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多元函数积分学

变量替换法

变量替换的一般公式

定理 1

设变换 T:{x=x(u,v)y=y(u,v)T: \begin{cases} x = x(u, v) \\ y = y(u, v) \end{cases} 将 uvuv 平面上的区域 D′D' 一一对应地映射为 xyxy 平面上的区域 DD，且满足：

  1. x(u,v),y(u,v)x(u,v), y(u,v) 在 D′D' 上有一阶连续偏导数
  2. 雅可比行列式 J=∂(x,y)∂(u,v)≠0J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \neq 0
  3. 变换 TT 是单叶的

则有变量替换公式：

∬Df(x,y) dx dy=∬D′f(x(u,v),y(u,v))∣J∣ du dv\iint_D f(x,y) \, dx\, dy = \iint_{D'} f(x(u,v), y(u,v)) |J| \, du \, dv

雅可比行列式

雅可比行列式

J=∂(x,y)∂(u,v)=∣∂x∂u∂x∂v∂y∂u∂y∂v∣=∂x∂u∂y∂v−∂x∂v∂y∂uJ = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u}

三重积分的变量替换

三重积分换元

对于三重积分的变量替换：

∭Ωf(x,y,z) dx dy dz=∭Ω′f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))∣J∣ du dv dw\iiint_\Omega f(x,y,z) \, dx\, dy\, dz = \iiint_{\Omega'} f(x(u,v,w), y(u,v,w), z(u,v,w)) |J| \, du \, dv \, dw

其中 J=∂(x,y,z)∂(u,v,w)J = \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}

重要变量替换

极坐标变换

极坐标变换

{x=ρcos⁡θy=ρsin⁡θ\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \end{cases}

雅可比行列式：J=∣cos⁡θ−ρsin⁡θsin⁡θρcos⁡θ∣=ρJ = \begin{vmatrix} \cos\theta & -\rho\sin\theta \\ \sin\theta & \rho\cos\theta \end{vmatrix} = \rho

换元公式：∬Df(x,y) dx dy=∬D′f(ρcos⁡θ,ρsin⁡θ)ρ dρ dθ\iint_D f(x,y) \, dx\, dy = \iint_{D'} f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta) \rho \, d\rho \, d\theta

柱坐标变换

柱坐标变换

{x=ρcos⁡θy=ρsin⁡θz=z\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \\ z = z \end{cases}

雅可比行列式：J=ρJ = \rho

换元公式：∭Ωf(x,y,z) dx dy dz=∭Ω′f(ρcos⁡θ,ρsin⁡θ,z)ρ dρ dθ dz\iiint_\Omega f(x,y,z) \, dx\, dy\, dz = \iiint_{\Omega'} f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta, z) \rho \, d\rho \, d\theta \, dz

球坐标变换

球坐标变换

{x=rsin⁡ϕcos⁡θy=rsin⁡ϕsin⁡θz=rcos⁡ϕ\begin{cases} x = r \sin\phi \cos\theta \\ y = r \sin\phi \sin\theta \\ z = r \cos\phi \end{cases}

雅可比行列式：J=∣sin⁡ϕcos⁡θrcos⁡ϕcos⁡θ−rsin⁡ϕsin⁡θsin⁡ϕsin⁡θrcos⁡ϕsin⁡θrsin⁡ϕcos⁡θcos⁡ϕ−rsin⁡ϕ0∣=r2sin⁡ϕJ = \begin{vmatrix} \sin\phi\cos\theta & r\cos\phi\cos\theta & -r\sin\phi\sin\theta \\ \sin\phi\sin\theta & r\cos\phi\sin\theta & r\sin\phi\cos\theta \\ \cos\phi & -r\sin\phi & 0 \end{vmatrix} = r^2 \sin\phi

换元公式：∭Ωf(x,y,z) dx dy dz=∭Ω′f(rsin⁡ϕcos⁡θ,rsin⁡ϕsin⁡θ,rcos⁡ϕ)r2sin⁡ϕ dr dϕ dθ\iiint_\Omega f(x,y,z) \, dx\, dy\, dz = \iiint_{\Omega'} f(r\sin\phi\cos\theta, r\sin\phi\sin\theta, r\cos\phi) r^2 \sin\phi \, dr \, d\phi \, d\theta

广义极坐标变换

指数变换

指数变换

{x=aeucos⁡vy=aeusin⁡v\begin{cases} x = ae^{u} \cos v \\ y = ae^{u} \sin v \end{cases}

雅可比行列式：J=a2e2uJ = a^2 e^{2u}

用于计算形如 ∬D1(x2+y2)k dx dy\iint_D \frac{1}{(x^2 + y^2)^k} \, dx\, dy 的积分

双曲变换

双曲变换

{x=au2−v22y=auv\begin{cases} x = a \frac{u^2 - v^2}{2} \\ y = a uv \end{cases}

雅可比行列式：J=a2u2+v22J = a^2 \frac{u^2 + v^2}{2}

用于计算形如 ∬D1(x2+y2)k dx dy\iint_D \frac{1}{(x^2 + y^2)^k} \, dx\, dy 的积分

应用示例

计算椭圆区域上的积分

椭圆变换

椭圆 x2a2+y2b2≤1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq 1 的面积：

变换：{x=auy=bv\begin{cases} x = a u \\ y = b v \end{cases}，J=abJ = ab

S=∬x2/a2+y2/b2≤1dx dy=∬u2+v2≤1ab du dv=ab⋅π=πabS = \iint_{x^2/a^2 + y^2/b^2 \leq 1} dx\, dy = \iint_{u^2 + v^2 \leq 1} ab \, du \, dv = ab \cdot \pi = \pi ab

练习题

练习 1

计算 ∬D1(x2+y2)2 dx dy\iint_D \frac{1}{(x^2 + y^2)^2} \, dx\, dy，其中 DD 是圆 x2+y2≤1x^2 + y^2 \leq 1。

参考答案 (3 个标签)
极坐标变换 幂函数积分 圆域

解题思路： 积分函数是关于 x2+y2x^2 + y^2 的函数，适合用极坐标变换。

详细步骤：

  1. 极坐标变换：x=ρcos⁡θx = \rho \cos\theta，y=ρsin⁡θy = \rho \sin\theta 雅可比行列式：J=ρJ = \rho

  2. 积分区域：0≤ρ≤10 \leq \rho \leq 1，0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi

  3. 积分计算： ∬D1(x2+y2)2 dx dy=∫02πdθ∫011ρ2⋅ρ dρ\iint_D \frac{1}{(x^2 + y^2)^2} \, dx\, dy = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 \frac{1}{\rho^2} \cdot \rho \, d\rho =2π∫011ρ dρ=2π[ln⁡ρ]01=∞= 2\pi \int_0^1 \frac{1}{\rho} \, d\rho = 2\pi [\ln\rho]_0^1 = \infty

  4. 积分发散，因为在原点附近 1ρ\frac{1}{\rho} 不可积。

答案：积分发散

练习 2

计算 ∬De−(x2+y2) dx dy\iint_D e^{-(x^2 + y^2)} \, dx\, dy，其中 DD 是整个平面。

参考答案 (3 个标签)
极坐标变换 高斯积分 全平面

解题思路： 高斯型积分适合用极坐标变换。

详细步骤：

  1. 极坐标变换：x=ρcos⁡θx = \rho \cos\theta，y=ρsin⁡θy = \rho \sin\theta 雅可比行列式：J=ρJ = \rho

  2. 积分区域：0≤ρ<∞0 \leq \rho < \infty，0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi

  3. 积分计算： ∬De−(x2+y2) dx dy=∫02πdθ∫0∞e−ρ2ρ dρ\iint_D e^{-(x^2 + y^2)} \, dx\, dy = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\infty e^{-\rho^2} \rho \, d\rho =2π∫0∞e−ρ2ρ dρ= 2\pi \int_0^\infty e^{-\rho^2} \rho \, d\rho

  4. 令 t=ρ2t = \rho^2，则 dt=2ρdρdt = 2\rho d\rho，ρdρ=12dt\rho d\rho = \frac{1}{2} dt =2π⋅12∫0∞e−t dt=π∫0∞e−t dt=π= 2\pi \cdot \frac{1}{2} \int_0^\infty e^{-t} \, dt = \pi \int_0^\infty e^{-t} \, dt = \pi

答案：π\pi

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
JJ雅可比行列式Jacobian determinant坐标变换的雅可比行列式
换元公式substitution formulasubstitution formula变量替换的积分公式

中英对照

中文术语英文术语音标说明
变量替换change of variables/tʃeɪndʒ əv ˈvɛriəbəlz/积分变量的替换
雅可比行列式Jacobian determinant/dʒəˈkoʊbiən dɪˈtɜːrmɪnənt/偏导数组成的行列式
极坐标变换polar coordinate transformation/ˈpoʊlər koʊˈɔːrdɪneɪt ˌtrænsfərˈmeɪʃən/从直角坐标到极坐标的变换
球坐标变换spherical coordinate transformation/ˈsfɪrɪkəl koʊˈɔːrdɪneɪt ˌtrænsfərˈmeɪʃən/从直角坐标到球坐标的变换
上一章节三重积分学习三重积分的概念、计算方法和几何意义。 下一章节曲线积分与曲面积分学习第一类和第二类曲线积分、第一类和第二类曲面积分的概念和计算方法。

课程路线图

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    高等数学之函数探秘

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    函数是高等数学的核心概念，本系列文档系统介绍函数的基本概念、性质和应用。

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    数列是高等数学的基石，本系列文档系统介绍数列的基本概念、性质、极限理论及其应用。

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    极限是微积分的基础，也是高等数学中最重要的概念之一。

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    掌握向量运算和空间中点、线、面的方程及其相互关系。

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    将微分学的思想扩展到多个变量，研究偏导数、全微分及其应用。

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    一元函数积分学

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    学习不定积分与定积分的理论和计算，并应用于几何与物理问题。

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    多元函数积分学

    当前课程

    学习二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分的概念、计算与应用。

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