梯度、散度与旋度

哈密顿算子（nabla算子）

在向量分析中，引入哈密顿算子（又称 nabla 算子、劈形算子）：

$\nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) = \frac{\partial}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial}{\partial y}\vec{j} + \frac{\partial}{\partial z}\vec{k}$

$\nabla$ 是一个向量形式的微分算子，它既具有向量的性质，又具有微分算子的性质。利用 $\nabla$ ，梯度、散度、旋度可以统一表示为：

梯度： $\nabla u$ （ $\nabla$ 与标量 $u$ 的”数乘”）
散度： $\nabla \cdot \vec{F}$ （ $\nabla$ 与向量 $\vec{F}$ 的”点乘”）
旋度： $\nabla \times \vec{F}$ （ $\nabla$ 与向量 $\vec{F}$ 的”叉乘”）

梯度

梯度的定义

梯度

设数量函数 $u(x,y,z)$ 在空间区域 $\Omega$ 内具有一阶连续偏导数，则向量

$\nabla u = \frac{\partial u}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial u}{\partial y}\vec{j} + \frac{\partial u}{\partial z}\vec{k} = \left( \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z} \right)$

称为函数 $u$ 在点 $(x,y,z)$ 处的梯度，记作 $\nabla u$ 或 $\text{grad}\, u$ 。

梯度的几何意义

梯度的方向是函数 $u$ 在该点增长最快的方向（方向导数最大的方向）
梯度的模 $|\nabla u|$ 是函数在该点的最大方向导数
梯度方向垂直于等值面（或等值线），指向函数值增大的一侧
函数沿任意方向 $\vec{l}$ 的方向导数等于梯度在该方向上的投影： $\frac{\partial u}{\partial l} = \nabla u \cdot \vec{e}_l$

梯度的物理意义

电势的负梯度是电场强度： $\vec{E} = -\nabla \phi$
势能的负梯度是力： $\vec{F} = -\nabla U$
温度梯度指向温度升高最快的方向

散度

散度的定义

散度

设向量场 $\vec{F}(x,y,z) = P\vec{i} + Q\vec{j} + R\vec{k}$ ，其中 $P, Q, R$ 具有一阶连续偏导数，则数量

$\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$

称为向量场 $\vec{F}$ 在点 $(x,y,z)$ 处的散度，记作 $\nabla \cdot \vec{F}$ 或 $\text{div}\, \vec{F}$ 。

散度的物理意义

散度表示向量场在该点的”源强度”，即单位体积内向外流出的通量。

$\nabla \cdot \vec{F} > 0$ ：该点是源（正源），向量场从该点向外发散，有流体从该点”涌出”
$\nabla \cdot \vec{F} < 0$ ：该点是汇（负源/漏），向量场向该点汇聚，有流体在该点”消失”
$\nabla \cdot \vec{F} = 0$ ：该点无源无汇，流入的流体等于流出的流体

散度是标量，描述向量场的”发散程度”。

散度与高斯公式

高斯公式可以用散度简洁表示：

$\oiint_\Sigma \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iiint_\Omega (\nabla \cdot \vec{F}) \, dv$

即：通过闭曲面外侧的通量 = 散度在区域内的体积分。

旋度

旋度的定义

旋度

设向量场 $\vec{F}(x,y,z) = P\vec{i} + Q\vec{j} + R\vec{k}$ ，其中 $P, Q, R$ 具有一阶连续偏导数，则向量

$\nabla \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right)\vec{i} + \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right)\vec{j} + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)\vec{k}$

称为向量场 $\vec{F}$ 在点 $(x,y,z)$ 处的旋度，记作 $\nabla \times \vec{F}$ 或 $\text{rot}\, \vec{F}$ （或 $\text{curl}\, \vec{F}$ ）。

旋度的物理意义

旋度表示向量场在该点的”旋转强度”和旋转轴方向。

旋度的方向：旋转轴的方向（右手定则：四指沿旋转方向，大拇指指向旋度方向）
旋度的模：旋转的角速度的2倍（对于刚体旋转 $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$ ，有 $\nabla \times \vec{v} = 2\vec{\omega}$ ）
$\nabla \times \vec{F} = 0$ ：该点无旋转，向量场是无旋的

旋度是向量，描述向量场的”旋转程度”。

旋度与斯托克斯公式

斯托克斯公式可以用旋度简洁表示：

$\oint_L \vec{F} \cdot d\vec{r} = \iint_\Sigma (\nabla \times \vec{F}) \cdot d\vec{S}$

即：沿闭曲线的环流量 = 旋度通过以该曲线为边界的曲面的通量。

三大算子的运算性质

梯度的运算性质

$\nabla(cu) = c\nabla u$ （ $c$ 为常数）
$\nabla(u \pm v) = \nabla u \pm \nabla v$
$\nabla(uv) = u\nabla v + v\nabla u$
$\nabla\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v\nabla u - u\nabla v}{v^2}$
$\nabla f(u) = f'(u)\nabla u$ （复合函数）

散度的运算性质

$\nabla \cdot (c\vec{F}) = c\nabla \cdot \vec{F}$
$\nabla \cdot (\vec{F} \pm \vec{G}) = \nabla \cdot \vec{F} \pm \nabla \cdot \vec{G}$
$\nabla \cdot (u\vec{F}) = u\nabla \cdot \vec{F} + \nabla u \cdot \vec{F}$

旋度的运算性质

$\nabla \times (c\vec{F}) = c\nabla \times \vec{F}$
$\nabla \times (\vec{F} \pm \vec{G}) = \nabla \times \vec{F} \pm \nabla \times \vec{G}$
$\nabla \times (u\vec{F}) = u\nabla \times \vec{F} + \nabla u \times \vec{F}$

二阶算子的重要恒等式

定理1

梯度的旋度为零： $\nabla \times (\nabla u) = \vec{0}$ （任何梯度场都是无旋场）
旋度的散度为零： $\nabla \cdot (\nabla \times \vec{F}) = 0$ （任何旋度场都是无源场）
拉普拉斯算子： $\nabla \cdot (\nabla u) = \nabla^2 u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}$

理论基础

这两个恒等式是向量场分类的理论基础：

$\nabla \times (\nabla u) = 0$ → 梯度场一定是无旋场 → 无旋场（在单连通区域内）一定是梯度场（有势场）
$\nabla \cdot (\nabla \times \vec{F}) = 0$ → 旋度场一定是无源场 → 无源场（在特定区域内）一定是旋度场（有矢势）

典型例题

例题1：计算梯度、散度、旋度

设 $u = x^2 + y^2 + z^2$ ， $\vec{F} = (x^2y, y^2z, z^2x)$ ，求 $\nabla u$ ， $\nabla \cdot \vec{F}$ ， $\nabla \times \vec{F}$ 。

参考答案

梯度散度旋度计算

解题思路：按定义直接计算偏导数。

详细步骤：

梯度： $\nabla u = (\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}) = (2x, 2y, 2z)$
散度： $\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2y) + \frac{\partial}{\partial y}(y^2z) + \frac{\partial}{\partial z}(z^2x) = 2xy + 2yz + 2zx$
旋度： $\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial y}(z^2x) - \frac{\partial}{\partial z}(y^2z) = 0 - y^2 = -y^2$ $\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial z}(x^2y) - \frac{\partial}{\partial x}(z^2x) = 0 - z^2 = -z^2$ $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial x}(y^2z) - \frac{\partial}{\partial y}(x^2y) = 0 - x^2 = -x^2$ $\nabla \times \vec{F} = (-y^2, -z^2, -x^2)$

答案： $\nabla u = (2x,2y,2z)$ ， $\nabla \cdot \vec{F} = 2(xy+yz+zx)$ ， $\nabla \times \vec{F} = (-y^2,-z^2,-x^2)$

例题2：验证恒等式

验证 $\nabla \times (\nabla u) = \vec{0}$ ，其中 $u = xyz$ 。

参考答案

梯度旋度恒等式验证混合偏导

解题思路：先求梯度，再求旋度，利用混合偏导数相等。

详细步骤：

$\nabla u = (\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}) = (yz, xz, xy)$
$\nabla \times (\nabla u) = \nabla \times (yz, xz, xy)$
$x$ 分量： $\frac{\partial}{\partial y}(xy) - \frac{\partial}{\partial z}(xz) = x - x = 0$
$y$ 分量： $\frac{\partial}{\partial z}(yz) - \frac{\partial}{\partial x}(xy) = y - y = 0$
$z$ 分量： $\frac{\partial}{\partial x}(xz) - \frac{\partial}{\partial y}(yz) = z - z = 0$
因此 $\nabla \times (\nabla u) = (0,0,0) = \vec{0}$

答案：验证成立， $\nabla \times (\nabla u) = \vec{0}$ 。

例题3：刚体旋转的旋度

设刚体以角速度 $\vec{\omega} = (0, 0, \omega)$ 绕 $z$ 轴旋转，速度场为 $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r} = (-\omega y, \omega x, 0)$ ，求旋度 $\nabla \times \vec{v}$ 。

参考答案

旋度刚体旋转角速度物理意义

解题思路：直接计算旋度，验证旋度等于2倍角速度。

详细步骤：

$\vec{v} = (-\omega y, \omega x, 0)$ ，即 $P = -\omega y, \, Q = \omega x, \, R = 0$
$x$ 分量： $\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} = 0 - 0 = 0$
$y$ 分量： $\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} = 0 - 0 = 0$
$z$ 分量： $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = \omega - (-\omega) = 2\omega$
$\nabla \times \vec{v} = (0, 0, 2\omega) = 2\vec{\omega}$

答案： $\nabla \times \vec{v} = 2\vec{\omega}$ ，旋度等于角速度的2倍，方向沿旋转轴。

练习题

练习1

设 $u = e^{xyz}$ ，求 $\nabla u$ 。

参考答案

梯度复合函数指数函数

解题思路：用复合函数求导法则。

详细步骤：

$\frac{\partial u}{\partial x} = yz \cdot e^{xyz}$
$\frac{\partial u}{\partial y} = xz \cdot e^{xyz}$
$\frac{\partial u}{\partial z} = xy \cdot e^{xyz}$
$\nabla u = e^{xyz}(yz, xz, xy)$

答案： $\nabla u = e^{xyz}(yz, xz, xy)$

练习2

设 $\vec{F} = (y^2, z^2, x^2)$ ，求 $\nabla \cdot \vec{F}$ 和 $\nabla \times \vec{F}$ 。

参考答案

散度旋度计算

解题思路：按定义计算。

详细步骤：

散度： $\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial}{\partial x}(y^2) + \frac{\partial}{\partial y}(z^2) + \frac{\partial}{\partial z}(x^2) = 0+0+0 = 0$
旋度： $x$ 分量： $\frac{\partial}{\partial y}(x^2) - \frac{\partial}{\partial z}(z^2) = 0 - 2z = -2z$ $y$ 分量： $\frac{\partial}{\partial z}(y^2) - \frac{\partial}{\partial x}(x^2) = 0 - 2x = -2x$ $z$ 分量： $\frac{\partial}{\partial x}(z^2) - \frac{\partial}{\partial y}(y^2) = 0 - 2y = -2y$
$\nabla \times \vec{F} = (-2z, -2x, -2y)$

答案： $\nabla \cdot \vec{F} = 0$ ， $\nabla \times \vec{F} = (-2z, -2x, -2y)$

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\nabla$	哈密顿算子	nabla/del operator	$(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z})$
$\nabla u$	梯度	gradient	标量函数 u 的梯度向量
$\nabla \cdot \vec{F}$	散度	divergence	向量场 F 的散度（标量）
$\nabla \times \vec{F}$	旋度	curl	向量场 F 的旋度（向量）
$\nabla^2$	拉普拉斯算子	Laplacian	$\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$
$\text{grad}\, u$	梯度	gradient	$\nabla u$ 的另一种记法
$\text{div}\, \vec{F}$	散度	divergence	$\nabla \cdot \vec{F}$ 的另一种记法
$\text{rot/curl}\, \vec{F}$	旋度	curl	$\nabla \times \vec{F}$ 的另一种记法

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
梯度	gradient	/ˈɡreɪdiənt/	标量场的最大变化率方向向量
散度	divergence	/daɪˈvɜːrdʒəns/	向量场的发散程度（标量）
旋度	curl / rotation	/kɜːrl/ /roʊˈteɪʃən/	向量场的旋转程度（向量）
哈密顿算子	Hamiltonian operator / nabla	/ˌhæmɪlˈtoʊniən ˈɒpəreɪtər/	即nabla算子， $\nabla$
拉普拉斯算子	Laplacian	/ləˈplɑːsiən/	梯度的散度， $\nabla^2$
方向导数	directional derivative	/dɪˈrɛkʃənəl dɪˈrɪvətɪv/	函数沿指定方向的变化率
等值面	level surface	/ˈlɛvəl ˈsɜːrfɪs/	函数值相等的点构成的曲面
源	source	/sɔːrs/	散度为正的点
汇	sink	/sɪŋk/	散度为负的点
无旋场	irrotational field	/ˌɪrəʊˈteɪʃənəl fiːld/	旋度为零的向量场
无源场	source-free field	/sɔːrs friː fiːld/	散度为零的向量场

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梯度的几何意义

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梯度的运算性质

散度的运算性质

旋度的运算性质

二阶算子的重要恒等式

理论基础

典型例题

例题1：计算梯度、散度、旋度

例题2：验证恒等式

例题3：刚体旋转的旋度

练习题

练习1

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