直角坐标下的三重积分计算

基本思想

三重积分的计算核心是将其转化为三次定积分（累次积分）。在直角坐标系下，体积元素 $dv = dx\,dy\,dz$ 。根据积分限确定方式的不同，有两种基本方法：先一后二法（投影法）和先二后一法（截面法）。

先一后二法（投影法）

先一后二法

先一后二法，又称投影法，是将空间区域 $\Omega$ 投影到某个坐标平面（如 $xOy$ 平面），先对第三个变量（如 $z$ ）作定积分，再在投影区域上作二重积分。

设 $\Omega$ 在 $xOy$ 平面上的投影区域为 $D_{xy}$ ，且 $\Omega$ 可表示为：

$\Omega: \quad (x,y) \in D_{xy}, \quad z_1(x,y) \leq z \leq z_2(x,y)$

则 $\iiint_\Omega f(x,y,z) \, dv = \iint_{D_{xy}} \left[ \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z) \, dz \right] dx\,dy$

如果投影区域 $D_{xy}$ 是X-型区域： $a \leq x \leq b, \, y_1(x) \leq y \leq y_2(x)$ ，则三重积分可化为三次定积分：

$\iiint_\Omega f \, dv = \int_a^b dx \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} dy \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z) \, dz$

先一后二

“先一后二”的含义：先对一个变量（如 $z$ ）积分（“一”次定积分），再对另外两个变量（如 $x,y$ ）积分（“二”重积分）。投影到哪个坐标面，就先对第三个变量积分。

确定先一后二积分限的步骤

将区域 $\Omega$ 投影到 $xOy$ 平面，得到投影区域 $D_{xy}$
在 $D_{xy}$ 内任取一点 $(x,y)$ ，作平行于 $z$ 轴的直线
直线从下曲面 $z = z_1(x,y)$ 进入区域，从上曲面 $z = z_2(x,y)$ 穿出区域
积分限： $(x,y) \in D_{xy}$ ， $z \in [z_1(x,y), z_2(x,y)]$

先二后一法（截面法）

先二后一法

先二后一法，又称截面法，是先用垂直于某个坐标轴的平面截区域 $\Omega$ ，得到截面区域，先在截面上作二重积分，再对第三个变量作定积分。

设 $\Omega$ 介于平面 $z = c$ 和 $z = d$ 之间，用垂直于 $z$ 轴的平面 $z = z_0$ 截 $\Omega$ ，得到截面区域 $D_z$ 。则

$\iiint_\Omega f(x,y,z) \, dv = \int_c^d \left[ \iint_{D_z} f(x,y,z) \, dx\,dy \right] dz$

何时优先使用先二后一法

当被积函数仅依赖于一个变量（如仅含 $z$ ），且截面面积容易计算时，先二后一法可以极大简化计算。因为此时内层二重积分可能就是截面面积乘以一个常数。

先二后一法的适用场景

被积函数 $f(x,y,z)$ 仅含一个变量（如 $f(z)$ ）
截面区域 $D_z$ 的面积容易求出（如椭圆、圆、三角形等）
旋转体区域

长方体区域

长方体是最简单的情况：

长方体积分

$\Omega: a \leq x \leq b, \quad c \leq y \leq d, \quad e \leq z \leq f$

$\iiint_\Omega f(x,y,z) \, dv = \int_a^b \int_c^d \int_e^f f(x,y,z) \, dz \, dy \, dx$

若 $f(x,y,z) = g(x)h(y)k(z)$ ，则 $\iiint_\Omega f \, dv = \left(\int_a^b g(x)dx\right)\left(\int_c^d h(y)dy\right)\left(\int_e^f k(z)dz\right)$

典型例题

例题1：先一后二法

计算 $\iiint_\Omega x \, dv$ ，其中 $\Omega$ 由三个坐标面及平面 $x + 2y + z = 1$ 围成。

参考答案

三重积分先一后二直角坐标四面体

解题思路：将 $\Omega$ 投影到 $xOy$ 平面，先对 $z$ 积分，再对 $x,y$ 积分。

详细步骤：

区域 $\Omega$ ： $x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0, x+2y+z \leq 1$
投影到 $xOy$ 平面： $D_{xy}: x \geq 0, y \geq 0, x+2y \leq 1$
对固定的 $(x,y) \in D_{xy}$ ， $z$ 从 $0$ 到 $1-x-2y$
$\iiint_\Omega x \, dv = \iint_{D_{xy}} dx\,dy \int_0^{1-x-2y} x \, dz = \iint_{D_{xy}} x(1-x-2y) dx\,dy$
$D_{xy}$ 用X-型： $0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq \frac{1-x}{2}$
$= \int_0^1 dx \int_0^{(1-x)/2} x(1-x-2y) dy = \int_0^1 x\left[(1-x)y - y^2\right]_0^{(1-x)/2} dx$ $= \int_0^1 x\left(\frac{(1-x)^2}{2} - \frac{(1-x)^2}{4}\right) dx = \int_0^1 \frac{x(1-x)^2}{4} dx$ $= \frac{1}{4}\int_0^1 (x - 2x^2 + x^3) dx = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{2} - \frac{2}{3} + \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{48}$

答案： $\frac{1}{48}$

例题2：先二后一法

计算 $\iiint_\Omega z^2 \, dv$ ，其中 $\Omega: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} \leq 1$ （椭球体）。

参考答案

三重积分先二后一截面法椭球体

解题思路：被积函数仅含 $z$ ，适合用先二后一法。截面是椭圆，面积易求。

详细步骤：

$\Omega$ 介于 $z = -c$ 和 $z = c$ 之间
用平面 $z = z_0$ 截椭球，截面为椭圆： $\frac{x^2}{a^2(1-z_0^2/c^2)} + \frac{y^2}{b^2(1-z_0^2/c^2)} \leq 1$
截面椭圆的半轴： $a\sqrt{1-z^2/c^2}$ 和 $b\sqrt{1-z^2/c^2}$
截面面积： $S(z) = \pi ab(1 - \frac{z^2}{c^2})$
$\iiint_\Omega z^2 \, dv = \int_{-c}^c z^2 \cdot S(z) \, dz = \int_{-c}^c z^2 \cdot \pi ab(1 - \frac{z^2}{c^2}) dz$ $= 2\pi ab \int_0^c (z^2 - \frac{z^4}{c^2}) dz = 2\pi ab\left[\frac{z^3}{3} - \frac{z^5}{5c^2}\right]_0^c = 2\pi ab\left(\frac{c^3}{3} - \frac{c^3}{5}\right) = 2\pi ab \cdot \frac{2c^3}{15} = \frac{4\pi abc^3}{15}$

答案： $\frac{4\pi abc^3}{15}$

例题3：交换积分次序

将三次积分 $\int_0^1 dx \int_0^x dy \int_0^y f(x,y,z) dz$ 交换为按 $z, y, x$ 的其他次序。

参考答案

三重积分交换积分次序四面体

解题思路：先确定积分区域，再重新确定积分限。

详细步骤：

原积分限： $0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq x, \, 0 \leq z \leq y$
区域由 $z=y, y=x, x=1, z=0$ 等围成，是一个四面体
交换为先对 $x$ 积分： $z \leq y \leq x \leq 1$ ，即 $0 \leq z \leq 1, \, z \leq y \leq 1, \, y \leq x \leq 1$
新积分： $\int_0^1 dz \int_z^1 dy \int_y^1 f(x,y,z) dx$

答案： $\int_0^1 dz \int_z^1 dy \int_y^1 f(x,y,z) dx$

练习题

练习1

计算 $\iiint_\Omega xy \, dv$ ，其中 $\Omega: 0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq 1, \, 0 \leq z \leq 1$ 。

参考答案

三重积分长方体分离变量

解题思路：长方体区域 + 可分离变量，直接拆分。

详细步骤：

$\iiint_\Omega xy \, dv = \left(\int_0^1 x dx\right)\left(\int_0^1 y dy\right)\left(\int_0^1 dz\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{4}$

答案： $\frac{1}{4}$

练习2

用先二后一法计算 $\iiint_\Omega z \, dv$ ，其中 $\Omega: x^2+y^2+z^2 \leq R^2, \, z \geq 0$ （上半球体）。

参考答案

三重积分先二后一截面法上半球

解题思路：被积函数仅含 $z$ ，截面是圆，面积易求。

详细步骤：

$\Omega$ 介于 $z=0$ 和 $z=R$ 之间
截面 $D_z: x^2+y^2 \leq R^2-z^2$ ，面积 $S(z) = \pi(R^2-z^2)$
$\iiint_\Omega z \, dv = \int_0^R z \cdot \pi(R^2-z^2) dz = \pi\int_0^R (R^2 z - z^3) dz = \pi\left[\frac{R^2 z^2}{2} - \frac{z^4}{4}\right]_0^R = \pi\left(\frac{R^4}{2} - \frac{R^4}{4}\right) = \frac{\pi R^4}{4}$

答案： $\frac{\pi R^4}{4}$

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$D_{xy}$	投影区域	projection region	空间区域在 xOy 平面上的投影
$D_z$	截面区域	cross-section region	垂直于 z 轴的平面截区域所得截面
$z_1(x,y), z_2(x,y)$	边界曲面	boundary surfaces	区域的下、上边界曲面
$S(z)$	截面面积	cross-section area	截面区域 $D_z$ 的面积

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
先一后二法	projection method	/prəˈdʒɛkʃən ˈmɛθəd/	先对一个变量积分，再对两个变量作二重积分
先二后一法	cross-section method	/krɔːs ˈsɛkʃən ˈmɛθəd/	先在截面上作二重积分，再对一个变量积分
投影法	projection method	/prəˈdʒɛkʃən ˈmɛθəd/	即先一后二法
截面法	slicing method	/ˈslaɪsɪŋ ˈmɛθəd/	即先二后一法
投影区域	projection region	/prəˈdʒɛkʃən ˈriːdʒən/	空间区域在坐标平面上的投影
截面	cross-section	/krɔːs ˈsɛkʃən/	垂直于坐标轴的平面与区域的交集
累次积分	iterated integral	/ˈɪtəreɪtɪd ˈɪntɪɡrəl/	依次进行的多次定积分

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直角坐标下的三重积分计算

基本思想

先一后二法（投影法）

先一后二

确定先一后二积分限的步骤

先二后一法（截面法）

何时优先使用先二后一法

先二后一法的适用场景

长方体区域

典型例题

例题1：先一后二法

例题2：先二后一法

例题3：交换积分次序

练习题

练习1

练习2

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