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向量场的概念

从标量场到向量场

如果空间区域内每一点都对应一个数量，就形成了标量场（如温度场、密度场、电势场）。如果空间区域内每一点都对应一个向量，就形成了向量场（如流速场、力场、电场、磁场）。向量场是描述自然界中”分布性向量”的数学工具。

向量场的定义

向量场

设 Ω\Omega 是空间（或平面）中的一个区域，如果对于 Ω\Omega 中的每一点 M(x,y,z)M(x,y,z)，都有一个确定的向量 F⃗(x,y,z)\vec{F}(x,y,z) 与之对应，则称在 Ω\Omega 上定义了一个向量场 F⃗\vec{F}。

空间向量场可以表示为： F⃗(x,y,z)=P(x,y,z)i⃗+Q(x,y,z)j⃗+R(x,y,z)k⃗=(P,Q,R)\vec{F}(x,y,z) = P(x,y,z)\vec{i} + Q(x,y,z)\vec{j} + R(x,y,z)\vec{k} = (P, Q, R)

平面向量场可以表示为： F⃗(x,y)=P(x,y)i⃗+Q(x,y)j⃗=(P,Q)\vec{F}(x,y) = P(x,y)\vec{i} + Q(x,y)\vec{j} = (P, Q)

其中 P,Q,RP, Q, R 是定义在 Ω\Omega 上的数量函数，称为向量场的分量。

向量场的分类

  • 平面向量场：定义在二维平面上的向量场，如平面流速场
  • 空间向量场：定义在三维空间中的向量场，如空间流速场、引力场
  • 定常向量场：向量场不随时间变化，F⃗=F⃗(x,y,z)\vec{F} = \vec{F}(x,y,z)
  • 非定常向量场：向量场随时间变化，F⃗=F⃗(x,y,z,t)\vec{F} = \vec{F}(x,y,z,t)

本课程只讨论定常向量场。

场线（向量线）

场线

场线（又称向量线）是这样一条曲线：在曲线上每一点处，曲线的切线方向与该点处向量场的方向一致。

  • 流速场的场线称为流线
  • 电场的场线称为电力线
  • 磁场的场线称为磁力线

场线的微分方程

设场线的参数方程为 r⃗(t)=(x(t),y(t),z(t))\vec{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))，则切向量为 (dxdt,dydt,dzdt)(\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt})，它与向量场 (P,Q,R)(P,Q,R) 平行，因此场线满足微分方程：

dxP=dyQ=dzR\frac{dx}{P} = \frac{dy}{Q} = \frac{dz}{R}

平面向量场的场线满足：

dxP=dyQ\frac{dx}{P} = \frac{dy}{Q}

常见向量场举例

1. 流速场

流体在空间中流动时，每一点处都有一个流速向量，形成流速场。例如：

  • 河水的流动
  • 空气的流动（风场）
  • 管道内流体的流动

2. 引力场

质量为 MM 的质点在空间中产生的引力场：

F⃗=−GMmr2e⃗r=−GMmr3r⃗\vec{F} = -\frac{GMm}{r^2}\vec{e}_r = -\frac{GMm}{r^3}\vec{r}

其中 r⃗=(x,y,z)\vec{r} = (x,y,z) 是从质点指向场点的位置向量，r=∣r⃗∣r = |\vec{r}|，e⃗r=r⃗r\vec{e}_r = \frac{\vec{r}}{r} 是径向单位向量。负号表示引力指向质点（吸引力）。

3. 静电场

点电荷 qq 产生的静电场：

E⃗=q4πε0r2e⃗r=q4πε0r3r⃗\vec{E} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{e}_r = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\vec{r}

正电荷的电场线从电荷出发向外辐射，负电荷的电场线向内汇聚。

4. 磁场

无限长直导线通有电流 II 时产生的磁场（柱坐标下）：

B⃗=μ0I2πρe⃗θ\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{2\pi\rho}\vec{e}_\theta

磁场线是围绕导线的同心圆。

5. 刚体旋转速度场

刚体以角速度 ω⃗\vec{\omega} 绕原点旋转时，速度场为：

v⃗=ω⃗×r⃗\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}

例如绕 zz 轴以角速度 ω\omega 旋转时，v⃗=(−ωy,ωx,0)\vec{v} = (-\omega y, \omega x, 0)，场线是同心圆。

典型例题

例题1：求场线方程

求向量场 F⃗=(−y,x)\vec{F} = (-y, x) 的场线方程。

参考答案(4 个标签)
向量场场线微分方程同心圆

解题思路： 场线满足微分方程 dxP=dyQ\frac{dx}{P} = \frac{dy}{Q}，解此微分方程。

详细步骤：

  1. P=−y, Q=xP = -y, \, Q = x
  2. 场线微分方程：dx−y=dyx\frac{dx}{-y} = \frac{dy}{x}
  3. 交叉相乘：x dx=−y dyx \, dx = -y \, dy
  4. 积分：x22=−y22+C\frac{x^2}{2} = -\frac{y^2}{2} + C，即 x2+y2=C1x^2 + y^2 = C_1
  5. 场线是以原点为圆心的同心圆。

答案：场线方程为 x2+y2=Cx^2 + y^2 = C（同心圆）

例题2：引力场的场线

分析引力场 F⃗=−kr3r⃗\vec{F} = -\frac{k}{r^3}\vec{r} 的场线特征。

参考答案(4 个标签)
向量场引力场场线径向场

解题思路： 引力场是径向场，方向指向原点，分析场线的形状和方向。

详细步骤：

  1. F⃗=−kr3(x,y,z)\vec{F} = -\frac{k}{r^3}(x, y, z)，方向与位置向量 r⃗\vec{r} 相反，即指向原点。
  2. 场线微分方程：dx−kx/r3=dy−ky/r3=dz−kz/r3\frac{dx}{-kx/r^3} = \frac{dy}{-ky/r^3} = \frac{dz}{-kz/r^3}，即 dxx=dyy=dzz\frac{dx}{x} = \frac{dy}{y} = \frac{dz}{z}
  3. 解得场线为从无穷远指向原点的射线（直线）。
  4. 场线方向：指向原点（汇聚于原点）。
  5. 场线疏密：越靠近原点，场线越密（场强越大，∣F⃗∣=k/r2|\vec{F}| = k/r^2）。

答案：引力场的场线是指向原点的径向射线，汇聚于原点，越靠近原点越密。

练习题

练习1

求向量场 F⃗=(x,y)\vec{F} = (x, y) 的场线方程。

参考答案(4 个标签)
向量场场线微分方程径向场

解题思路： 场线微分方程 dxx=dyy\frac{dx}{x} = \frac{dy}{y}。

详细步骤：

  1. dxx=dyy\frac{dx}{x} = \frac{dy}{y}
  2. 积分：ln⁡∣x∣=ln⁡∣y∣+C\ln|x| = \ln|y| + C，即 y=Cxy = Cx
  3. 场线是从原点出发的射线（直线）。

答案：场线方程为 y=Cxy = Cx（过原点的直线）

练习2

求向量场 F⃗=(y,−x)\vec{F} = (y, -x) 的场线方程，并指出场线方向。

参考答案(4 个标签)
向量场场线微分方程顺时针旋转

解题思路： 场线微分方程 dxy=dy−x\frac{dx}{y} = \frac{dy}{-x}。

详细步骤：

  1. dxy=dy−x⇒−x dx=y dy\frac{dx}{y} = \frac{dy}{-x} \Rightarrow -x \, dx = y \, dy
  2. 积分：−x22=y22+C-\frac{x^2}{2} = \frac{y^2}{2} + C，即 x2+y2=C1x^2 + y^2 = C_1
  3. 场线是同心圆。
  4. 方向：在点 (1,0)(1,0) 处，F⃗=(0,−1)\vec{F} = (0,-1)，方向向下，因此场线为顺时针方向。

答案：场线为同心圆 x2+y2=Cx^2+y^2=C，顺时针方向。

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
F⃗(x,y,z)\vec{F}(x,y,z)向量场vector field定义在空间区域上的向量值函数
(P,Q,R)(P, Q, R)向量场分量components向量场在三个坐标轴上的分量
r⃗\vec{r}位置向量position vector从原点到点(x,y,z)的向量
rr距离distance点到原点的距离，r=∥r⃗∥r=\|\vec{r}\|
e⃗r\vec{e}_r径向单位向量radial unit vectorr⃗/r\vec{r}/r，径向单位向量
e⃗θ\vec{e}_\theta角向单位向量angular unit vector垂直于径向的角向单位向量

中英对照

中文术语英文术语音标说明
向量场vector field/ˈvɛktər fiːld/每点对应一个向量的场
标量场scalar field/ˈskeɪlər fiːld/每点对应一个数量的场
场线field line/fiːld laɪn/切线方向与向量场一致的曲线
向量线vector line/ˈvɛktər laɪn/即场线
流线streamline/ˈstriːmlaɪn/流速场的场线
电力线electric field line/ɪˈlɛktrɪk fiːld laɪn/电场的场线
磁力线magnetic field line/mæɡˈnɛtɪk fiːld laɪn/磁场的场线
流速场velocity field/vəˈlɒsəti fiːld/流体速度分布形成的向量场
力场force field/fɔːrs fiːld/力分布形成的向量场
引力场gravitational field/ˌɡrævɪˈteɪʃənəl fiːld/万有引力形成的向量场
静电场electrostatic field/ɪˌlɛktroʊˈstætɪk fiːld/静止电荷产生的电场
定常场steady field/ˈstɛdi fiːld/不随时间变化的场
非定常场unsteady field/ʌnˈstɛdi fiːld/随时间变化的场
径向场radial field/ˈreɪdiəl fiːld/方向沿径向的向量场
上一章节向量场理论学习向量场的概念、梯度散度旋度、有势场与无源场，以及通量与环流量的物理意义。
下一章节梯度、散度与旋度学习梯度、散度和旋度三大微分算子的定义、几何意义、物理意义与计算方法。
多元函数积分学