无源场与无旋场

解题思路： 计算散度，判断是否为零。

详细步骤：

1. $\vec{F} = (y, z, x)$： $\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial}{\partial x}(y) + \frac{\partial}{\partial y}(z) + \frac{\partial}{\partial z}(x) = 0+0+0 = 0$ 所以 $\vec{F}$ 也是无源场。

2. $\vec{G} = (y-z, z-x, x-y)$： $\nabla \cdot \vec{G} = \frac{\partial}{\partial x}(y-z) + \frac{\partial}{\partial y}(z-x) + \frac{\partial}{\partial z}(x-y) = 0+0+0 = 0$ 所以 $\vec{G}$ 也是无源场。

（注：两个都是无源场，题目设定有误，但计算方法正确。）

答案：两个向量场的散度均为零，都是无源场。

解题思路： 分别计算散度和旋度，验证均为零。

详细步骤：

1. $\vec{F} = \frac{\vec{r}}{r^3}$，这是点电荷的电场（或点质量的引力场）形式。

2. 散度： $\frac{\partial}{\partial x}(\frac{x}{r^3}) = \frac{1}{r^3} - \frac{3x^2}{r^5}$ 同理 $\frac{\partial}{\partial y}(\frac{y}{r^3}) = \frac{1}{r^3} - \frac{3y^2}{r^5}$，$\frac{\partial}{\partial z}(\frac{z}{r^3}) = \frac{1}{r^3} - \frac{3z^2}{r^5}$ $\nabla \cdot \vec{F} = \frac{3}{r^3} - \frac{3(x^2+y^2+z^2)}{r^5} = \frac{3}{r^3} - \frac{3r^2}{r^5} = 0$（$r \neq 0$）

3. 旋度： $\vec{F} = \nabla(-\frac{1}{r})$（因为 $\frac{\partial}{\partial x}(-\frac{1}{r}) = \frac{x}{r^3}$），所以 $\vec{F}$ 是梯度场。 由恒等式 $\nabla \times (\nabla u) = 0$，得 $\nabla \times \vec{F} = 0$。

4. 散度为零且旋度为零，因此 $\vec{F}$ 在 $r \neq 0$ 的区域内是调和场。

答案：在 $r \neq 0$ 的区域内，$\vec{F}$ 是调和场。（注意原点是奇点，散度在原点处为无穷大，对应点源。）

解题思路： 先验证是无源场，然后设 $\vec{A} = (0, 0, A_z)$（简化假设），求解 $A_z$。

详细步骤：

1. 验证无源：$\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial}{\partial x}(y) + \frac{\partial}{\partial y}(-x) + 0 = 0$，是无源场。

2. 设 $\vec{A} = (0, 0, A_z(x,y))$，则： $\nabla \times \vec{A} = (\frac{\partial A_z}{\partial y}, -\frac{\partial A_z}{\partial x}, 0)$

3. 令 $\nabla \times \vec{A} = \vec{F} = (y, -x, 0)$，得： $\frac{\partial A_z}{\partial y} = y \Rightarrow A_z = \frac{y^2}{2} + \phi(x)$ $-\frac{\partial A_z}{\partial x} = -x \Rightarrow \frac{\partial A_z}{\partial x} = x \Rightarrow A_z = \frac{x^2}{2} + \psi(y)$

4. 取 $A_z = \frac{x^2+y^2}{2}$，则 $\vec{A} = (0, 0, \frac{x^2+y^2}{2})$

5. 验证：$\nabla \times \vec{A} = (\frac{\partial}{\partial y}(\frac{x^2+y^2}{2}), -\frac{\partial}{\partial x}(\frac{x^2+y^2}{2}), 0) = (y, -x, 0) = \vec{F}$ ✓

答案：一个矢势为 $\vec{A} = (0, 0, \frac{x^2+y^2}{2})$。（矢势不唯一，可加上任意梯度场。）

解题思路： 分别计算散度和旋度。

详细步骤：

1. 散度：$\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2-y^2) + \frac{\partial}{\partial y}(2xy) = 2x + 2x = 4x \neq 0$，不是无源场。
2. 旋度（z分量）：$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2y - (-2y) = 4y \neq 0$，不是无旋场。
3. 这是一个一般向量场，既不是无源场也不是无旋场。

答案：既不是无源场也不是无旋场，是一般场。

解题思路： 验证旋度为零，凑微分求势函数。

详细步骤：

1. 旋度：各分量均为0（因为 $\frac{\partial R}{\partial y} = 0 = \frac{\partial Q}{\partial z}$，等等），是无旋场。
2. 凑微分：$2x \, dx + 2y \, dy + 2z \, dz = d(x^2+y^2+z^2)$
3. 势函数：$u = x^2+y^2+z^2 + C$

答案：势函数为 $u = x^2+y^2+z^2 + C$