球坐标下的三重积分计算

解题思路： 球体 + 被积函数含 $x^2+y^2+z^2$，球坐标是最佳选择。

详细步骤：

1. 球坐标变换，体积元素 $r^2\sin\phi \, dr \, d\phi \, d\theta$
2. 积分区域：$0 \leq r \leq R, \, 0 \leq \phi \leq \pi, \, 0 \leq \theta \leq 2\pi$
3. 被积函数：$x^2+y^2+z^2 = r^2$
4. $\iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2) dv = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\pi \sin\phi \, d\phi \int_0^R r^2 \cdot r^2 \, dr$ $= 2\pi \cdot [-\cos\phi]_0^\pi \cdot \left[\frac{r^5}{5}\right]_0^R = 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{R^5}{5} = \frac{4\pi R^5}{5}$

答案：$\frac{4\pi R^5}{5}$

解题思路： 球面 $x^2+y^2+z^2=2Rz$ 即 $x^2+y^2+(z-R)^2=R^2$（球心在 $(0,0,R)$，半径 $R$）。圆锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 对应 $\phi=\frac{\pi}{4}$。

详细步骤：

1. 球面的球坐标方程：$r^2 = 2Rr\cos\phi \Rightarrow r = 2R\cos\phi$
2. 圆锥面：$\phi = \frac{\pi}{4}$
3. 积分区域：$0 \leq r \leq 2R\cos\phi, \, 0 \leq \phi \leq \frac{\pi}{4}, \, 0 \leq \theta \leq 2\pi$
4. 被积函数：$z = r\cos\phi$
5. $\iiint_\Omega z \, dv = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\pi/4} d\phi \int_0^{2R\cos\phi} r\cos\phi \cdot r^2\sin\phi \, dr$ $= 2\pi \int_0^{\pi/4} \cos\phi\sin\phi \, d\phi \int_0^{2R\cos\phi} r^3 dr = 2\pi \int_0^{\pi/4} \cos\phi\sin\phi \cdot \frac{(2R\cos\phi)^4}{4} d\phi$ $= 2\pi \cdot 4R^4 \int_0^{\pi/4} \cos^5\phi\sin\phi \, d\phi = 8\pi R^4 \cdot \left[-\frac{\cos^6\phi}{6}\right]_0^{\pi/4}$ $= 8\pi R^4 \cdot \frac{1}{6}\left(1 - \frac{1}{8}\right) = \frac{4\pi R^4}{3} \cdot \frac{7}{8} = \frac{7\pi R^4}{6}$

答案：$\frac{7\pi R^4}{6}$

解题思路： 球壳区域，球坐标下积分限为常数，计算简单。

详细步骤：

1. 球坐标：$1 \leq r \leq 2, \, 0 \leq \phi \leq \pi, \, 0 \leq \theta \leq 2\pi$
2. 被积函数：$\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} = \frac{1}{r}$
3. $\iiint_\Omega \frac{1}{r} \cdot r^2\sin\phi \, dr \, d\phi \, d\theta = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\pi \sin\phi \, d\phi \int_1^2 r \, dr = 2\pi \cdot 2 \cdot \left[\frac{r^2}{2}\right]_1^2 = 4\pi \cdot \frac{3}{2} = 6\pi$

答案：$6\pi$

解题思路： 单位球 + 被积函数含 $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$，球坐标。

详细步骤：

1. 球坐标：$0 \leq r \leq 1, \, 0 \leq \phi \leq \pi, \, 0 \leq \theta \leq 2\pi$
2. $\iiint_\Omega r \cdot r^2\sin\phi \, dr \, d\phi \, d\theta = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\pi \sin\phi \, d\phi \int_0^1 r^3 dr = 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{1}{4} = \pi$

答案：$\pi$

解题思路： 球体上的积分，由对称性 $\iiint x^2 = \iiint y^2 = \iiint z^2$，可以先求 $\iiint (x^2+y^2+z^2)$ 再除以3。

详细步骤：

1. 由轮换对称性：$\iiint_\Omega x^2 dv = \iiint_\Omega y^2 dv = \iiint_\Omega z^2 dv$
2. $\iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2) dv = 3\iiint_\Omega z^2 dv$
3. 由例题1知 $\iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2) dv = \frac{4\pi R^5}{5}$
4. 因此 $\iiint_\Omega z^2 dv = \frac{1}{3} \cdot \frac{4\pi R^5}{5} = \frac{4\pi R^5}{15}$

答案：$\frac{4\pi R^5}{15}$