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多元函数积分学

三重积分

三重积分的定义

三重积分

设 f(x,y,z)f(x, y, z) 是定义在空间闭区域 Ω\Omega 上的有界函数，将区域 Ω\Omega 任意分成 nn 个小区域 Δvi\Delta v_i，每个小区域的体积为 Δvi\Delta v_i，在每个小区域上任取一点 (ξi,ηi,ζi)(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)，作和：

∑i=1nf(ξi,ηi,ζi)Δvi\sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta v_i

如果当各小区域直径的最大值 λ→0\lambda \to 0 时，这个和的极限存在，则称此极限为函数 f(x,y,z)f(x, y, z) 在区域 Ω\Omega 上的三重积分，记作：

∭Ωf(x,y,z) dv或∭Ωf(x,y,z) dx dy dz\iiint_\Omega f(x, y, z) \, dv \quad \text{或} \quad \iiint_\Omega f(x, y, z) \, dx\, dy\, dz

几何意义

当 f(x,y,z)≥0f(x, y, z) \geq 0 时，三重积分 ∭Ωf(x,y,z) dx dy dz\iiint_\Omega f(x, y, z) \, dx\, dy\, dz 表示以区域 Ω\Omega 为底的空间立体的体积。

三重积分的性质

定理 1

三重积分具有以下性质：

  1. 线性性质：∭Ω[af+bg] dv=a∭Ωf dv+b∭Ωg dv\iiint_\Omega [af + bg] \, dv = a\iiint_\Omega f \, dv + b\iiint_\Omega g \, dv

  2. 区域可加性：若 Ω=Ω1∪Ω2\Omega = \Omega_1 \cup \Omega_2 且 Ω1∩Ω2=∅\Omega_1 \cap \Omega_2 = \emptyset，则 ∭Ωf dv=∭Ω1f dv+∭Ω2f dv\iiint_\Omega f \, dv = \iiint_{\Omega_1} f \, dv + \iiint_{\Omega_2} f \, dv

  3. 比较性质：若 Ω\Omega 上 f≤gf \leq g，则 ∭Ωf dv≤∭Ωg dv\iiint_\Omega f \, dv \leq \iiint_\Omega g \, dv

  4. 估值性质：mV≤∭Ωf dv≤MVmV \leq \iiint_\Omega f \, dv \leq MV 其中 m,Mm, M 分别是 ff 在 Ω\Omega 上的最小值、最大值，VV 是 Ω\Omega 的体积

三重积分的计算方法

直角坐标系下的计算

直角坐标计算

∭Ωf(x,y,z) dx dy dz=∫abdx∫y1(x)y2(x)dy∫z1(x,y)z2(x,y)f(x,y,z) dz\iiint_\Omega f(x,y,z) \, dx\, dy\, dz = \int_a^b dx \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} dy \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z) \, dz

积分顺序可以根据区域形状选择合适的投影方式。

柱坐标系下的计算

柱坐标计算

柱坐标变换：{x=ρcos⁡θy=ρsin⁡θz=z\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \\ z = z \end{cases}

雅可比行列式：J=ρJ = \rho

∭Ωf(x,y,z) dx dy dz=∭Ω′f(ρcos⁡θ,ρsin⁡θ,z)ρ dρ dθ dz\iiint_\Omega f(x,y,z) \, dx\, dy\, dz = \iiint_{\Omega'} f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta, z) \rho \, d\rho \, d\theta \, dz

球坐标系下的计算

球坐标计算

球坐标变换：{x=rsin⁡ϕcos⁡θy=rsin⁡ϕsin⁡θz=rcos⁡ϕ\begin{cases} x = r \sin\phi \cos\theta \\ y = r \sin\phi \sin\theta \\ z = r \cos\phi \end{cases}

雅可比行列式：J=r2sin⁡ϕJ = r^2 \sin\phi

∭Ωf(x,y,z) dx dy dz=∭Ω′f(rsin⁡ϕcos⁡θ,rsin⁡ϕsin⁡θ,rcos⁡ϕ)r2sin⁡ϕ dr dϕ dθ\iiint_\Omega f(x,y,z) \, dx\, dy\, dz = \iiint_{\Omega'} f(r\sin\phi\cos\theta, r\sin\phi\sin\theta, r\cos\phi) r^2 \sin\phi \, dr \, d\phi \, d\theta

常用积分区域

长方体区域

长方体积分

Ω:a≤x≤b,c≤y≤d,e≤z≤f\Omega: a \leq x \leq b, \quad c \leq y \leq d, \quad e \leq z \leq f

∭Ωf dv=∫ab∫cd∫eff(x,y,z) dz dy dx\iiint_\Omega f \, dv = \int_a^b \int_c^d \int_e^f f(x,y,z) \, dz \, dy \, dx

柱体区域

柱体积分

Ω:(x,y)∈Dxy,z1(x,y)≤z≤z2(x,y)\Omega: (x,y) \in D_{xy}, \quad z_1(x,y) \leq z \leq z_2(x,y)

∭Ωf dv=∬Dxy[∫z1z2f(x,y,z) dz]dx dy\iiint_\Omega f \, dv = \iint_{D_{xy}} \left[ \int_{z_1}^{z_2} f(x,y,z) \, dz \right] dx \, dy

球体区域

球体 x2+y2+z2≤R2x^2 + y^2 + z^2 \leq R^2 的体积：

球体积

V=∭x2+y2+z2≤R2dx dy dz=43πR3V = \iiint_{x^2+y^2+z^2 \leq R^2} dx\, dy\, dz = \frac{4}{3} \pi R^3

应用示例

几何应用

  • 计算空间立体的体积
  • 计算空间曲面的面积

物理应用

  • 计算质量（体密度）
  • 计算质心坐标
  • 计算转动惯量
  • 计算引力场

练习题

练习 1

计算 ∭Ω(x+y+z) dx dy dz\iiint_\Omega (x + y + z) \, dx\, dy\, dz，其中 Ω\Omega 是由平面 x=0x=0，y=0y=0，z=0z=0，x+y+z=1x+y+z=1 围成的四面体。

参考答案 (3 个标签)
三重积分 四面体 直角坐标

解题思路： 四面体积分区域适合用直角坐标，确定投影区域。

详细步骤：

  1. 积分区域 Ω\Omega 是四面体，顶点 (0,0,0)(0,0,0)，(1,0,0)(1,0,0)，(0,1,0)(0,1,0)，(0,0,1)(0,0,1)

  2. 投影到 xy 平面：0≤x≤10 \leq x \leq 1，0≤y≤1−x0 \leq y \leq 1-x

  3. 在 xy 平面上任一点 (x,y)(x,y)，z 从 0 到 1−x−y1-x-y

  4. 三重积分： ∭Ω(x+y+z) dx dy dz=∫01∫01−x∫01−x−y(x+y+z) dz dy dx\iiint_\Omega (x + y + z) \, dx\, dy\, dz = \int_0^1 \int_0^{1-x} \int_0^{1-x-y} (x + y + z) \, dz \, dy \, dx

  5. 先对 z 积分： ∫01−x−y(x+y+z) dz=[xz+yz+12z2]01−x−y=x(1−x−y)+y(1−x−y)+12(1−x−y)2\int_0^{1-x-y} (x + y + z) \, dz = [x z + y z + \frac{1}{2} z^2]_0^{1-x-y} = x(1-x-y) + y(1-x-y) + \frac{1}{2}(1-x-y)^2

  6. 再对 y 积分，然后对 x 积分（计算比较复杂，最终结果为 1/24）

答案：124\frac{1}{24}

练习 2

计算球体 x2+y2+z2≤R2x^2 + y^2 + z^2 \leq R^2 的体积。

参考答案 (3 个标签)
三重积分 球坐标 体积计算

解题思路： 球体体积适合用球坐标计算。

详细步骤：

  1. 球坐标变换： x=rsin⁡ϕcos⁡θx = r \sin\phi \cos\theta y=rsin⁡ϕsin⁡θy = r \sin\phi \sin\theta z=rcos⁡ϕz = r \cos\phi

  2. 积分区域： 0≤r≤R0 \leq r \leq R 0≤ϕ≤π0 \leq \phi \leq \pi 0≤θ≤2π0 \leq \theta \leq 2\pi

  3. 雅可比行列式：J=r2sin⁡ϕJ = r^2 \sin\phi

  4. 体积积分： V=∫02π∫0π∫0Rr2sin⁡ϕ dr dϕ dθV = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^R r^2 \sin\phi \, dr \, d\phi \, d\theta =2π⋅2⋅13R3=43πR3= 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{1}{3} R^3 = \frac{4}{3} \pi R^3

答案：43πR3\frac{4}{3} \pi R^3

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
∭Ω\iiint_\Omega三重积分triple integral三重积分运算符
dvdv体积元素volume element三维体积微元
dx dy dzdx\, dy\, dz直角坐标Cartesian coordinates直角坐标系体积元素

中英对照

中文术语英文术语音标说明
三重积分triple integral/ˈtrɪpl ˈɪntɪɡrəl/三元函数的积分
柱坐标cylindrical coordinates/sɪˈlɪndrɪkəl koʊˈɔːrdɪneɪts/柱坐标系
球坐标spherical coordinates/ˈsfɪrɪkəl koʊˈɔːrdɪneɪts/球坐标系
雅可比行列式Jacobian determinant/dʒəˈkoʊbiən dɪˈtɜːrmɪnənt/坐标变换的雅可比行列式
上一章节二重积分学习二重积分的概念、性质、计算方法和几何意义。 下一章节变量替换法学习多元积分中的变量替换（换元）方法，包括一般公式和重要应用。

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