格林公式

格林公式的故事

一位磨坊主的数学遗产

1793年，乔治·格林（George Green）出生在英国诺丁汉郡的一个磨坊主家庭。他几乎没有受过正规教育，大部分时间在父亲的磨坊里工作。然而，这位自学成才的数学天才在1828年自费出版了一本小册子——《数学分析在电磁理论中的应用》，其中包含了后来以他名字命名的格林公式和格林函数。

格林的工作在当时几乎无人问津，直到他去世后，开尔文勋爵发现了这本小册子的价值，将其推荐给数学界。如今，格林公式已成为向量分析、偏微分方程、电磁学等领域的基石。

从”边界”到”内部”的桥梁

格林公式揭示了一个深刻的数学思想：区域内部的积分可以用区域边界上的积分来表示。这一思想贯穿了整个多元积分学——格林公式（二维）、高斯公式（三维）、斯托克斯公式（三维曲面）都是这一思想的不同表现。

格林公式的深入理解

公式的精确表述

正向的规定

两种形式的格林公式

格林公式有两种等价形式：

1. 旋度形式（上述公式）：$\oint_L P \, dx + Q \, dy = \iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) dx\,dy$

2. 散度形式（通量形式）： $\oint_L (P\cos\alpha + Q\cos\beta) ds = \iint_D \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} \right) dx\,dy$ 其中 $(\cos\alpha, \cos\beta)$ 是边界曲线的外法向量。这是高斯公式在二维的对应。

证明思路

格林公式的证明可以分为三步：

第一步：X型区域

设 $D$ 是 $X$ 型区域：$a \leq x \leq b, \, \varphi_1(x) \leq y \leq \varphi_2(x)$。

$\iint_D \frac{\partial P}{\partial y} dx\,dy = \int_a^b dx \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} \frac{\partial P}{\partial y} dy = \int_a^b [P(x,\varphi_2(x)) - P(x,\varphi_1(x))] dx$

而沿边界的曲线积分： $\oint_L P \, dx = \int_{L_1} P \, dx + \int_{L_2} P \, dx = \int_a^b P(x,\varphi_1(x)) dx - \int_a^b P(x,\varphi_2(x)) dx$ （注意 $L_2$ 的方向是从 $b$ 到 $a$）

因此 $-\iint_D \frac{\partial P}{\partial y} dx\,dy = \oint_L P \, dx$。

第二步：Y型区域

类似地，对 $Y$ 型区域证明 $\iint_D \frac{\partial Q}{\partial x} dx\,dy = \oint_L Q \, dy$。

第三步：一般区域

对于一般区域，可以将其分割为若干个 $X$ 型或 $Y$ 型区域，在每个子区域上应用上述结果，相邻子区域的公共边界上的曲线积分相互抵消（方向相反），最终得到整个区域上的格林公式。

格林公式的推广

多连通区域

格林公式可以推广到多连通区域（有 $n$ 个”洞”的区域）：

$\oint_{L_0} P \, dx + Q \, dy + \sum_{i=1}^n \oint_{L_i} P \, dx + Q \, dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx\,dy$

其中 $L_0$ 是外边界（逆时针），$L_i$ 是内边界（顺时针）。

格林第一公式和第二公式

利用格林公式可以推导出偏微分方程中极为重要的格林公式：

格林第一公式： $\iint_D u \nabla^2 v \, dx\,dy = \oint_L u \frac{\partial v}{\partial n} ds - \iint_D \nabla u \cdot \nabla v \, dx\,dy$

格林第二公式： $\iint_D (u \nabla^2 v - v \nabla^2 u) dx\,dy = \oint_L \left( u \frac{\partial v}{\partial n} - v \frac{\partial u}{\partial n} \right) ds$

其中 $\frac{\partial}{\partial n}$ 是沿外法向的方向导数。这两个公式是研究拉普拉斯方程、泊松方程的基本工具。

格林公式的应用

1. 计算平面面积

取 $P = -y, \, Q = x$，得： $S = \frac{1}{2}\oint_L x \, dy - y \, dx$

2. 计算曲线积分

当直接计算曲线积分困难时，可以用格林公式转化为二重积分。特别是当 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ 很简单时（如常数），效果显著。

3. 路径无关与全微分方程

格林公式是曲线积分与路径无关理论的基础。在单连通区域内，$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$ 等价于：

• 曲线积分与路径无关
• 沿任意闭曲线积分为零
• $Pdx + Qdy$ 是某个函数的全微分
• 向量场 $(P,Q)$ 是有势场

4. 复变函数中的柯西定理

格林公式是复变函数中柯西积分定理的实分析基础。

典型例题

例题1：用格林公式计算面积

用格林公式计算椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ 所围区域的面积。

例题2：多连通区域的格林公式

计算 $\oint_L \frac{x \, dy - y \, dx}{x^2 + y^2}$，其中 $L$ 是不经过原点的任意正向简单闭曲线。

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练习题

练习1

用格林公式计算 $\oint_L (x+y) \, dx - (x-y) \, dy$，其中 $L$ 是椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的正向。

练习2

计算 $\oint_L \frac{y \, dx - x \, dy}{x^2+y^2}$，其中 $L$ 是圆周 $x^2+y^2 = a^2$ 的正向。

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总结

本文出现的符号

中英对照