二重积分的应用

解题思路： 先求上半球面 $z = \sqrt{a^2-x^2-y^2}$ 的偏导数，再用曲面面积公式。投影区域是圆 $x^2+y^2 \leq ax$。

详细步骤：

1. 上半球面：$z = \sqrt{a^2-x^2-y^2}$
2. 偏导数：$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}$，$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{-y}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}$
3. $\sqrt{1+z_x^2+z_y^2} = \sqrt{1 + \frac{x^2+y^2}{a^2-x^2-y^2}} = \frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}$
4. 投影区域 $D: x^2+y^2 \leq ax$，极坐标下 $0 \leq \rho \leq a\cos\theta, \, -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$
5. 上半部分面积： $A_1 = \iint_D \frac{a}{\sqrt{a^2-\rho^2}} \cdot \rho \, d\rho \, d\theta = a\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta \int_0^{a\cos\theta} \frac{\rho}{\sqrt{a^2-\rho^2}} d\rho$
6. $\int_0^{a\cos\theta} \frac{\rho}{\sqrt{a^2-\rho^2}} d\rho = [-\sqrt{a^2-\rho^2}]_0^{a\cos\theta} = a - a|\sin\theta| = a(1-|\sin\theta|)$
7. $A_1 = a^2\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (1-|\sin\theta|) d\theta = 2a^2\int_0^{\pi/2} (1-\sin\theta) d\theta = 2a^2[\theta + \cos\theta]_0^{\pi/2} = 2a^2(\frac{\pi}{2} - 1) = a^2(\pi - 2)$
8. 上下两部分总面积：$A = 2A_1 = 2a^2(\pi - 2)$

答案：$2a^2(\pi - 2)$

解题思路： 均匀薄片的质心即形心。区域关于y轴对称，故 $\bar{x} = 0$，只需计算 $\bar{y}$。

详细步骤：

1. 两圆：$\rho = 2\sin\theta$（圆心 $(0,1)$，半径1）和 $\rho = 4\sin\theta$（圆心 $(0,2)$，半径2）
2. 区域关于y轴对称 $\Rightarrow \bar{x} = 0$
3. 面积：$S = \pi \cdot 2^2 - \pi \cdot 1^2 = 3\pi$
4. $\iint_D y \, dx\,dy = \int_0^\pi d\theta \int_{2\sin\theta}^{4\sin\theta} \rho\sin\theta \cdot \rho \, d\rho = \int_0^\pi \sin\theta \cdot \frac{1}{3}[\rho^3]_{2\sin\theta}^{4\sin\theta} d\theta$ $= \frac{1}{3}\int_0^\pi \sin\theta(64\sin^3\theta - 8\sin^3\theta) d\theta = \frac{56}{3}\int_0^\pi \sin^4\theta \, d\theta$ $= \frac{112}{3}\int_0^{\pi/2} \sin^4\theta \, d\theta = \frac{112}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = 7\pi$
5. $\bar{y} = \frac{7\pi}{3\pi} = \frac{7}{3}$

答案：质心为 $(0, \frac{7}{3})$

解题思路： 取直径为x轴，计算关于x轴的转动惯量 $I_x = \iint_D y^2 \rho \, d\sigma$。

详细步骤：

1. 圆盘 $D: x^2+y^2 \leq a^2$，极坐标 $0 \leq \rho \leq a, \, 0 \leq \theta \leq 2\pi$
2. $I_x = \rho \iint_D y^2 \, d\sigma = \rho \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^a (\rho\sin\theta)^2 \cdot \rho \, d\rho$ $= \rho \int_0^{2\pi} \sin^2\theta \, d\theta \int_0^a \rho^3 \, d\rho = \rho \cdot \pi \cdot \frac{a^4}{4} = \frac{1}{4}\pi\rho a^4$
3. 总质量 $M = \rho \cdot \pi a^2$，故 $I_x = \frac{1}{4}Ma^2$

答案：$I_x = \frac{1}{4}Ma^2$（其中 $M$ 为圆盘总质量）

解题思路： 两曲面的交线在 $x^2+y^2=1$ 处。上曲面 $z=2-x^2-y^2$，下曲面 $z=x^2+y^2$。

详细步骤：

1. 交线：$x^2+y^2 = 2-x^2-y^2 \Rightarrow x^2+y^2 = 1$，投影区域 $D: x^2+y^2 \leq 1$
2. $V = \iint_D [(2-x^2-y^2) - (x^2+y^2)] dx\,dy = \iint_D (2-2x^2-2y^2) dx\,dy$
3. 极坐标：$= 2\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 (1-\rho^2)\rho \, d\rho = 4\pi \int_0^1 (\rho-\rho^3) d\rho = 4\pi(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}) = \pi$

答案：$\pi$

解题思路： 区域关于y轴对称，$\bar{x}=0$。计算 $\bar{y}$。

详细步骤：

1. 面积 $S = \frac{1}{2}\pi R^2$
2. $\iint_D y \, dx\,dy = \int_0^\pi d\theta \int_0^R \rho\sin\theta \cdot \rho \, d\rho = \int_0^\pi \sin\theta \, d\theta \int_0^R \rho^2 \, d\rho = 2 \cdot \frac{R^3}{3} = \frac{2R^3}{3}$
3. $\bar{y} = \frac{2R^3/3}{\pi R^2/2} = \frac{4R}{3\pi}$

答案：形心为 $(0, \frac{4R}{3\pi})$