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多元函数积分学

三重积分的概念与性质

从二重积分到三重积分

二重积分处理的是定义在平面区域上的二元函数，那么定义在空间区域上的三元函数该如何积分？这就是三重积分要解决的问题。从物理角度看，如果说二重积分可以计算平面薄片的质量，那么三重积分就可以计算空间立体的质量。

三重积分的定义

三重积分

设 f(x,y,z)f(x, y, z) 是定义在空间有界闭区域 Ω\Omega 上的有界函数。将区域 Ω\Omega 任意分成 nn 个小区域 Δv1,Δv2,…,Δvn\Delta v_1, \Delta v_2, \ldots, \Delta v_n，其中 Δvi\Delta v_i 表示第 ii 个小区域及其体积。在每个小区域 Δvi\Delta v_i 上任取一点 (ξi,ηi,ζi)(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)，作乘积 f(ξi,ηi,ζi)Δvif(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta v_i，并作和：

∑i=1nf(ξi,ηi,ζi)Δvi\sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta v_i

如果当各小区域直径的最大值 λ→0\lambda \to 0 时，这个和的极限存在，且与区域的分法及点的取法无关，则称此极限为函数 f(x,y,z)f(x, y, z) 在区域 Ω\Omega 上的三重积分，记作：

∭Ωf(x,y,z) dv或∭Ωf(x,y,z) dx dy dz\iiint_\Omega f(x, y, z) \, dv \quad \text{或} \quad \iiint_\Omega f(x, y, z) \, dx\, dy\, dz

其中 f(x,y,z)f(x,y,z) 称为被积函数，Ω\Omega 称为积分区域，dvdv 称为体积元素。

可积性

若 f(x,y,z)f(x,y,z) 在空间有界闭区域 Ω\Omega 上连续，则 f(x,y,z)f(x,y,z) 在 Ω\Omega 上可积。

物理意义

当 f(x,y,z)≥0f(x, y, z) \geq 0 时，三重积分 ∭Ωf(x,y,z) dv\iiint_\Omega f(x, y, z) \, dv 表示以 f(x,y,z)f(x,y,z) 为体密度的空间物体的质量。

空间物体的质量

M=∭Ωρ(x,y,z) dvM = \iiint_\Omega \rho(x,y,z) \, dv

其中 ρ(x,y,z)\rho(x,y,z) 是物体在点 (x,y,z)(x,y,z) 处的体密度。

特别地，当 f(x,y,z)=1f(x,y,z) = 1 时：

∭Ω1 dv=V\iiint_\Omega 1 \, dv = V

即三重积分的值等于积分区域 Ω\Omega 的体积。

三重积分的性质

三重积分的性质与二重积分类似：

定理1

  1. 线性性质： ∭Ω[af+bg] dv=a∭Ωf dv+b∭Ωg dv\iiint_\Omega [af + bg] \, dv = a\iiint_\Omega f \, dv + b\iiint_\Omega g \, dv

  2. 区域可加性：若 Ω=Ω1∪Ω2\Omega = \Omega_1 \cup \Omega_2 且 Ω1∩Ω2=∅\Omega_1 \cap \Omega_2 = \emptyset（除边界外），则 ∭Ωf dv=∭Ω1f dv+∭Ω2f dv\iiint_\Omega f \, dv = \iiint_{\Omega_1} f \, dv + \iiint_{\Omega_2} f \, dv

  3. 比较性质：若在 Ω\Omega 上 f≤gf \leq g，则 ∭Ωf dv≤∭Ωg dv\iiint_\Omega f \, dv \leq \iiint_\Omega g \, dv 特别地，∣∭Ωf dv∣≤∭Ω∣f∣ dv\left|\iiint_\Omega f \, dv\right| \leq \iiint_\Omega |f| \, dv

  4. 估值性质：设 m,Mm, M 分别是 ff 在 Ω\Omega 上的最小值和最大值，VV 是 Ω\Omega 的体积，则 mV≤∭Ωf dv≤MVmV \leq \iiint_\Omega f \, dv \leq MV

  5. 积分中值定理：若 f(x,y,z)f(x,y,z) 在闭区域 Ω\Omega 上连续，VV 是 Ω\Omega 的体积，则至少存在一点 (ξ,η,ζ)∈Ω(\xi, \eta, \zeta) \in \Omega，使得 ∭Ωf(x,y,z) dv=f(ξ,η,ζ)⋅V\iiint_\Omega f(x,y,z) \, dv = f(\xi, \eta, \zeta) \cdot V

典型例题

例题1：利用物理意义求积分

不用计算，判断 ∭Ω(x2+y2+z2) dv\iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2) \, dv 的值，其中 Ω:x2+y2+z2≤R2\Omega: x^2+y^2+z^2 \leq R^2。

参考答案
三重积分物理意义球体球坐标

解题思路： 被积函数 x2+y2+z2=r2x^2+y^2+z^2 = r^2 是到原点距离的平方。利用球坐标计算。

详细步骤：

  1. 球坐标变换：x=rsin⁡ϕcos⁡θ, y=rsin⁡ϕsin⁡θ, z=rcos⁡ϕx = r\sin\phi\cos\theta, \, y = r\sin\phi\sin\theta, \, z = r\cos\phi
  2. 体积元素：dv=r2sin⁡ϕ dr dϕ dθdv = r^2\sin\phi \, dr \, d\phi \, d\theta
  3. 积分区域：0≤r≤R, 0≤ϕ≤π, 0≤θ≤2π0 \leq r \leq R, \, 0 \leq \phi \leq \pi, \, 0 \leq \theta \leq 2\pi
  4. 被积函数：x2+y2+z2=r2x^2+y^2+z^2 = r^2
  5. ∭Ω(x2+y2+z2)dv=∫02πdθ∫0πdϕ∫0Rr2⋅r2sin⁡ϕ dr\iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2) dv = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\pi d\phi \int_0^R r^2 \cdot r^2\sin\phi \, dr =2π⋅2⋅R55=4πR55= 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{R^5}{5} = \frac{4\pi R^5}{5}

答案：4πR55\frac{4\pi R^5}{5}

例题2：利用对称性

计算 ∭Ω(x+y+z) dv\iiint_\Omega (x + y + z) \, dv，其中 Ω:x2+y2+z2≤1\Omega: x^2+y^2+z^2 \leq 1。

参考答案
三重积分对称性奇函数球体

解题思路： 球体关于三个坐标面都对称。xx 关于 xx 是奇函数，yy 关于 yy 是奇函数，zz 关于 zz 是奇函数。

详细步骤：

  1. Ω\Omega 关于 yOzyOz 面对称，xx 关于 xx 是奇函数 ⇒∭Ωx dv=0\Rightarrow \iiint_\Omega x \, dv = 0
  2. Ω\Omega 关于 xOzxOz 面对称，yy 关于 yy 是奇函数 ⇒∭Ωy dv=0\Rightarrow \iiint_\Omega y \, dv = 0
  3. Ω\Omega 关于 xOyxOy 面对称，zz 关于 zz 是奇函数 ⇒∭Ωz dv=0\Rightarrow \iiint_\Omega z \, dv = 0
  4. 因此 ∭Ω(x+y+z)dv=0\iiint_\Omega (x+y+z) dv = 0

答案：00

练习题

练习1

求 ∭Ω2 dv\iiint_\Omega 2 \, dv，其中 Ω\Omega 是由 x2+y2+z2≤4x^2+y^2+z^2 \leq 4 确定的球体。

参考答案
三重积分体积球体

解题思路： 被积函数为常数，积分值 = 常数 × 区域体积。

详细步骤：

  1. 球体体积 V=43πR3=43π⋅8=32π3V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 8 = \frac{32\pi}{3}
  2. ∭Ω2 dv=2V=64π3\iiint_\Omega 2 \, dv = 2V = \frac{64\pi}{3}

答案：64π3\frac{64\pi}{3}

练习2

估计积分 ∭Ω1x2+y2+z2+1 dv\iiint_\Omega \frac{1}{x^2+y^2+z^2+1} \, dv 的值，其中 Ω:x2+y2+z2≤4\Omega: x^2+y^2+z^2 \leq 4。

参考答案
三重积分估值性质球体

解题思路： 先求被积函数在区域上的最大值和最小值，再用估值性质。

详细步骤：

  1. 在 Ω\Omega 上，0≤x2+y2+z2≤40 \leq x^2+y^2+z^2 \leq 4
  2. 因此 1≤x2+y2+z2+1≤51 \leq x^2+y^2+z^2+1 \leq 5，从而 15≤1x2+y2+z2+1≤1\frac{1}{5} \leq \frac{1}{x^2+y^2+z^2+1} \leq 1
  3. 球体体积 V=43π⋅8=32π3V = \frac{4}{3}\pi \cdot 8 = \frac{32\pi}{3}
  4. 由估值性质：15⋅32π3≤I≤1⋅32π3\frac{1}{5} \cdot \frac{32\pi}{3} \leq I \leq 1 \cdot \frac{32\pi}{3}
  5. 即 32π15≤I≤32π3\frac{32\pi}{15} \leq I \leq \frac{32\pi}{3}

答案：32π15≤∭Ω1x2+y2+z2+1dv≤32π3\frac{32\pi}{15} \leq \iiint_\Omega \frac{1}{x^2+y^2+z^2+1} dv \leq \frac{32\pi}{3}

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
∭Ω\iiint_\Omega三重积分triple integral over Ω在空间区域 Ω 上的三重积分运算符
dvdv体积元素volume element三维体积微元，不依赖坐标系
dx dy dzdx\,dy\,dz直角坐标体积元素Cartesian volume element直角坐标系下的体积元素
Ω\Omega积分区域integration domain三重积分的定义域（空间闭区域）
VV体积volume空间区域 Ω 的体积
ρ(x,y,z)\rho(x,y,z)体密度volume density空间物体在点(x,y,z)处的体密度

中英对照

中文术语英文术语音标说明
三重积分triple integral/ˈtrɪpl ˈɪntɪɡrəl/三元函数在空间区域上的积分
体积元素volume element/ˈvɒljuːm ˈɛləmənt/三维体积的微元
积分区域integration domain/ˌɪntɪˈɡreɪʃən doʊˈmeɪn/三重积分的定义域（空间区域）
体密度volume density/ˈvɒljuːm ˈdɛnsəti/单位体积的质量
可积性integrability/ˌɪntɪɡrəˈbɪləti/函数积分存在的性质
积分中值定理mean value theorem for integrals/miːn ˈvæljuː ˈθɪərəm fɔːr ˈɪntɪɡrəlz/积分等于某点函数值乘以区域体积
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