变量替换法

本章解释为什么换坐标系时必须乘一个雅可比行列式。这个问题在二重积分中就有答案——极坐标中的面积元 $r\,dr\,d\theta$ 显然不等于 $dx\,dy$——本章把它推广到一般情形。

雅可比行列式的几何意义是变换前后体积的缩放比，这与线性代数中行列式的含义完全一致，两个学科在这里合流。一般公式背后的直观是：无穷小区域在变换下被拉伸或压缩的倍数，就是该点处雅可比行列式的值。

本章还会给出选择变换的实用策略：先看被积函数与区域中哪部分「不对称」，变换就消去哪部分。多数考试题都能用这一思路快速判断该用哪种坐标系。