快易知
多元函数积分学

三重积分的对称性与应用

对称性在三重积分中的应用

关于坐标面的对称性

定理1

设积分区域 Ω\Omega 关于 xOyxOy 坐标面对称（即若 (x,y,z)∈Ω(x,y,z) \in \Omega，则 (x,y,−z)∈Ω(x,y,-z) \in \Omega），Ω1\Omega_1 是 Ω\Omega 在 xOyxOy 面上方的部分（z≥0z \geq 0）。

  • 若 f(x,y,−z)=−f(x,y,z)f(x, y, -z) = -f(x, y, z)（即 ff 关于 zz 是奇函数），则 ∭Ωf(x,y,z) dv=0\iiint_\Omega f(x,y,z) \, dv = 0

  • 若 f(x,y,−z)=f(x,y,z)f(x, y, -z) = f(x, y, z)（即 ff 关于 zz 是偶函数），则 ∭Ωf(x,y,z) dv=2∭Ω1f(x,y,z) dv\iiint_\Omega f(x,y,z) \, dv = 2\iiint_{\Omega_1} f(x,y,z) \, dv

类似地，有关于 yOzyOz 面（对应 xx 的奇偶性）和 xOzxOz 面（对应 yy 的奇偶性）的对称性结论。

关于原点的对称性

若 Ω\Omega 关于原点对称（即若 (x,y,z)∈Ω(x,y,z) \in \Omega，则 (−x,−y,−z)∈Ω(-x,-y,-z) \in \Omega）：

  • 若 f(−x,−y,−z)=−f(x,y,z)f(-x,-y,-z) = -f(x,y,z)，则 ∭Ωf dv=0\iiint_\Omega f \, dv = 0
  • 若 f(−x,−y,−z)=f(x,y,z)f(-x,-y,-z) = f(x,y,z)，则 ∭Ωf dv=2∭Ω1f dv\iiint_\Omega f \, dv = 2\iiint_{\Omega_1} f \, dv

轮换对称性

若积分区域 Ω\Omega 关于 x,y,zx, y, z 具有轮换对称性（即交换任意两个变量后区域不变，如球体 x2+y2+z2≤R2x^2+y^2+z^2 \leq R^2），则：

∭Ωf(x) dv=∭Ωf(y) dv=∭Ωf(z) dv\iiint_\Omega f(x) \, dv = \iiint_\Omega f(y) \, dv = \iiint_\Omega f(z) \, dv

因此： ∭Ω[f(x)+f(y)+f(z)] dv=3∭Ωf(x) dv\iiint_\Omega [f(x) + f(y) + f(z)] \, dv = 3\iiint_\Omega f(x) \, dv

物理应用

1. 空间物体的质量

质量

设空间物体占有区域 Ω\Omega，体密度为 ρ(x,y,z)\rho(x,y,z)，则物体的质量为： M=∭Ωρ(x,y,z) dvM = \iiint_\Omega \rho(x,y,z) \, dv

2. 质心

定理2

空间物体的质心坐标 (xˉ,yˉ,zˉ)(\bar{x}, \bar{y}, \bar{z})：

xˉ=1M∭Ωxρ(x,y,z) dv,yˉ=1M∭Ωyρ(x,y,z) dv,zˉ=1M∭Ωzρ(x,y,z) dv\bar{x} = \frac{1}{M}\iiint_\Omega x\rho(x,y,z) \, dv, \quad \bar{y} = \frac{1}{M}\iiint_\Omega y\rho(x,y,z) \, dv, \quad \bar{z} = \frac{1}{M}\iiint_\Omega z\rho(x,y,z) \, dv

其中 M=∭Ωρ(x,y,z) dvM = \iiint_\Omega \rho(x,y,z) \, dv 是总质量。

若物体均匀（ρ\rho 为常数），则质心称为形心： xˉ=1V∭Ωx dv,yˉ=1V∭Ωy dv,zˉ=1V∭Ωz dv\bar{x} = \frac{1}{V}\iiint_\Omega x \, dv, \quad \bar{y} = \frac{1}{V}\iiint_\Omega y \, dv, \quad \bar{z} = \frac{1}{V}\iiint_\Omega z \, dv 其中 VV 是区域 Ω\Omega 的体积。

3. 转动惯量

定理3

空间物体关于各坐标轴的转动惯量：

  • 关于 xx 轴：Ix=∭Ω(y2+z2)ρ(x,y,z) dvI_x = \iiint_\Omega (y^2 + z^2)\rho(x,y,z) \, dv
  • 关于 yy 轴：Iy=∭Ω(x2+z2)ρ(x,y,z) dvI_y = \iiint_\Omega (x^2 + z^2)\rho(x,y,z) \, dv
  • 关于 zz 轴：Iz=∭Ω(x2+y2)ρ(x,y,z) dvI_z = \iiint_\Omega (x^2 + y^2)\rho(x,y,z) \, dv
  • 关于原点：IO=∭Ω(x2+y2+z2)ρ(x,y,z) dv=12(Ix+Iy+Iz)I_O = \iiint_\Omega (x^2 + y^2 + z^2)\rho(x,y,z) \, dv = \frac{1}{2}(I_x + I_y + I_z)

4. 引力

空间物体对位于点 (x0,y0,z0)(x_0, y_0, z_0) 处质量为 mm 的质点的引力 F⃗=(Fx,Fy,Fz)\vec{F} = (F_x, F_y, F_z)：

Fx=Gm∭Ωρ(x,y,z)(x−x0)[(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2]3/2 dvF_x = Gm\iiint_\Omega \frac{\rho(x,y,z)(x-x_0)}{[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2]^{3/2}} \, dv Fy=Gm∭Ωρ(x,y,z)(y−y0)[(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2]3/2 dvF_y = Gm\iiint_\Omega \frac{\rho(x,y,z)(y-y_0)}{[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2]^{3/2}} \, dv Fz=Gm∭Ωρ(x,y,z)(z−z0)[(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2]3/2 dvF_z = Gm\iiint_\Omega \frac{\rho(x,y,z)(z-z_0)}{[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2]^{3/2}} \, dv

其中 GG 为引力常数。

典型例题

例题1：利用对称性

计算 ∭Ω(x+y+z)2 dv\iiint_\Omega (x + y + z)^2 \, dv，其中 Ω:x2+y2+z2≤R2\Omega: x^2+y^2+z^2 \leq R^2。

参考答案
三重积分对称性轮换对称性球体

解题思路： 展开后利用对称性和轮换对称性简化。

详细步骤：

  1. (x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2xy + 2yz + 2xz
  2. xyxy 关于 xx 是奇函数，区域关于 yOzyOz 面对称 ⇒∭xy dv=0\Rightarrow \iiint xy \, dv = 0
  3. 同理 ∭yz dv=0\iiint yz \, dv = 0，∭xz dv=0\iiint xz \, dv = 0
  4. 由轮换对称性：∭x2dv=∭y2dv=∭z2dv\iiint x^2 dv = \iiint y^2 dv = \iiint z^2 dv
  5. ∭(x2+y2+z2)dv=3∭x2dv\iiint (x^2+y^2+z^2) dv = 3\iiint x^2 dv，而由球坐标知 ∭(x2+y2+z2)dv=4πR55\iiint (x^2+y^2+z^2) dv = \frac{4\pi R^5}{5}
  6. 因此 ∭(x+y+z)2dv=4πR55\iiint (x+y+z)^2 dv = \frac{4\pi R^5}{5}

答案：4πR55\frac{4\pi R^5}{5}

例题2：求均匀球体的转动惯量

求半径为 RR、密度为常数 ρ\rho 的均匀球体关于其直径的转动惯量。

参考答案
三重积分转动惯量球体球坐标

解题思路： 取直径为 zz 轴，计算 Iz=∭Ω(x2+y2)ρ dvI_z = \iiint_\Omega (x^2+y^2)\rho \, dv。

详细步骤：

  1. 球坐标下：x2+y2=r2sin⁡2ϕx^2+y^2 = r^2\sin^2\phi，体积元素 r2sin⁡ϕ dr dϕ dθr^2\sin\phi \, dr \, d\phi \, d\theta
  2. Iz=ρ∫02πdθ∫0πdϕ∫0Rr2sin⁡2ϕ⋅r2sin⁡ϕ drI_z = \rho \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\pi d\phi \int_0^R r^2\sin^2\phi \cdot r^2\sin\phi \, dr =ρ⋅2π∫0πsin⁡3ϕ dϕ∫0Rr4dr= \rho \cdot 2\pi \int_0^\pi \sin^3\phi \, d\phi \int_0^R r^4 dr
  3. ∫0πsin⁡3ϕ dϕ=2∫0π/2sin⁡3ϕ dϕ=2⋅23=43\int_0^\pi \sin^3\phi \, d\phi = 2\int_0^{\pi/2} \sin^3\phi \, d\phi = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}
  4. ∫0Rr4dr=R55\int_0^R r^4 dr = \frac{R^5}{5}
  5. Iz=ρ⋅2π⋅43⋅R55=8πρR515I_z = \rho \cdot 2\pi \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{R^5}{5} = \frac{8\pi\rho R^5}{15}
  6. 总质量 M=ρ⋅43πR3M = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3，故 Iz=25MR2I_z = \frac{2}{5}MR^2

答案：Iz=25MR2I_z = \frac{2}{5}MR^2（其中 MM 为球体总质量）

例题3：求圆锥体的形心

求高为 hh、底面半径为 RR 的均匀正圆锥体的形心。

参考答案
三重积分形心圆锥体柱坐标对称性

解题思路： 圆锥体关于 zz 轴对称，形心在 zz 轴上，只需计算 zˉ\bar{z}。

详细步骤：

  1. 设圆锥顶点在原点，轴为 zz 轴，底面在 z=hz=h 处。圆锥面方程：z=hRx2+y2z = \frac{h}{R}\sqrt{x^2+y^2}
  2. 体积 V=13πR2hV = \frac{1}{3}\pi R^2 h
  3. 柱坐标下：0≤θ≤2π, 0≤ρ≤R, hRρ≤z≤h0 \leq \theta \leq 2\pi, \, 0 \leq \rho \leq R, \, \frac{h}{R}\rho \leq z \leq h
  4. ∭Ωz dv=∫02πdθ∫0Rρ dρ∫hρ/Rhz dz=2π∫0Rρ⋅12[h2−h2ρ2R2]dρ=πh2∫0R(ρ−ρ3R2)dρ=πh2(R22−R24)=πh2R24\iiint_\Omega z \, dv = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^R \rho \, d\rho \int_{h\rho/R}^h z \, dz = 2\pi \int_0^R \rho \cdot \frac{1}{2}\left[h^2 - \frac{h^2\rho^2}{R^2}\right] d\rho = \pi h^2 \int_0^R \left(\rho - \frac{\rho^3}{R^2}\right) d\rho = \pi h^2\left(\frac{R^2}{2} - \frac{R^2}{4}\right) = \frac{\pi h^2 R^2}{4}
  5. zˉ=πh2R2/4πR2h/3=3h4\bar{z} = \frac{\pi h^2 R^2 / 4}{\pi R^2 h / 3} = \frac{3h}{4}

答案：形心在对称轴上，距顶点 3h4\frac{3h}{4} 处（即距底面 h4\frac{h}{4} 处）。

练习题

练习1

计算 ∭Ωxyz dv\iiint_\Omega xyz \, dv，其中 Ω:x2+y2+z2≤1, x≥0, y≥0, z≥0\Omega: x^2+y^2+z^2 \leq 1, \, x \geq 0, \, y \geq 0, \, z \geq 0（第一卦限的单位球）。

参考答案
三重积分球坐标第一卦限乘积函数

解题思路： 第一卦限的单位球，球坐标下 ϕ\phi 和 θ\theta 范围都是 [0,π/2][0, \pi/2]。

详细步骤：

  1. 球坐标：0≤r≤1, 0≤ϕ≤π/2, 0≤θ≤π/20 \leq r \leq 1, \, 0 \leq \phi \leq \pi/2, \, 0 \leq \theta \leq \pi/2
  2. xyz=r3sin⁡2ϕcos⁡ϕsin⁡θcos⁡θxyz = r^3\sin^2\phi\cos\phi\sin\theta\cos\theta
  3. ∭Ωxyz dv=∫0π/2sin⁡θcos⁡θ dθ∫0π/2sin⁡3ϕcos⁡ϕ dϕ∫01r5dr\iiint_\Omega xyz \, dv = \int_0^{\pi/2} \sin\theta\cos\theta \, d\theta \int_0^{\pi/2} \sin^3\phi\cos\phi \, d\phi \int_0^1 r^5 dr =12⋅14⋅16=148= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{48}

答案：148\frac{1}{48}

练习2

求均匀球体 x2+y2+z2≤R2x^2+y^2+z^2 \leq R^2 关于原点的转动惯量。

参考答案
三重积分转动惯量球体球坐标

解题思路： 关于原点的转动惯量 IO=∭(x2+y2+z2)ρ dvI_O = \iiint (x^2+y^2+z^2)\rho \, dv。

详细步骤：

  1. 球坐标下 x2+y2+z2=r2x^2+y^2+z^2 = r^2
  2. IO=ρ∫02πdθ∫0πsin⁡ϕ dϕ∫0Rr2⋅r2dr=ρ⋅2π⋅2⋅R55=4πρR55I_O = \rho \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\pi \sin\phi \, d\phi \int_0^R r^2 \cdot r^2 dr = \rho \cdot 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{R^5}{5} = \frac{4\pi\rho R^5}{5}
  3. 总质量 M=43πρR3M = \frac{4}{3}\pi\rho R^3，故 IO=35MR2I_O = \frac{3}{5}MR^2

答案：IO=35MR2I_O = \frac{3}{5}MR^2

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
ρ(x,y,z)\rho(x,y,z)体密度volume density空间物体在点(x,y,z)处的体密度
MM质量mass空间物体的总质量
(xˉ,yˉ,zˉ)(\bar{x},\bar{y},\bar{z})质心坐标centroid coordinates质心的坐标
Ix,Iy,IzI_x, I_y, I_z转动惯量moment of inertia关于各坐标轴的转动惯量
VV体积volume空间区域的体积
GG引力常数gravitational constant万有引力常数

中英对照

中文术语英文术语音标说明
对称性symmetry/ˈsɪmətri/区域关于坐标面或原点的对称性质
轮换对称性cyclic symmetry/ˈsaɪklɪk ˈsɪmətri/交换变量后区域不变的性质
质心center of mass/ˈsɛntər əv mæs/质量中心
形心centroid/ˈsɛntrɔɪd/均匀物体的质心，即几何中心
转动惯量moment of inertia/ˈmoʊmənt əv ɪˈnɜːrʃə/物体转动惯性的量度
引力gravitational force/ˌɡrævɪˈteɪʃənəl fɔːrs/物体间的万有引力
体密度volume density/ˈvɒljuːm ˈdɛnsəti/单位体积的质量
上一章节
球坐标下的三重积分计算
下一章节
变量替换法

发现内容有问题？

告诉我们哪里需要改进。