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多元函数积分学

柱坐标下的三重积分计算

为什么需要柱坐标

当积分区域是旋转体（如圆柱、圆锥、旋转抛物面等），或被积函数含有 x2+y2x^2 + y^2 时，柱坐标可以极大简化积分限的确定和积分计算。柱坐标本质上是”极坐标 + 直角坐标 zz“的混合坐标系。

柱坐标变换

柱坐标变换公式

直角坐标与柱坐标的关系： {x=ρcos⁡θy=ρsin⁡θz=z\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \\ z = z \end{cases}

其中 ρ≥0\rho \geq 0 是点到 zz 轴的距离（极径），θ∈[0,2π)\theta \in [0, 2\pi) 是极角，z∈Rz \in \mathbb{R} 是竖坐标。

雅可比行列式： J=∂(x,y,z)∂(ρ,θ,z)=∣cos⁡θ−ρsin⁡θ0sin⁡θρcos⁡θ0001∣=ρJ = \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\theta,z)} = \begin{vmatrix} \cos\theta & -\rho\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \rho\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \rho

因此体积元素：dv=dx dy dz=ρ dρ dθ dzdv = dx\,dy\,dz = \rho \, d\rho \, d\theta \, dz

柱坐标下的三重积分公式

∭Ωf(x,y,z) dv=∭Ω′f(ρcos⁡θ,ρsin⁡θ,z)⋅ρ dρ dθ dz\iiint_\Omega f(x,y,z) \, dv = \iiint_{\Omega'} f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta, z) \cdot \rho \, d\rho \, d\theta \, dz

常见柱坐标区域

1. 圆柱体

圆柱体

Ω:x2+y2≤R2,a≤z≤b\Omega: x^2 + y^2 \leq R^2, \quad a \leq z \leq b

柱坐标下： Ω′:0≤ρ≤R,0≤θ≤2π,a≤z≤b\Omega': 0 \leq \rho \leq R, \quad 0 \leq \theta \leq 2\pi, \quad a \leq z \leq b

∭Ωf dv=∫abdz∫02πdθ∫0Rf(ρcos⁡θ,ρsin⁡θ,z)ρ dρ\iiint_\Omega f \, dv = \int_a^b dz \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^R f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta, z) \rho \, d\rho

2. 圆锥体

圆锥体

顶点在原点、开口向上的圆锥 z=x2+y2z = \sqrt{x^2+y^2} 与平面 z=hz = h 围成的区域：

柱坐标下：zz 从 ρ\rho 到 hh，或 ρ\rho 从 00 到 zz

方法一（先对 zz 积分）： 0≤ρ≤h,0≤θ≤2π,ρ≤z≤h0 \leq \rho \leq h, \quad 0 \leq \theta \leq 2\pi, \quad \rho \leq z \leq h

方法二（先对 ρ\rho 积分，先二后一）： 0≤z≤h,0≤θ≤2π,0≤ρ≤z0 \leq z \leq h, \quad 0 \leq \theta \leq 2\pi, \quad 0 \leq \rho \leq z

3. 旋转抛物面

旋转抛物面

由 z=x2+y2z = x^2 + y^2 和 z=hz = h 围成的区域：

柱坐标下：z=ρ2z = \rho^2 0≤ρ≤h,0≤θ≤2π,ρ2≤z≤h0 \leq \rho \leq \sqrt{h}, \quad 0 \leq \theta \leq 2\pi, \quad \rho^2 \leq z \leq h

适用场景总结

典型例题

例题1：圆柱区域

计算 ∭Ω(x2+y2) dv\iiint_\Omega (x^2 + y^2) \, dv，其中 Ω:x2+y2≤4, 0≤z≤3\Omega: x^2 + y^2 \leq 4, \, 0 \leq z \leq 3。

参考答案
三重积分柱坐标圆柱体旋转体

解题思路： 圆柱体 + 被积函数含 x2+y2x^2+y^2，柱坐标是最佳选择。

详细步骤：

  1. 柱坐标变换：x=ρcos⁡θ, y=ρsin⁡θ, z=zx = \rho\cos\theta, \, y = \rho\sin\theta, \, z = z，体积元素 ρ dρ dθ dz\rho \, d\rho \, d\theta \, dz
  2. 积分区域：0≤ρ≤2, 0≤θ≤2π, 0≤z≤30 \leq \rho \leq 2, \, 0 \leq \theta \leq 2\pi, \, 0 \leq z \leq 3
  3. 被积函数：x2+y2=ρ2x^2+y^2 = \rho^2
  4. ∭Ω(x2+y2)dv=∫03dz∫02πdθ∫02ρ2⋅ρ dρ=3⋅2π⋅∫02ρ3dρ=6π⋅[ρ44]02=6π⋅4=24π\iiint_\Omega (x^2+y^2) dv = \int_0^3 dz \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^2 \rho^2 \cdot \rho \, d\rho = 3 \cdot 2\pi \cdot \int_0^2 \rho^3 d\rho = 6\pi \cdot \left[\frac{\rho^4}{4}\right]_0^2 = 6\pi \cdot 4 = 24\pi

答案：24π24\pi

例题2：圆锥区域

计算 ∭Ωz dv\iiint_\Omega z \, dv，其中 Ω\Omega 由圆锥 z=x2+y2z = \sqrt{x^2+y^2} 和平面 z=1z = 1 围成。

参考答案
三重积分柱坐标圆锥体先二后一

解题思路： 圆锥区域，被积函数仅含 zz，可以用柱坐标，也可以用先二后一法。

详细步骤：

方法一：柱坐标（先对 zz 积分）

  1. 柱坐标下：0≤ρ≤1, 0≤θ≤2π, ρ≤z≤10 \leq \rho \leq 1, \, 0 \leq \theta \leq 2\pi, \, \rho \leq z \leq 1
  2. ∭Ωz dv=∫02πdθ∫01ρ dρ∫ρ1z dz=2π∫01ρ⋅[z22]ρ1dρ=2π∫01ρ(12−ρ22)dρ=π∫01(ρ−ρ3)dρ=π(12−14)=π4\iiint_\Omega z \, dv = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 \rho \, d\rho \int_\rho^1 z \, dz = 2\pi \int_0^1 \rho \cdot \left[\frac{z^2}{2}\right]_\rho^1 d\rho = 2\pi \int_0^1 \rho\left(\frac{1}{2} - \frac{\rho^2}{2}\right) d\rho = \pi \int_0^1 (\rho - \rho^3) d\rho = \pi\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\right) = \frac{\pi}{4}

方法二：先二后一

  1. 0≤z≤10 \leq z \leq 1，截面 Dz:x2+y2≤z2D_z: x^2+y^2 \leq z^2，面积 S(z)=πz2S(z) = \pi z^2
  2. ∭Ωz dv=∫01z⋅πz2dz=π∫01z3dz=π4\iiint_\Omega z \, dv = \int_0^1 z \cdot \pi z^2 dz = \pi \int_0^1 z^3 dz = \frac{\pi}{4}

答案：π4\frac{\pi}{4}

例题3：旋转抛物面与球面围成

计算 ∭Ωz dv\iiint_\Omega z \, dv，其中 Ω\Omega 由 z=2−x2−y2z = \sqrt{2-x^2-y^2} 和 z=x2+y2z = x^2+y^2 围成。

参考答案
三重积分柱坐标旋转抛物面球面交线

解题思路： 先求交线确定投影区域，再用柱坐标计算。

详细步骤：

  1. 交线：2−x2−y2=x2+y2\sqrt{2-x^2-y^2} = x^2+y^2，令 r2=x2+y2r^2 = x^2+y^2，则 2−r2=r2\sqrt{2-r^2} = r^2 平方得 2−r2=r4⇒r4+r2−2=0⇒(r2+2)(r2−1)=0⇒r=12-r^2 = r^4 \Rightarrow r^4+r^2-2=0 \Rightarrow (r^2+2)(r^2-1)=0 \Rightarrow r=1
  2. 交线在 z=1z=1 处，投影区域 D:x2+y2≤1D: x^2+y^2 \leq 1
  3. 柱坐标下：0≤ρ≤1, 0≤θ≤2π, ρ2≤z≤2−ρ20 \leq \rho \leq 1, \, 0 \leq \theta \leq 2\pi, \, \rho^2 \leq z \leq \sqrt{2-\rho^2}
  4. ∭Ωz dv=∫02πdθ∫01ρ dρ∫ρ22−ρ2z dz=2π∫01ρ⋅[z22]ρ22−ρ2dρ\iiint_\Omega z \, dv = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 \rho \, d\rho \int_{\rho^2}^{\sqrt{2-\rho^2}} z \, dz = 2\pi \int_0^1 \rho \cdot \left[\frac{z^2}{2}\right]_{\rho^2}^{\sqrt{2-\rho^2}} d\rho =π∫01ρ[(2−ρ2)−ρ4]dρ=π∫01(2ρ−ρ3−ρ5)dρ=π[1−14−16]=π⋅712=7π12= \pi \int_0^1 \rho[(2-\rho^2) - \rho^4] d\rho = \pi \int_0^1 (2\rho - \rho^3 - \rho^5) d\rho = \pi\left[1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{6}\right] = \pi \cdot \frac{7}{12} = \frac{7\pi}{12}

答案：7π12\frac{7\pi}{12}

练习题

练习1

计算 ∭Ωx2+y2 dv\iiint_\Omega \sqrt{x^2+y^2} \, dv，其中 Ω:x2+y2≤9, −1≤z≤2\Omega: x^2+y^2 \leq 9, \, -1 \leq z \leq 2。

参考答案
三重积分柱坐标圆柱体

解题思路： 圆柱体 + 被积函数含 x2+y2\sqrt{x^2+y^2}，用柱坐标。

详细步骤：

  1. 柱坐标：0≤ρ≤3, 0≤θ≤2π, −1≤z≤20 \leq \rho \leq 3, \, 0 \leq \theta \leq 2\pi, \, -1 \leq z \leq 2
  2. ∭Ωx2+y2dv=∫−12dz∫02πdθ∫03ρ⋅ρ dρ=3⋅2π⋅∫03ρ2dρ=6π⋅9=54π\iiint_\Omega \sqrt{x^2+y^2} dv = \int_{-1}^2 dz \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^3 \rho \cdot \rho \, d\rho = 3 \cdot 2\pi \cdot \int_0^3 \rho^2 d\rho = 6\pi \cdot 9 = 54\pi

答案：54π54\pi

练习2

计算 ∭Ω(x2+y2) dv\iiint_\Omega (x^2+y^2) \, dv，其中 Ω\Omega 由 x2+y2=2zx^2+y^2 = 2z 和 z=2z = 2 围成。

参考答案
三重积分柱坐标旋转抛物面

解题思路： 旋转抛物面区域，柱坐标计算。

详细步骤：

  1. 交线：x2+y2=4x^2+y^2 = 4，投影区域 D:x2+y2≤4D: x^2+y^2 \leq 4
  2. 柱坐标：0≤ρ≤2, 0≤θ≤2π, ρ22≤z≤20 \leq \rho \leq 2, \, 0 \leq \theta \leq 2\pi, \, \frac{\rho^2}{2} \leq z \leq 2
  3. ∭Ω(x2+y2)dv=∫02πdθ∫02ρ dρ∫ρ2/22ρ2 dz=2π∫02ρ3(2−ρ22)dρ=2π∫02(2ρ3−ρ52)dρ=2π[ρ42−ρ612]02=2π(8−163)=2π⋅83=16π3\iiint_\Omega (x^2+y^2) dv = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^2 \rho \, d\rho \int_{\rho^2/2}^2 \rho^2 \, dz = 2\pi \int_0^2 \rho^3\left(2 - \frac{\rho^2}{2}\right) d\rho = 2\pi \int_0^2 (2\rho^3 - \frac{\rho^5}{2}) d\rho = 2\pi\left[\frac{\rho^4}{2} - \frac{\rho^6}{12}\right]_0^2 = 2\pi\left(8 - \frac{16}{3}\right) = 2\pi \cdot \frac{8}{3} = \frac{16\pi}{3}

答案：16π3\frac{16\pi}{3}

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
ρ\rho极径rho点到 z 轴的距离，ρ≥0\rho \geq 0
θ\theta极角theta在 xOy 平面上与 x 轴正方向的夹角
zz竖坐标z coordinate与直角坐标的 z 相同
ρ dρ dθ dz\rho \, d\rho \, d\theta \, dz柱坐标体积元素cylindrical volume element柱坐标系下的体积微元

中英对照

中文术语英文术语音标说明
柱坐标cylindrical coordinates/sɪˈlɪndrɪkəl koʊˈɔːrdɪneɪts/用极径、极角和竖坐标表示点的坐标系
旋转体solid of revolution/ˈsɒlɪd əv ˌrɛvəˈluːʃən/由平面曲线绕轴旋转而成的立体
圆柱体cylinder/ˈsɪləndər/圆柱面与两平面围成的立体
圆锥体cone/koʊn/圆锥面与平面围成的立体
旋转抛物面paraboloid of revolution/pəˈræbəlɔɪd əv ˌrɛvəˈluːʃən/抛物线绕轴旋转而成的曲面
雅可比行列式Jacobian determinant/dʒəˈkoʊbiən dɪˈtɜːrmɪnənt/坐标变换的偏导数行列式
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