第二类曲面积分（对坐标的积分）

解题思路： 用合一投影法，将三个分量统一投影到 $xOy$ 平面。

详细步骤：

1. 曲面 $z = 1-x-y$，取上侧，$z_x = -1, \, z_y = -1$
2. 投影区域 $D_{xy}: x \geq 0, y \geq 0, x+y \leq 1$
3. 合一投影公式： $\iint_\Sigma x \, dy\,dz + y \, dz\,dx + z \, dx\,dy = \iint_{D_{xy}} [-x(-1) - y(-1) + (1-x-y)] dx\,dy = \iint_{D_{xy}} (x + y + 1 - x - y) dx\,dy = \iint_{D_{xy}} 1 \, dx\,dy = \frac{1}{2}$

答案：$\frac{1}{2}$

解题思路： 闭曲面的第二类曲面积分，用高斯公式转化为三重积分（高斯公式详见下一章）。

详细步骤：

1. 由高斯公式：$\oiint_\Sigma x^3 dy\,dz + y^3 dz\,dx + z^3 dx\,dy = \iiint_\Omega (3x^2+3y^2+3z^2) dv = 3\iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2) dv$
2. 球坐标：$= 3\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\pi \sin\phi \, d\phi \int_0^a r^2 \cdot r^2 dr = 3 \cdot 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{a^5}{5} = \frac{12\pi a^5}{5}$

答案：$\frac{12\pi a^5}{5}$

解题思路： 柱面垂直于 $xOy$ 平面，在 $xOy$ 平面上的投影为一条曲线（面积为零），因此 $dx\,dy$ 项的积分为零。

详细步骤：

1. 柱面 $x^2+y^2=a^2$ 的母线平行于 $z$ 轴，垂直于 $xOy$ 平面
2. 柱面在 $xOy$ 平面上的投影是圆周 $x^2+y^2=a^2$，面积为零
3. 因此 $\iint_\Sigma z \, dx\,dy = 0$

答案：$0$

（注意：如果是计算 $x \, dy\,dz$ 或 $y \, dz\,dx$，则不为零，需要分别投影到 $yOz$ 或 $zOx$ 平面。）

解题思路： 上半球面 $z = \sqrt{a^2-x^2-y^2}$，取上侧，投影到 $xOy$ 平面为圆 $x^2+y^2 \leq a^2$。

详细步骤：

1. $z = \sqrt{a^2-x^2-y^2}$，上侧取正号
2. $\iint_\Sigma (x+y+z) dx\,dy = \iint_{D_{xy}} (x+y+\sqrt{a^2-x^2-y^2}) dx\,dy$
3. 由对称性，$\iint_{D_{xy}} x \, dx\,dy = 0$，$\iint_{D_{xy}} y \, dx\,dy = 0$
4. $= \iint_{D_{xy}} \sqrt{a^2-x^2-y^2} \, dx\,dy = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^a \sqrt{a^2-\rho^2} \cdot \rho \, d\rho = 2\pi \cdot \left[-\frac{1}{3}(a^2-\rho^2)^{3/2}\right]_0^a = 2\pi \cdot \frac{a^3}{3} = \frac{2\pi a^3}{3}$

答案：$\frac{2\pi a^3}{3}$

解题思路： 锥面取下侧，$dx\,dy$ 项取负号。

详细步骤：

1. $z = \sqrt{x^2+y^2}$，下侧取负号
2. 投影区域 $D: x^2+y^2 \leq 1$
3. $\iint_\Sigma z \, dx\,dy = -\iint_D \sqrt{x^2+y^2} \, dx\,dy = -\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 \rho \cdot \rho \, d\rho = -2\pi \cdot \frac{1}{3} = -\frac{2\pi}{3}$

答案：$-\frac{2\pi}{3}$