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多元函数积分学

极坐标与柱坐标变换

统一视角

极坐标变换和柱坐标变换本质上是同一种变换在不同维度的体现：它们都是将”直角坐标”转换为”极径 + 极角 (+ 竖坐标)“的坐标系。极坐标用于二维，柱坐标用于三维（极坐标 + zz 轴）。

极坐标变换

变换公式与雅可比

极坐标变换

{x=ρcos⁡θy=ρsin⁡θ\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \end{cases}

雅可比行列式： J=∂(x,y)∂(ρ,θ)=∣cos⁡θ−ρsin⁡θsin⁡θρcos⁡θ∣=ρcos⁡2θ+ρsin⁡2θ=ρJ = \frac{\partial(x,y)}{\partial(\rho,\theta)} = \begin{vmatrix} \cos\theta & -\rho\sin\theta \\ \sin\theta & \rho\cos\theta \end{vmatrix} = \rho\cos^2\theta + \rho\sin^2\theta = \rho

面积元素：dσ=dx dy=∣J∣ dρ dθ=ρ dρ dθd\sigma = dx\,dy = |J| \, d\rho \, d\theta = \rho \, d\rho \, d\theta

换元公式： ∬Df(x,y) dx dy=∬D′f(ρcos⁡θ,ρsin⁡θ)⋅ρ dρ dθ\iint_D f(x,y) \, dx\,dy = \iint_{D'} f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta) \cdot \rho \, d\rho \, d\theta

适用场景

常见极坐标区域的积分限

区域直角坐标极坐标积分限
圆（原点为心）x2+y2≤R2x^2+y^2 \leq R^20≤ρ≤R, 0≤θ≤2π0 \leq \rho \leq R, \, 0 \leq \theta \leq 2\pi
环形R12≤x2+y2≤R22R_1^2 \leq x^2+y^2 \leq R_2^2R1≤ρ≤R2, 0≤θ≤2πR_1 \leq \rho \leq R_2, \, 0 \leq \theta \leq 2\pi
扇形x2+y2≤R2, α≤θ≤βx^2+y^2 \leq R^2, \, \alpha \leq \theta \leq \beta0≤ρ≤R, α≤θ≤β0 \leq \rho \leq R, \, \alpha \leq \theta \leq \beta
偏心圆（x轴上）x2+y2≤2axx^2+y^2 \leq 2ax0≤ρ≤2acos⁡θ, −π/2≤θ≤π/20 \leq \rho \leq 2a\cos\theta, \, -\pi/2 \leq \theta \leq \pi/2
偏心圆（y轴上）x2+y2≤2ayx^2+y^2 \leq 2ay0≤ρ≤2asin⁡θ, 0≤θ≤π0 \leq \rho \leq 2a\sin\theta, \, 0 \leq \theta \leq \pi
心形线ρ≤a(1+cos⁡θ)\rho \leq a(1+\cos\theta)0≤ρ≤a(1+cos⁡θ), 0≤θ≤2π0 \leq \rho \leq a(1+\cos\theta), \, 0 \leq \theta \leq 2\pi

柱坐标变换

变换公式与雅可比

柱坐标变换

{x=ρcos⁡θy=ρsin⁡θz=z\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \\ z = z \end{cases}

雅可比行列式： J=∂(x,y,z)∂(ρ,θ,z)=∣cos⁡θ−ρsin⁡θ0sin⁡θρcos⁡θ0001∣=ρJ = \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\theta,z)} = \begin{vmatrix} \cos\theta & -\rho\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \rho\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \rho

体积元素：dv=dx dy dz=∣J∣ dρ dθ dz=ρ dρ dθ dzdv = dx\,dy\,dz = |J| \, d\rho \, d\theta \, dz = \rho \, d\rho \, d\theta \, dz

换元公式： ∭Ωf(x,y,z) dv=∭Ω′f(ρcos⁡θ,ρsin⁡θ,z)⋅ρ dρ dθ dz\iiint_\Omega f(x,y,z) \, dv = \iiint_{\Omega'} f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta, z) \cdot \rho \, d\rho \, d\theta \, dz

适用场景

柱坐标下积分限的确定

柱坐标下三重积分通常有两种积分顺序：

方法一：先对 zz 积分（先一后二） ∫θ1θ2dθ∫ρ1(θ)ρ2(θ)ρ dρ∫z1(ρ,θ)z2(ρ,θ)f(ρcos⁡θ,ρsin⁡θ,z) dz\int_{\theta_1}^{\theta_2} d\theta \int_{\rho_1(\theta)}^{\rho_2(\theta)} \rho \, d\rho \int_{z_1(\rho,\theta)}^{z_2(\rho,\theta)} f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta, z) \, dz

方法二：先对 ρ,θ\rho, \theta 积分（先二后一） ∫z1z2dz∬Dzf(ρcos⁡θ,ρsin⁡θ,z)ρ dρ dθ\int_{z_1}^{z_2} dz \iint_{D_z} f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta, z) \rho \, d\rho \, d\theta

其中 DzD_z 是垂直于 zz 轴的截面在极坐标下的表示。

极坐标与柱坐标的关系

柱坐标可以看作”极坐标 + zz 轴”的组合：

  • 在 xOyxOy 平面上使用极坐标 (ρ,θ)(\rho, \theta)
  • 在 zz 方向保持直角坐标 zz
  • 雅可比行列式就是极坐标的雅可比 ρ\rho（因为 zz 方向没有缩放）

这就是为什么柱坐标的体积元素是 ρ dρ dθ dz\rho \, d\rho \, d\theta \, dz——极坐标部分贡献 ρ dρ dθ\rho \, d\rho \, d\theta，zz 方向贡献 dzdz。

典型例题

例题1：极坐标计算圆域积分

计算 ∬De−(x2+y2) dx dy\iint_D e^{-(x^2+y^2)} \, dx\,dy，其中 D:x2+y2≤R2D: x^2+y^2 \leq R^2。

参考答案
极坐标圆域高斯积分指数函数

解题思路： 圆域 + 被积函数含 x2+y2x^2+y^2，极坐标变换。

详细步骤：

  1. 极坐标：0≤ρ≤R, 0≤θ≤2π0 \leq \rho \leq R, \, 0 \leq \theta \leq 2\pi
  2. ∬De−(x2+y2)dx dy=∫02πdθ∫0Re−ρ2⋅ρ dρ=2π⋅[−12e−ρ2]0R=π(1−e−R2)\iint_D e^{-(x^2+y^2)} dx\,dy = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^R e^{-\rho^2} \cdot \rho \, d\rho = 2\pi \cdot \left[-\frac{1}{2}e^{-\rho^2}\right]_0^R = \pi(1 - e^{-R^2})

答案：π(1−e−R2)\pi(1 - e^{-R^2})

（当 R→∞R \to \infty 时，得到泊松积分 ∬R2e−(x2+y2)dx dy=π\iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2+y^2)} dx\,dy = \pi）

例题2：柱坐标计算旋转体积分

计算 ∭Ω(x2+y2) dv\iiint_\Omega (x^2+y^2) \, dv，其中 Ω\Omega 由 x2+y2=2zx^2+y^2 = 2z 和 z=2z = 2 围成。

参考答案
柱坐标旋转抛物面三重积分

解题思路： 旋转抛物面区域，柱坐标变换。

详细步骤：

  1. 交线：x2+y2=4x^2+y^2 = 4，投影区域 D:x2+y2≤4D: x^2+y^2 \leq 4
  2. 柱坐标：0≤θ≤2π, 0≤ρ≤2, ρ22≤z≤20 \leq \theta \leq 2\pi, \, 0 \leq \rho \leq 2, \, \frac{\rho^2}{2} \leq z \leq 2
  3. ∭Ω(x2+y2)dv=∫02πdθ∫02ρ dρ∫ρ2/22ρ2 dz=2π∫02ρ3(2−ρ22)dρ=2π∫02(2ρ3−ρ52)dρ=2π[ρ42−ρ612]02=2π(8−163)=16π3\iiint_\Omega (x^2+y^2) dv = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^2 \rho \, d\rho \int_{\rho^2/2}^2 \rho^2 \, dz = 2\pi \int_0^2 \rho^3\left(2 - \frac{\rho^2}{2}\right) d\rho = 2\pi \int_0^2 (2\rho^3 - \frac{\rho^5}{2}) d\rho = 2\pi\left[\frac{\rho^4}{2} - \frac{\rho^6}{12}\right]_0^2 = 2\pi\left(8 - \frac{16}{3}\right) = \frac{16\pi}{3}

答案：16π3\frac{16\pi}{3}

例题3：极坐标下的偏心圆

计算 ∬Dx2+y2 dx dy\iint_D \sqrt{x^2+y^2} \, dx\,dy，其中 D:x2+y2≤2xD: x^2+y^2 \leq 2x。

参考答案
极坐标偏心圆圆域

解题思路： 偏心圆 x2+y2≤2xx^2+y^2 \leq 2x，极坐标下 ρ≤2cos⁡θ\rho \leq 2\cos\theta。

详细步骤：

  1. 极坐标：ρ2≤2ρcos⁡θ⇒ρ≤2cos⁡θ\rho^2 \leq 2\rho\cos\theta \Rightarrow \rho \leq 2\cos\theta
  2. 由 ρ≥0\rho \geq 0 得 cos⁡θ≥0\cos\theta \geq 0，即 −π2≤θ≤π2-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}
  3. ∬Dx2+y2dx dy=∫−π/2π/2dθ∫02cos⁡θρ⋅ρ dρ=∫−π/2π/2[ρ33]02cos⁡θdθ=83∫−π/2π/2cos⁡3θ dθ=163∫0π/2cos⁡3θ dθ=163⋅23=329\iint_D \sqrt{x^2+y^2} dx\,dy = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta \int_0^{2\cos\theta} \rho \cdot \rho \, d\rho = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \left[\frac{\rho^3}{3}\right]_0^{2\cos\theta} d\theta = \frac{8}{3}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^3\theta \, d\theta = \frac{16}{3}\int_0^{\pi/2} \cos^3\theta \, d\theta = \frac{16}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{32}{9}

答案：329\frac{32}{9}

练习题

练习1

计算 ∬Dln⁡(1+x2+y2) dx dy\iint_D \ln(1+x^2+y^2) \, dx\,dy，其中 D:x2+y2≤1D: x^2+y^2 \leq 1。

参考答案
极坐标圆域对数函数分部积分

解题思路： 圆域上的积分，极坐标变换后分部积分。

详细步骤：

  1. 极坐标：0≤ρ≤1, 0≤θ≤2π0 \leq \rho \leq 1, \, 0 \leq \theta \leq 2\pi
  2. ∬Dln⁡(1+ρ2)⋅ρ dρ dθ=2π∫01ρln⁡(1+ρ2)dρ\iint_D \ln(1+\rho^2) \cdot \rho \, d\rho \, d\theta = 2\pi \int_0^1 \rho\ln(1+\rho^2) d\rho
  3. 令 t=1+ρ2t=1+\rho^2，dt=2ρdρdt=2\rho d\rho：=π∫12ln⁡t dt=π[tln⁡t−t]12=π(2ln⁡2−1)= \pi \int_1^2 \ln t \, dt = \pi[t\ln t - t]_1^2 = \pi(2\ln 2 - 1)

答案：π(2ln⁡2−1)\pi(2\ln 2 - 1)

练习2

计算 ∭Ωz dv\iiint_\Omega z \, dv，其中 Ω:x2+y2+z2≤4, z≥x2+y2\Omega: x^2+y^2+z^2 \leq 4, \, z \geq \sqrt{x^2+y^2}（球锥区域）。

参考答案
柱坐标球锥区域圆锥面球面

解题思路： 球锥区域，可以用柱坐标（也可以用球坐标）。

详细步骤：

  1. 交线：z=x2+y2z = \sqrt{x^2+y^2} 代入 x2+y2+z2=4x^2+y^2+z^2=4 得 2(x2+y2)=42(x^2+y^2)=4，即 x2+y2=2x^2+y^2=2，z=2z=\sqrt{2}
  2. 柱坐标：0≤θ≤2π, 0≤ρ≤2, ρ≤z≤4−ρ20 \leq \theta \leq 2\pi, \, 0 \leq \rho \leq \sqrt{2}, \, \rho \leq z \leq \sqrt{4-\rho^2}
  3. ∭Ωz dv=∫02πdθ∫02ρ dρ∫ρ4−ρ2z dz=2π∫02ρ⋅12[(4−ρ2)−ρ2]dρ=π∫02ρ(4−2ρ2)dρ=π∫02(4ρ−2ρ3)dρ=π[2ρ2−ρ42]02=π(4−2)=2π\iiint_\Omega z \, dv = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\sqrt{2}} \rho \, d\rho \int_\rho^{\sqrt{4-\rho^2}} z \, dz = 2\pi \int_0^{\sqrt{2}} \rho \cdot \frac{1}{2}[(4-\rho^2) - \rho^2] d\rho = \pi \int_0^{\sqrt{2}} \rho(4-2\rho^2) d\rho = \pi \int_0^{\sqrt{2}} (4\rho - 2\rho^3) d\rho = \pi[2\rho^2 - \frac{\rho^4}{2}]_0^{\sqrt{2}} = \pi(4 - 2) = 2\pi

答案：2π2\pi

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
ρ\rho极径rho点到原点/z轴的距离
θ\theta极角theta与x轴正方向的夹角
zz竖坐标z coordinate柱坐标中的竖坐标，与直角坐标相同
ρ dρ dθ\rho \, d\rho \, d\theta极坐标面积元素polar area element极坐标系下的面积微元
ρ dρ dθ dz\rho \, d\rho \, d\theta \, dz柱坐标体积元素cylindrical volume element柱坐标系下的体积微元

中英对照

中文术语英文术语音标说明
极坐标变换polar coordinate transformation/ˈpoʊlər koʊˈɔːrdɪneɪt ˌtrænsfərˈmeɪʃən/直角坐标到极坐标的变换
柱坐标变换cylindrical coordinate transformation/sɪˈlɪndrɪkəl koʊˈɔːrdɪneɪt ˌtrænsfərˈmeɪʃən/直角坐标到柱坐标的变换
极径polar radius/ˈpoʊlər ˈreɪdiəs/点到原点的距离
极角polar angle/ˈpoʊlər ˈæŋɡəl/与x轴的夹角
圆域circular domain/ˈsɜːrkjələr doʊˈmeɪn/圆形积分区域
旋转体solid of revolution/ˈsɒlɪd əv ˌrɛvəˈluːʃən/由平面曲线绕轴旋转而成的立体
偏心圆eccentric circle/ɪkˈsɛntrɪk ˈsɜːrkəl/圆心不在原点的圆
心形线cardioid/ˈkɑːrdiɔɪd/极坐标曲线 ρ=a(1+cos⁡θ)\rho = a(1+\cos\theta)
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变量替换的一般公式与雅可比行列式
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