elliptic cylinder	/ɪˈlɪptɪk ˈsɪlɪndər/	以椭圆为准线的柱面
抛物柱面	parabolic cylinder	/pəˈræbəlɪk ˈsɪlɪndər/	以抛物线为准线的柱面
双曲柱面	hyperbolic cylinder	/haɪˈpɜːrbɒlɪk ˈsɪlɪndər/	以双曲线为准线的柱面
母线	generator	/ˈdʒɛnəreɪtər/	柱面的生成直线
准线	directrix	/dəˈrɛktriks/	柱面的基准曲线

上一章节双曲面学习单叶双曲面和双叶双曲面的定义和性质。下一章节锥面学习椭圆锥面的定义和性质。

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