雅可比行列式

雅可比的故事

一位早逝的数学天才

卡尔·古斯塔夫·雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi，1804-1851），德国数学家，与阿贝尔并称为椭圆函数论的创始人。他在行列式理论、数论、微分方程、分析力学等领域都有重要贡献。

雅可比行列式是他在研究多重积分变量替换时引入的，后来成为多元微积分、微分几何、热力学、统计力学等领域的基本工具。雅可比47岁时因天花去世，但他留下的数学遗产影响深远。

“局部缩放率”的本质

雅可比行列式的核心思想是：在变量替换时，它度量了变换在每一点处的”局部面积（体积）缩放率”。就像一元函数换元积分中的 $|f'(x)|$ 度量了长度缩放率一样，雅可比行列式度量了高维变换的面积/体积缩放率。

雅可比矩阵与雅可比行列式

定义

二维情形

对于平面变换 $x = x(u,v), \, y = y(u,v)$：

$J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v}\frac{\partial y}{\partial u}$

三维情形

对于空间变换 $x = x(u,v,w), \, y = y(u,v,w), \, z = z(u,v,w)$：

$J = \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial w} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial w} \\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial w} \end{vmatrix}$

几何意义：局部缩放率

直观理解

雅可比矩阵的列向量是变换后坐标曲线的切向量：

• 第一列 $(\frac{\partial x}{\partial u}, \frac{\partial y}{\partial u})$ 是 $u$-曲线的切向量
• 第二列 $(\frac{\partial x}{\partial v}, \frac{\partial y}{\partial v})$ 是 $v$-曲线的切向量

这两个切向量张成的平行四边形的面积就是 $|J|$。

重要性质

1. 逆变换的雅可比

这个性质在计算中非常有用：当直接计算 $J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}$ 困难时，可以先计算 $\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}$，然后取倒数。

2. 复合变换的雅可比

3. 雅可比为零的意义

当 $J = 0$ 时，变换在该点退化——局部面积缩放率为零，意味着变换将一个小区域压缩为一条线或一个点。这样的点称为临界点，在临界点附近变换不是一一对应的。

常见变换的雅可比

1. 极坐标

变换：$x = \rho\cos\theta, \, y = \rho\sin\theta$

$J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(\rho,\theta)} = \begin{vmatrix} \cos\theta & -\rho\sin\theta \\ \sin\theta & \rho\cos\theta \end{vmatrix} = \rho\cos^2\theta + \rho\sin^2\theta = \rho$

面积元素：$dx\,dy = \rho \, d\rho \, d\theta$

2. 柱坐标

变换：$x = \rho\cos\theta, \, y = \rho\sin\theta, \, z = z$

$J = \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\theta,z)} = \begin{vmatrix} \cos\theta & -\rho\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \rho\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \rho$

体积元素：$dv = \rho \, d\rho \, d\theta \, dz$

3. 球坐标

变换：$x = r\sin\phi\cos\theta, \, y = r\sin\phi\sin\theta, \, z = r\cos\phi$

$J = \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\phi,\theta)} = \begin{vmatrix} \sin\phi\cos\theta & r\cos\phi\cos\theta & -r\sin\phi\sin\theta \\ \sin\phi\sin\theta & r\cos\phi\sin\theta & r\sin\phi\cos\theta \\ \cos\phi & -r\sin\phi & 0 \end{vmatrix} = r^2\sin\phi$

体积元素：$dv = r^2\sin\phi \, dr \, d\phi \, d\theta$

4. 广义极坐标（椭圆坐标）

变换：$x = a\rho\cos\theta, \, y = b\rho\sin\theta$

$J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(\rho,\theta)} = \begin{vmatrix} a\cos\theta & -a\rho\sin\theta \\ b\sin\theta & b\rho\cos\theta \end{vmatrix} = ab\rho$

面积元素：$dx\,dy = ab\rho \, d\rho \, d\theta$

5. 线性变换

变换：$x = au + bv, \, y = cu + dv$

$J = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$

这是常数，线性变换的缩放率在整个平面上是均匀的。

雅可比行列式在积分中的应用

二重积分的变量替换

三重积分的变量替换

$\iiint_\Omega f(x,y,z) \, dv = \iiint_{\Omega'} f(x(u,v,w), y(u,v,w), z(u,v,w)) \left| \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} \right| du\,dv\,dw$

典型例题

例题1：用逆变换求雅可比

设变换 $u = x+y, \, v = x-y$，求 $\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}$。

例题2：双曲变换的雅可比

设变换 $x = a(u^2-v^2), \, y = 2auv$（双曲坐标变换），求雅可比行列式。

例题3：用变量替换计算积分

计算 $\iint_D (x+y) \, dx\,dy$，其中 $D$ 是由 $x+y=1, \, x+y=2, \, x-y=0, \, x-y=1$ 围成的平行四边形。

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练习题

练习1

求变换 $x = u+v, \, y = uv$ 的雅可比行列式。

练习2

用广义极坐标计算椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \leq 1$ 的面积。

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总结

本文出现的符号

中英对照