对称性与奇偶性在二重积分中的应用

解题思路： 圆域关于x轴和y轴都对称。$x$ 关于 $x$ 是奇函数，$y$ 关于 $y$ 是奇函数。

详细步骤：

1. $D$ 关于y轴对称，被积函数中的 $x$ 关于 $x$ 是奇函数 $\Rightarrow \iint_D x \, dx\,dy = 0$
2. $D$ 关于x轴对称，被积函数中的 $y$ 关于 $y$ 是奇函数 $\Rightarrow \iint_D y \, dx\,dy = 0$
3. 因此 $\iint_D (x+y) \, dx\,dy = 0 + 0 = 0$

答案：$0$

解题思路： $|xy|$ 关于 $x$ 和 $y$ 都是偶函数，区域关于两坐标轴都对称，可以化为第一象限积分的4倍。

详细步骤：

1. $|xy|$ 关于 $x$ 是偶函数（$|(-x)y| = |xy|$），关于 $y$ 也是偶函数
2. 区域关于x轴和y轴对称，因此 $\iint_D |xy| \, dx\,dy = 4\iint_{D_1} xy \, dx\,dy$ 其中 $D_1$ 是第一象限部分：$x \geq 0, y \geq 0, x^2+y^2 \leq 1$
3. 用极坐标计算 $D_1$：$0 \leq \rho \leq 1, \, 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ $\iint_{D_1} xy \, dx\,dy = \int_0^{\pi/2} d\theta \int_0^1 (\rho\cos\theta)(\rho\sin\theta) \rho \, d\rho$ $= \int_0^{\pi/2} \cos\theta\sin\theta \, d\theta \int_0^1 \rho^3 \, d\rho = \left[\frac{1}{2}\sin^2\theta\right]_0^{\pi/2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$
4. 原积分 $= 4 \times \frac{1}{8} = \frac{1}{2}$

答案：$\frac{1}{2}$

解题思路： 圆域关于 $y=x$ 对称，具有轮换对称性。将 $x$ 和 $y$ 互换后积分值不变。

详细步骤：

1. 设 $I = \iint_D \frac{a f(x) + b f(y)}{f(x) + f(y)} \, dx\,dy$
2. 由轮换对称性，将 $x$ 和 $y$ 互换： $I = \iint_D \frac{a f(y) + b f(x)}{f(y) + f(x)} \, dx\,dy$
3. 将两式相加： $2I = \iint_D \frac{(a+b)[f(x)+f(y)]}{f(x)+f(y)} \, dx\,dy = \iint_D (a+b) \, dx\,dy = (a+b) \cdot \pi R^2$
4. 因此 $I = \frac{(a+b)\pi R^2}{2}$

答案：$\frac{(a+b)\pi R^2}{2}$

解题思路： 区域关于y轴对称。将被积函数拆分为 $x^2$（关于x的偶函数）和 $y$（关于x的偶函数，因为 $y$ 不含 $x$）。

详细步骤：

1. 区域 $D$：$-1 \leq x \leq 1, \, x^2 \leq y \leq 1$，关于y轴对称
2. $\iint_D y \, dx\,dy$：$y$ 关于 $x$ 是偶函数 $\Rightarrow$ 可减半，但直接计算也行
3. 拆分： $\iint_D (x^2 + y) \, dx\,dy = \iint_D x^2 \, dx\,dy + \iint_D y \, dx\,dy$
4. $\iint_D x^2 \, dx\,dy = \int_{-1}^1 dx \int_{x^2}^1 x^2 dy = \int_{-1}^1 x^2(1-x^2) dx = 2\int_0^1 (x^2 - x^4) dx = 2(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) = \frac{4}{15}$
5. $\iint_D y \, dx\,dy = \int_{-1}^1 dx \int_{x^2}^1 y \, dy = \int_{-1}^1 \frac{1}{2}(1-x^4) dx = \int_0^1 (1-x^4) dx = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$
6. 总和：$\frac{4}{15} + \frac{4}{5} = \frac{4}{15} + \frac{12}{15} = \frac{16}{15}$

答案：$\frac{16}{15}$

解题思路： 圆域关于x轴和y轴对称。$x^3 y$ 关于x和y都是奇函数；$\sin x \cos y$ 关于x是奇函数。

详细步骤：

1. $x^3 y$：关于x是奇函数（$(-x)^3 y = -x^3 y$），区域关于y轴对称 $\Rightarrow$ 积分为0
2. $\sin x \cos y$：关于x是奇函数（$\sin(-x)\cos y = -\sin x \cos y$），区域关于y轴对称 $\Rightarrow$ 积分为0
3. 总和为0

答案：$0$

解题思路： 展开 $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$。$xy$ 关于x是奇函数，积分为0。由轮换对称性，$\iint x^2 = \iint y^2$。

详细步骤：

1. $\iint_D (x+y)^2 dx\,dy = \iint_D (x^2 + 2xy + y^2) dx\,dy$
2. $xy$ 关于x是奇函数 $\Rightarrow \iint_D 2xy \, dx\,dy = 0$
3. 由轮换对称性 $\iint_D x^2 dx\,dy = \iint_D y^2 dx\,dy$
4. $\iint_D (x^2 + y^2) dx\,dy = 2\iint_D x^2 dx\,dy$，或直接用极坐标： $\iint_D (x^2+y^2) dx\,dy = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 \rho^2 \cdot \rho \, d\rho = 2\pi \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{2}$
5. 结果：$\frac{\pi}{2}$

答案：$\frac{\pi}{2}$