第一类曲线积分（对弧长的积分）
从定积分到曲线积分 定积分 ∫ a b f ( x ) d x \int_a^b f(x) dx ∫ a b f ( x ) d x 曲线积分 。第一类曲线积分，又称对弧长的曲线积分 ，可以理解为”曲线形物体的质量”——当被积函数表示线密度时，积分结果就是曲线的质量。
第一类曲线积分的定义 定义
定义是对概念、术语或对象含义的精确描述。理解定义是学习任何知识领域的基础，每个概念都有其明确的定义。
设 L L L f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) f ( x , y , z ) f(x,y,z) f ( x , y , z ) L L L L L L n n n Δ s 1 , Δ s 2 , … , Δ s n \Delta s_1, \Delta s_2, \ldots, \Delta s_n Δ s 1 , Δ s 2 , … , Δ s n Δ s i \Delta s_i Δ s i i i i ( ξ i , η i ) (\xi_i, \eta_i) ( ξ i , η i ) ( ξ i , η i , ζ i ) (\xi_i, \eta_i, \zeta_i) ( ξ i , η i , ζ i )
∑ i = 1 n f ( ξ i , η i ) Δ s i \sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i) \Delta s_i ∑ i = 1 n f ( ξ i , η i ) Δ s i
如果当各小弧段长度的最大值 λ → 0 \lambda \to 0 λ → 0 f f f L L L 第一类曲线积分 （对弧长的曲线积分），记作：
∫ L f ( x , y ) d s 或 ∫ L f ( x , y , z ) d s \int_L f(x,y) \, ds \quad \text{或} \quad \int_L f(x,y,z) \, ds ∫ L f ( x , y ) d s 或 ∫ L f ( x , y , z ) d s
其中 f f f 被积函数 ，L L L 积分弧段 ，d s ds d s 弧长元素 。
物理意义
当 f ( x , y , z ) ≥ 0 f(x,y,z) \geq 0 f ( x , y , z ) ≥ 0 ∫ L f ( x , y , z ) d s \int_L f(x,y,z) \, ds ∫ L f ( x , y , z ) d s f ( x , y , z ) f(x,y,z) f ( x , y , z ) 线密度 的曲线形物体的质量。
特别地，当 f ( x , y , z ) = 1 f(x,y,z) = 1 f ( x , y , z ) = 1
∫ L 1 d s = 曲线 L 的弧长 \int_L 1 \, ds = \text{曲线 } L \text{ 的弧长} ∫ L 1 d s = 曲线 L 的弧长
第一类曲线积分的性质 数学定理
定理是数学中经过严格证明的命题，是数学推理的基础。定理通常包含条件和结论，是数学知识体系的重要组成部分。
定理 1
线性性质 ：∫ L [ a f + b g ] d s = a ∫ L f d s + b ∫ L g d s \int_L [af + bg] \, ds = a\int_L f \, ds + b\int_L g \, ds ∫ L [ a f + b g ] d s = a ∫ L f d s + b ∫ L g d s
弧段可加性 ：若 L = L 1 + L 2 L = L_1 + L_2 L = L 1 + L 2 L 1 L_1 L 1 L 2 L_2 L 2 ∫ L f d s = ∫ L 1 f d s + ∫ L 2 f d s \int_L f \, ds = \int_{L_1} f \, ds + \int_{L_2} f \, ds ∫ L f d s = ∫ L 1 f d s + ∫ L 2 f d s
比较性质 ：若在 L L L f ≤ g f \leq g f ≤ g ∫ L f d s ≤ ∫ L g d s \int_L f \, ds \leq \int_L g \, ds ∫ L f d s ≤ ∫ L g d s
与方向无关 ：第一类曲线积分与曲线的方向无关，即
∫ L f d s = ∫ L − f d s \int_L f \, ds = \int_{L^-} f \, ds ∫ L f d s = ∫ L − f d s L − L^- L − L L L
“与方向无关”是第一类曲线积分的重要特征，也是它与第二类曲线积分的本质区别之一。因为弧长 d s ds d s
第一类曲线积分的计算 平面曲线（参数方程）
第一类曲线积分化为定积分时，积分下限必须小于上限（α < β \alpha < \beta α < β d s > 0 ds > 0 d s > 0 d t dt d t
平面曲线（直角坐标）
若曲线 L L L y = y ( x ) y = y(x) y = y ( x ) a ≤ x ≤ b a \leq x \leq b a ≤ x ≤ b
∫ L f ( x , y ) d s = ∫ a b f ( x , y ( x ) ) 1 + y ′ 2 ( x ) d x \int_L f(x,y) \, ds = \int_a^b f(x, y(x)) \sqrt{1 + y'^2(x)} \, dx ∫ L f ( x , y ) d s = ∫ a b f ( x , y ( x )) 1 + y ′2 ( x ) d x
若曲线 L L L x = x ( y ) x = x(y) x = x ( y ) c ≤ y ≤ d c \leq y \leq d c ≤ y ≤ d
∫ L f ( x , y ) d s = ∫ c d f ( x ( y ) , y ) 1 + x ′ 2 ( y ) d y \int_L f(x,y) \, ds = \int_c^d f(x(y), y) \sqrt{1 + x'^2(y)} \, dy ∫ L f ( x , y ) d s = ∫ c d f ( x ( y ) , y ) 1 + x ′2 ( y ) d y
平面曲线（极坐标）
若曲线 L L L ρ = ρ ( θ ) \rho = \rho(\theta) ρ = ρ ( θ ) α ≤ θ ≤ β \alpha \leq \theta \leq \beta α ≤ θ ≤ β
∫ L f ( x , y ) d s = ∫ α β f ( ρ cos θ , ρ sin θ ) ρ 2 ( θ ) + ρ ′ 2 ( θ ) d θ \int_L f(x,y) \, ds = \int_\alpha^\beta f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta) \sqrt{\rho^2(\theta) + \rho'^2(\theta)} \, d\theta ∫ L f ( x , y ) d s = ∫ α β f ( ρ cos θ , ρ sin θ ) ρ 2 ( θ ) + ρ ′2 ( θ ) d θ
空间曲线
设空间曲线 L L L { x = x ( t ) y = y ( t ) z = z ( t ) , α ≤ t ≤ β \begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \\ z = z(t) \end{cases}, \quad \alpha \leq t \leq \beta ⎩ ⎨ ⎧ x = x ( t ) y = y ( t ) z = z ( t ) , α ≤ t ≤ β
则：
∫ L f ( x , y , z ) d s = ∫ α β f ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) ) x ′ 2 ( t ) + y ′ 2 ( t ) + z ′ 2 ( t ) d t \int_L f(x,y,z) \, ds = \int_\alpha^\beta f(x(t), y(t), z(t)) \sqrt{x'^2(t) + y'^2(t) + z'^2(t)} \, dt ∫ L f ( x , y , z ) d s = ∫ α β f ( x ( t ) , y ( t ) , z ( t )) x ′2 ( t ) + y ′2 ( t ) + z ′2 ( t ) d t
典型例题 例题1：圆周上的第一类曲线积分
计算 ∫ L ( x 2 + y 2 ) d s \int_L (x^2 + y^2) \, ds ∫ L ( x 2 + y 2 ) d s L L L x 2 + y 2 = a 2 x^2 + y^2 = a^2 x 2 + y 2 = a 2
参考答案
第一类曲线积分 圆周 参数方程
解题思路 ：
圆周用参数方程表示，代入公式计算。
详细步骤 ：
参数方程：x = a cos t , y = a sin t , 0 ≤ t ≤ 2 π x = a\cos t, \, y = a\sin t, \, 0 \leq t \leq 2\pi x = a cos t , y = a sin t , 0 ≤ t ≤ 2 π
x ′ ( t ) = − a sin t , y ′ ( t ) = a cos t x'(t) = -a\sin t, \, y'(t) = a\cos t x ′ ( t ) = − a sin t , y ′ ( t ) = a cos t d s = a 2 sin 2 t + a 2 cos 2 t d t = a d t ds = \sqrt{a^2\sin^2 t + a^2\cos^2 t} \, dt = a \, dt d s = a 2 sin 2 t + a 2 cos 2 t d t = a d t 被积函数：x 2 + y 2 = a 2 x^2 + y^2 = a^2 x 2 + y 2 = a 2
∫ L ( x 2 + y 2 ) d s = ∫ 0 2 π a 2 ⋅ a d t = a 3 ∫ 0 2 π d t = 2 π a 3 \int_L (x^2+y^2) ds = \int_0^{2\pi} a^2 \cdot a \, dt = a^3 \int_0^{2\pi} dt = 2\pi a^3 ∫ L ( x 2 + y 2 ) d s = ∫ 0 2 π a 2 ⋅ a d t = a 3 ∫ 0 2 π d t = 2 π a 3 答案 ：2 π a 3 2\pi a^3 2 π a 3
例题2：抛物线上的第一类曲线积分
计算 ∫ L y d s \int_L y \, ds ∫ L y d s L L L y 2 = 2 x y^2 = 2x y 2 = 2 x ( 2 , 2 ) (2, 2) ( 2 , 2 )
参考答案
第一类曲线积分 抛物线 直角坐标
解题思路 ：
抛物线用 x = x ( y ) x = x(y) x = x ( y ) y y y
详细步骤 ：
曲线方程：x = y 2 2 , 0 ≤ y ≤ 2 x = \frac{y^2}{2}, \, 0 \leq y \leq 2 x = 2 y 2 , 0 ≤ y ≤ 2
x ′ ( y ) = y x'(y) = y x ′ ( y ) = y d s = 1 + x ′ 2 ( y ) d y = 1 + y 2 d y ds = \sqrt{1 + x'^2(y)} \, dy = \sqrt{1 + y^2} \, dy d s = 1 + x ′2 ( y ) d y = 1 + y 2 d y ∫ L y d s = ∫ 0 2 y 1 + y 2 d y \int_L y \, ds = \int_0^2 y\sqrt{1+y^2} \, dy ∫ L y d s = ∫ 0 2 y 1 + y 2 d y 令 u = 1 + y 2 u = 1+y^2 u = 1 + y 2 d u = 2 y d y du = 2y \, dy d u = 2 y d y = 1 2 ∫ 1 5 u d u = 1 2 ⋅ 2 3 [ u 3 / 2 ] 1 5 = 1 3 ( 5 5 − 1 ) = \frac{1}{2}\int_1^5 \sqrt{u} \, du = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}[u^{3/2}]_1^5 = \frac{1}{3}(5\sqrt{5} - 1) = 2 1 ∫ 1 5 u d u = 2 1 ⋅ 3 2 [ u 3/2 ] 1 5 = 3 1 ( 5 5 − 1 )
答案 ：1 3 ( 5 5 − 1 ) \frac{1}{3}(5\sqrt{5} - 1) 3 1 ( 5 5 − 1 )
例题3：空间曲线的第一类曲线积分
计算 ∫ L ( x 2 + y 2 + z 2 ) d s \int_L (x^2 + y^2 + z^2) \, ds ∫ L ( x 2 + y 2 + z 2 ) d s L L L x = a cos t , y = a sin t , z = b t x = a\cos t, \, y = a\sin t, \, z = bt x = a cos t , y = a sin t , z = b t 0 ≤ t ≤ 2 π 0 \leq t \leq 2\pi 0 ≤ t ≤ 2 π
参考答案
第一类曲线积分 螺旋线 空间曲线 参数方程
解题思路 ：
空间曲线参数方程，直接代入公式。
详细步骤 ：
x ′ ( t ) = − a sin t , y ′ ( t ) = a cos t , z ′ ( t ) = b x'(t) = -a\sin t, \, y'(t) = a\cos t, \, z'(t) = b x ′ ( t ) = − a sin t , y ′ ( t ) = a cos t , z ′ ( t ) = b d s = a 2 sin 2 t + a 2 cos 2 t + b 2 d t = a 2 + b 2 d t ds = \sqrt{a^2\sin^2 t + a^2\cos^2 t + b^2} \, dt = \sqrt{a^2 + b^2} \, dt d s = a 2 sin 2 t + a 2 cos 2 t + b 2 d t = a 2 + b 2 d t 被积函数：x 2 + y 2 + z 2 = a 2 + b 2 t 2 x^2+y^2+z^2 = a^2 + b^2t^2 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 + b 2 t 2
∫ L ( x 2 + y 2 + z 2 ) d s = ∫ 0 2 π ( a 2 + b 2 t 2 ) a 2 + b 2 d t = a 2 + b 2 [ a 2 t + b 2 t 3 3 ] 0 2 π = a 2 + b 2 ( 2 π a 2 + 8 π 3 b 2 3 ) \int_L (x^2+y^2+z^2) ds = \int_0^{2\pi} (a^2 + b^2t^2)\sqrt{a^2+b^2} \, dt = \sqrt{a^2+b^2}\left[a^2t + \frac{b^2t^3}{3}\right]_0^{2\pi} = \sqrt{a^2+b^2}\left(2\pi a^2 + \frac{8\pi^3 b^2}{3}\right) ∫ L ( x 2 + y 2 + z 2 ) d s = ∫ 0 2 π ( a 2 + b 2 t 2 ) a 2 + b 2 d t = a 2 + b 2 [ a 2 t + 3 b 2 t 3 ] 0 2 π = a 2 + b 2 ( 2 π a 2 + 3 8 π 3 b 2 ) 答案 ：a 2 + b 2 ( 2 π a 2 + 8 π 3 b 2 3 ) \sqrt{a^2+b^2}\left(2\pi a^2 + \frac{8\pi^3 b^2}{3}\right) a 2 + b 2 ( 2 π a 2 + 3 8 π 3 b 2 )
练习题 练习1
计算 ∫ L x d s \int_L x \, ds ∫ L x d s L L L y = x y = x y = x ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 )
参考答案
第一类曲线积分 直线段 直角坐标
解题思路 ：
直线段用 y = x y=x y = x d s = 1 + 1 d x = 2 d x ds = \sqrt{1+1}dx = \sqrt{2}dx d s = 1 + 1 d x = 2 d x
详细步骤 ：
y = x , 0 ≤ x ≤ 1 y = x, \, 0 \leq x \leq 1 y = x , 0 ≤ x ≤ 1 d s = 2 d x ds = \sqrt{2} \, dx d s = 2 d x ∫ L x d s = ∫ 0 1 x 2 d x = 2 ⋅ 1 2 = 2 2 \int_L x \, ds = \int_0^1 x\sqrt{2} \, dx = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} ∫ L x d s = ∫ 0 1 x 2 d x = 2 ⋅ 2 1 = 2 2 答案 ：2 2 \frac{\sqrt{2}}{2} 2 2
练习2
计算 ∫ L x 2 + y 2 d s \int_L \sqrt{x^2+y^2} \, ds ∫ L x 2 + y 2 d s L L L x 2 + y 2 = a x x^2 + y^2 = ax x 2 + y 2 = a x a > 0 a > 0 a > 0
参考答案
第一类曲线积分 偏心圆 极坐标
解题思路 ：
偏心圆用极坐标表示，ρ = a cos θ \rho = a\cos\theta ρ = a cos θ
详细步骤 ：
极坐标：ρ = a cos θ , − π 2 ≤ θ ≤ π 2 \rho = a\cos\theta, \, -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} ρ = a cos θ , − 2 π ≤ θ ≤ 2 π
ρ ′ ( θ ) = − a sin θ \rho'(\theta) = -a\sin\theta ρ ′ ( θ ) = − a sin θ d s = ρ 2 + ρ ′ 2 d θ = a 2 cos 2 θ + a 2 sin 2 θ d θ = a d θ ds = \sqrt{\rho^2 + \rho'^2} \, d\theta = \sqrt{a^2\cos^2\theta + a^2\sin^2\theta} \, d\theta = a \, d\theta d s = ρ 2 + ρ ′2 d θ = a 2 cos 2 θ + a 2 sin 2 θ d θ = a d θ 被积函数：x 2 + y 2 = ρ = a cos θ \sqrt{x^2+y^2} = \rho = a\cos\theta x 2 + y 2 = ρ = a cos θ
∫ L x 2 + y 2 d s = ∫ − π / 2 π / 2 a cos θ ⋅ a d θ = a 2 ∫ − π / 2 π / 2 cos θ d θ = a 2 ⋅ 2 = 2 a 2 \int_L \sqrt{x^2+y^2} ds = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} a\cos\theta \cdot a \, d\theta = a^2 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos\theta \, d\theta = a^2 \cdot 2 = 2a^2 ∫ L x 2 + y 2 d s = ∫ − π /2 π /2 a cos θ ⋅ a d θ = a 2 ∫ − π /2 π /2 cos θ d θ = a 2 ⋅ 2 = 2 a 2 答案 ：2 a 2 2a^2 2 a 2
总结 本文出现的符号
符号 类型 读音/说明 在本文中的含义 ∫ L \int_L ∫ L 曲线积分 line integral over L 沿曲线 L 的积分 d s ds d s 弧长元素 arc length element 曲线弧长微元，d s > 0 ds > 0 d s > 0 L L L 积分弧段 integration curve 曲线积分的路径 L − L^- L − 反向曲线 reverse curve 与 L 方向相反的同一条曲线 λ \lambda λ 分割细度 mesh size 各小弧段长度的最大值
中英对照
中文术语 英文术语 音标 说明 第一类曲线积分 line integral of the first kind /laɪn ˈɪntɪɡrəl əv ðə fɜːrst kaɪnd/ 对弧长的曲线积分 对弧长的积分 integral with respect to arc length /ˈɪntɪɡrəl wɪð rɪˈspɛkt tuː ɑːrk lɛŋθ/ 即第一类曲线积分 弧长元素 arc length element /ɑːrk lɛŋθ ˈɛləmənt/ 曲线弧长的微元 光滑曲线 smooth curve /smuːð kɜːrv/ 切线连续变化的曲线 分段光滑 piecewise smooth /ˈpiːswaɪz smuːð/ 由有限段光滑曲线连接而成 线密度 linear density /ˈlɪniər ˈdɛnsəti/ 单位弧长的质量 螺旋线 helix /ˈhiːlɪks/ 空间螺旋曲线 参数方程 parametric equation /ˌpærəˈmɛtrɪk ɪˈkweɪʒən/ 用参数表示曲线的方程
