多元积分的应用

利用二重积分计算平面图形的面积：

$S = \iint_D 1 \, dx\, dy$

其中 $D$ 为所求图形的区域。

利用第一类曲面积分计算曲面面积：

$S = \iint_\Sigma 1 \, dS$

对于显函数 $z = z(x,y)$：

$S = \iint_{D_{xy}} \sqrt{1 + \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)^2} \, dx\, dy$

利用三重积分计算空间立体的体积：

$V = \iiint_\Omega 1 \, dv$

薄板的面密度为 $\mu(x,y)$，质量为：

$M = \iint_D \mu(x,y) \, dx\, dy$

薄板的质心坐标：

$\bar{x} = \frac{\iint_D x \mu(x,y) \, dx\, dy}{M}, \quad \bar{y} = \frac{\iint_D y \mu(x,y) \, dx\, dy}{M}$

薄板对 $x$ 轴的转动惯量：

$I_x = \iint_D y^2 \mu(x,y) \, dx\, dy$

薄板对 $y$ 轴的转动惯量：

$I_y = \iint_D x^2 \mu(x,y) \, dx\, dy$

薄板对原点的转动惯量：

$I_O = \iint_D (x^2 + y^2) \mu(x,y) \, dx\, dy$

质点对薄板的引力：

$\vec{F} = G m \iint_D \frac{\mu(x,y) \vec{r}}{r^3} \, dx\, dy$

其中 $\vec{r}$为质点到薄板上点 $(x,y)$ 的向量。

平板所受水压力：

$P = \iint_S \rho g h \, dS$

其中 $h$ 为水深，$\rho$ 为水的密度，$g$ 为重力加速度。

无限长带电直线的电场强度：

$E = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 r}$

带电平面的电场强度：

$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$

其中 $\lambda$ 为线密度，$\sigma$ 为面密度，$\varepsilon_0$ 为真空介电常数。

二元连续随机变量 $(X,Y)$ 的联合概率密度函数 $f(x,y)$ 满足：

$\iint_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dx\, dy = 1$

边缘概率密度：

$f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dy, \quad f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dx$

$E[g(X,Y)] = \iint_{-\infty}^{+\infty} g(x,y) f(x,y) \, dx\, dy$

$E[X] = \iint_{-\infty}^{+\infty} x f(x,y) \, dx\, dy, \quad E[Y] = \iint_{-\infty}^{+\infty} y f(x,y) \, dx\, dy$

$Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = \iint_{-\infty}^{+\infty} (x - \bar{x})(y - \bar{y}) f(x,y) \, dx\, dy$

相关系数：

$\rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$

在预算约束 $p_1 x_1 + p_2 x_2 = I$ 下，效用函数 $U(x_1, x_2)$ 的最大化：

$\max U(x_1, x_2) \quad \text{s.t.} \quad p_1 x_1 + p_2 x_2 = I$

使用拉格朗日乘数法求解。

$Q = A L^\alpha K^\beta$

其中 $Q$ 为产量，$L$ 为劳动投入，$K$ 为资本投入，$A, \alpha, \beta$ 为参数。