曲线积分与曲面积分

第一类曲线积分

设 $L$ 为空间的一条光滑曲线，函数 $f(x,y,z)$ 在 $L$ 上有定义，将曲线 $L$ 任意分成 $n$ 个小弧段 $\Delta s_i$ ，在每个小弧段上任取一点 $(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)$ ，作和：

$\sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta s_i$

当各小弧段长度的最大值 $\lambda \to 0$ 时，如果和的极限存在，则称此极限为函数 $f(x,y,z)$ 沿曲线 $L$ 的第一类曲线积分，记作：

$\int_L f(x,y,z) \, ds$

计算方法

第一类曲线积分计算

对于参数曲线 $L: \begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases}$ ， $a \leq t \leq b$

$\int_L f(x,y,z) \, ds = \int_a^b f(x(t), y(t), z(t)) \sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dy}{dt} \right)^2 + \left( \frac{dz}{dt} \right)^2} \, dt$

第二类曲线积分

设 $L$ 为空间的一条有向光滑曲线，函数 $P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)$ 在 $L$ 上有定义，将曲线 $L$ 任意分成 $n$ 个小弧段 $\Delta s_i$ ，在每个小弧段上任取一点 $(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)$ ，作和：

$\sum_{i=1}^n \left[ P(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta x_i + Q(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta y_i + R(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta z_i \right]$

当各小弧段长度的最大值 $\lambda \to 0$ 时，如果和的极限存在，则称此极限为第二类曲线积分，记作：

$\int_L P \, dx + Q \, dy + R \, dz$

计算方法

第二类曲线积分计算

对于参数曲线 $L: \begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases}$ ， $a \leq t \leq b$

$\int_L P \, dx + Q \, dy + R \, dz = \int_a^b \left[ P(x(t), y(t), z(t)) \frac{dx}{dt} + Q(x(t), y(t), z(t)) \frac{dy}{dt} + R(x(t), y(t), z(t)) \frac{dz}{dt} \right] dt$

第一类曲面积分

设 $\Sigma$ 为空间中的一块光滑曲面，函数 $f(x,y,z)$ 在 $\Sigma$ 上有定义，将曲面 $\Sigma$ 任意分成 $n$ 个小块 $\Delta S_i$ ，在每个小块上任取一点 $(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)$ ，作和：

$\sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta S_i$

当各小块直径的最大值 $\lambda \to 0$ 时，如果和的极限存在，则称此极限为函数 $f(x,y,z)$ 在曲面 $\Sigma$ 上的第一类曲面积分，记作：

$\iint_\Sigma f(x,y,z) \, dS$

计算方法

第一类曲面积分计算

对于参数曲面 $\Sigma: \begin{cases} x = x(u,v) \\ y = y(u,v) \\ z = z(u,v) \end{cases}$ ， $(u,v) \in D$

$\iint_\Sigma f \, dS = \iint_D f(x(u,v), y(u,v), z(u,v)) \sqrt{EG - F^2} \, du \, dv$

其中 $E = (\frac{\partial x}{\partial u})^2 + (\frac{\partial y}{\partial u})^2 + (\frac{\partial z}{\partial u})^2$ $F = \frac{\partial x}{\partial u}\frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial y}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial z}{\partial v}$ $G = (\frac{\partial x}{\partial v})^2 + (\frac{\partial y}{\partial v})^2 + (\frac{\partial z}{\partial v})^2$

第二类曲面积分

设 $\Sigma$ 为空间中的一块有向光滑曲面，函数 $P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)$ 在 $\Sigma$ 上有定义，将曲面 $\Sigma$ 任意分成 $n$ 个小块 $\Delta S_i$ ，在每个小块上任取一点 $(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)$ ，作和：

$\sum_{i=1}^n \left[ P(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \cos\alpha_i + Q(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \cos\beta_i + R(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \cos\gamma_i \right] \Delta S_i$

当各小块直径的最大值 $\lambda \to 0$ 时，如果和的极限存在，则称此极限为第二类曲面积分，记作：

$\iint_\Sigma P \, dy\, dz + Q \, dz\, dx + R \, dx\, dy$

计算方法

第二类曲面积分计算

对于显函数 $z = z(x,y)$ 表示的曲面：

$\iint_\Sigma P \, dy\, dz + Q \, dz\, dx + R \, dx\, dy = \pm \iint_{D_{xy}} \left( P \frac{\partial z}{\partial x} + Q \frac{\partial z}{\partial y} + R \right) dx \, dy$

其中正负号取决于曲面的侧。

格林公式

定理 1

设闭区域 $D$ 由分段光滑的曲线 $L$ 围成，函数 $P(x,y), Q(x,y)$ 在 $D$ 上有一阶连续偏导数，则：

$\oint_L P \, dx + Q \, dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx \, dy$

高斯公式

定理 2

设闭区域 $\Omega$ 由分片光滑的闭曲面 $\Sigma$ 围成，函数 $P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)$ 在 $\Omega$ 上有一阶连续偏导数，则：

$\oiint_\Sigma P \, dy\, dz + Q \, dz\, dx + R \, dx\, dy = \iiint_\Omega \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dv$

斯托克斯公式

定理 3

设 $\Sigma$ 为分片光滑的有向曲面， $L$ 为 $\Sigma$ 的正向边界曲线，函数 $P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)$ 在 $\Sigma$ 及其边界上有一阶连续偏导数，则：

$\oint_L P \, dx + Q \, dy + R \, dz = \iint_\Sigma \left| \begin{array}{ccc} \cos\alpha & \cos\beta & \cos\gamma \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{array} \right| dS$

练习题

练习 1

计算 $\int_L (x^2 + y^2) \, ds$ ，其中 $L$ 是圆 $x^2 + y^2 = a^2$ ， $z = 0$ 。

参考答案 (3 个标签)

第一类曲线积分圆周参数方程

解题思路：圆的参数方程计算弧长积分。

详细步骤：

参数方程： $x = a \cos\theta$ ， $y = a \sin\theta$ ， $z = 0$ ， $\theta$ 从 0 到 $2\pi$
速度向量长度： $\sqrt{ (\frac{dx}{d\theta})^2 + (\frac{dy}{d\theta})^2 + (\frac{dz}{d\theta})^2 } = \sqrt{ (-a\sin\theta)^2 + (a\cos\theta)^2 + 0 } = a$
积分计算： $\int_L (x^2 + y^2) \, ds = \int_0^{2\pi} (a^2 \cos^2\theta + a^2 \sin^2\theta) a \, d\theta$ $= a^3 \int_0^{2\pi} d\theta = a^3 \cdot 2\pi = 2\pi a^3$

答案： $2\pi a^3$

练习 2

计算 $\iint_\Sigma (x^2 + y^2) \, dS$ ，其中 $\Sigma$ 是球面 $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$ 。

参考答案 (3 个标签)

第一类曲面积分球面参数方程

解题思路：球面的参数方程和面积元素计算。

详细步骤：

球坐标参数方程： $x = a \sin\phi \cos\theta$ $y = a \sin\phi \sin\theta$ $z = a \cos\phi$ 参数区域： $0 \leq \theta \leq 2\pi$ ， $0 \leq \phi \leq \pi$
计算 $E, F, G$ ： $E = a^2 \cos^2\phi \cos^2\theta + a^2 \cos^2\phi \sin^2\theta + a^2 \sin^2\phi = a^2 (\cos^2\phi + \sin^2\phi) = a^2$ $F = 0$ $G = a^2 \sin^2\phi$
面积元素： $\sqrt{EG - F^2} = \sqrt{a^2 \cdot a^2 \sin^2\phi} = a^2 |\sin\phi|$
积分计算： $\iint_\Sigma (x^2 + y^2) \, dS = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi (a^2 \sin^2\phi \cos^2\theta + a^2 \sin^2\phi \sin^2\theta) a^2 \sin\phi \, d\phi \, d\theta$ $= a^4 \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \sin^3\phi \, d\phi \, d\theta = a^4 \cdot 2\pi \cdot \int_0^\pi \sin^3\phi \, d\phi$ $= 2\pi a^4 \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3} \pi a^4$

答案： $\frac{8}{3} \pi a^4$

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\int_L$	曲线积分	line integral	沿曲线的积分
$\iint_\Sigma$	曲面积分	surface integral	沿曲面的积分
$ds$	弧长元素	arc length element	曲线弧长微元
$dS$	面积元素	area element	曲面面积微元

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
第一类曲线积分	line integral of first kind	/laɪn ˈɪntɪɡrəl əv fɜːrst kaɪnd/	沿弧长的积分
第二类曲线积分	line integral of second kind	/laɪn ˈɪntɪɡrəl əv ˈsɛkənd kaɪnd/	沿坐标的积分
第一类曲面积分	surface integral of first kind	/ˈsɜːrfɪs ˈɪntɪɡrəl əv fɜːrst kaɪnd/	沿面积的积分
第二类曲面积分	surface integral of second kind	/ˈsɜːrfɪs ˈɪntɪɡrəl əv ˈsɛkənd kaɪnd/	沿投影的积分

上一章节变量替换法学习多元积分中的变量替换（换元）方法，包括一般公式和重要应用。下一章节向量场理论学习向量场的概念、性质以及相关的积分定理。

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