曲线积分与曲面积分

前面几章在区域上积分，本章转向在曲线和曲面上积分。定义看起来突然变复杂——曲线积分中的 $\mathrm{d}s$ 怎么来的、曲面积分中 $\mathrm{d}S\,dx$ 是什么意思——但本质都是「在被积对象上累加」。

第一类曲线积分与第二类曲线积分的区别在于是否定向：前者只累加数值，后者累加向量在指定方向上的投影。曲面积分同样有第一类（对面积）与第二类（对坐标）之分，两类都建立在参数化之上。

本章的核心是三个公式：格林公式把平面闭曲线积分化为二重积分，高斯公式把闭曲面积分化为三重积分，斯托克斯公式把曲面积分化为曲线积分。它们把不同维度的积分联系起来，是整个多元微积分最有力的工具，也是后续学习电磁学与流体力学的基础。