极坐标下的二重积分计算

解题思路： 圆域 + 被积函数含 $\sqrt{x^2+y^2}$，极坐标是最佳选择。

详细步骤：

1. 极坐标变换：$x = \rho\cos\theta, \, y = \rho\sin\theta$，面积元素 $\rho \, d\rho \, d\theta$
2. 积分区域：$0 \leq \rho \leq a, \, 0 \leq \theta \leq 2\pi$
3. 被积函数：$\sqrt{x^2+y^2} = \rho$
4. 计算： $\iint_D \sqrt{x^2+y^2} \, dx\,dy = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^a \rho \cdot \rho \, d\rho = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^a \rho^2 \, d\rho$
5. $= 2\pi \cdot \left[\frac{1}{3}\rho^3\right]_0^a = 2\pi \cdot \frac{a^3}{3} = \frac{2}{3}\pi a^3$

答案：$\frac{2}{3}\pi a^3$

解题思路： 全平面上的高斯积分，极坐标下可以完美分离变量。

详细步骤：

1. 极坐标变换，全平面对应：$0 \leq \rho < \infty, \, 0 \leq \theta \leq 2\pi$
2. 被积函数：$e^{-(x^2+y^2)} = e^{-\rho^2}$
3. 计算： $\iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2+y^2)} \, dx\,dy = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\infty e^{-\rho^2} \cdot \rho \, d\rho$
4. 令 $t = \rho^2$，则 $dt = 2\rho \, d\rho$，$\rho \, d\rho = \frac{1}{2}dt$
5. $\int_0^\infty e^{-\rho^2} \rho \, d\rho = \frac{1}{2}\int_0^\infty e^{-t} dt = \frac{1}{2}$
6. 结果：$2\pi \times \frac{1}{2} = \pi$

答案：$\pi$

（由此可推出著名的泊松积分 $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$）

解题思路： 圆心在 $(1,0)$、半径为1的圆。利用极坐标变换，注意 $\rho$ 的上限依赖于 $\theta$。

详细步骤：

1. 极坐标下：$\rho^2 \leq 2\rho\cos\theta \Rightarrow \rho \leq 2\cos\theta$
2. 由 $\rho \geq 0$ 得 $\cos\theta \geq 0$，即 $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$
3. 利用对称性：区域关于 $x$ 轴对称，被积函数中 $y$ 是关于 $y$ 的奇函数，故 $\iint_D y \, dx\,dy = 0$
4. 只需计算 $\iint_D x \, dx\,dy$： $\iint_D x \, dx\,dy = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta \int_0^{2\cos\theta} \rho\cos\theta \cdot \rho \, d\rho = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos\theta \, d\theta \int_0^{2\cos\theta} \rho^2 \, d\rho$
5. $= \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos\theta \cdot \frac{8}{3}\cos^3\theta \, d\theta = \frac{8}{3}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^4\theta \, d\theta = \frac{16}{3}\int_0^{\pi/2} \cos^4\theta \, d\theta$
6. 利用华里士公式：$\int_0^{\pi/2} \cos^4\theta \, d\theta = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16}$
7. 结果：$\frac{16}{3} \times \frac{3\pi}{16} = \pi$

答案：$\pi$

解题思路： 圆域 + 被积函数含 $x^2+y^2$，用极坐标。

详细步骤：

1. 极坐标：$0 \leq \rho \leq 2, \, 0 \leq \theta \leq 2\pi$
2. $\iint_D e^{x^2+y^2} dx\,dy = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^2 e^{\rho^2} \cdot \rho \, d\rho$
3. 令 $t = \rho^2$，$= 2\pi \cdot \frac{1}{2}\int_0^4 e^t dt = \pi(e^4 - 1)$

答案：$\pi(e^4 - 1)$

解题思路： 圆域上的积分，极坐标变换后用分部积分。

详细步骤：

1. 极坐标：$0 \leq \rho \leq 1, \, 0 \leq \theta \leq 2\pi$
2. $\iint_D \ln(1+x^2+y^2) dx\,dy = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 \ln(1+\rho^2) \cdot \rho \, d\rho$
3. 令 $t = 1+\rho^2$，$dt = 2\rho d\rho$： $= 2\pi \cdot \frac{1}{2}\int_1^2 \ln t \, dt = \pi [t\ln t - t]_1^2 = \pi(2\ln 2 - 2 + 1) = \pi(2\ln 2 - 1)$

答案：$\pi(2\ln 2 - 1)$