向量场理论

向量场的定义

向量场

设 $\Omega$ 是空间中的一个区域，如果对于 $\Omega$ 中的每一点 $(x,y,z)$ ，都有一个确定的向量 $\vec{F}(x,y,z) = P(x,y,z)\vec{i} + Q(x,y,z)\vec{j} + R(x,y,z)\vec{k}$ 与之对应，则称向量函数 $\vec{F}$ 定义了一个向量场。

向量场可以分为：

有势场：存在标量函数 $u(x,y,z)$ 使得 $\vec{F} = \nabla u$
无势场：不存在这样的标量函数
管状场：沿任意闭曲线的环流量为零
螺线场：不存在这样的标量势函数

平面向量场

$\vec{F}(x,y) = P(x,y)\vec{i} + Q(x,y)\vec{j}$

在二维情况下，向量场可以表示为：

向量形式： $\vec{F} = (P, Q)$
复数形式： $P + iQ$

向量场的运算

梯度场

标量函数 $u(x,y,z)$ 的梯度：

$\nabla u = \frac{\partial u}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial u}{\partial y}\vec{j} + \frac{\partial u}{\partial z}\vec{k}$

梯度场的性质：

$\nabla (u + v) = \nabla u + \nabla v$
$\nabla (cu) = c \nabla u$
$\nabla (uv) = u \nabla v + v \nabla u$
$\nabla (u/v) = (v \nabla u - u \nabla v)/v^2$

散度场

散度

向量场 $\vec{F} = (P, Q, R)$ 的散度：

$\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$

散度的几何意义：表示向量场在该点的”源”或”汇”的强度。

旋度场

旋度

向量场 $\vec{F} = (P, Q, R)$ 的旋度：

$\nabla \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}$

旋度的几何意义：表示向量场在该点的”旋转”强度。

向量场的分类

有势场

如果向量场 $\vec{F}$ 存在标量势函数 $u$ ，使得 $\vec{F} = \nabla u$ ，则称 $\vec{F}$ 为有势场， $u$ 称为势函数。

定理 1

向量场 $\vec{F} = (P, Q, R)$ 为有势场的充要条件是：

$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}, \quad \frac{\partial P}{\partial z} = \frac{\partial R}{\partial x}, \quad \frac{\partial Q}{\partial z} = \frac{\partial R}{\partial y}$

即 $\nabla \times \vec{F} = 0$

无旋场

如果向量场 $\vec{F}$ 的旋度为零，即 $\nabla \times \vec{F} = 0$ ，则称 $\vec{F}$ 为无旋场。

无旋场一定是平面上的有势场，但在空间中不一定。

管状场

如果向量场 $\vec{F}$ 沿任意闭曲线的环流量为零，则称 $\vec{F}$ 为管状场。

定理 2

在单连通区域中，管状场是有势场。

向量场的积分

第二类曲线积分

向量场沿曲线的环流量

$\oint_L \vec{F} \cdot d\vec{r} = \oint_L P \, dx + Q \, dy + R \, dz$

第二类曲面积分

向量场通过曲面的通量

$\iint_\Sigma \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iint_\Sigma P \, dy\, dz + Q \, dz\, dx + R \, dx\, dy$

重要定理

高斯散度定理

定理 3

$\oiint_\Sigma \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iiint_\Omega (\nabla \cdot \vec{F}) \, dv$

斯托克斯定理

定理 4

$\oint_L \vec{F} \cdot d\vec{r} = \iint_\Sigma (\nabla \times \vec{F}) \cdot d\vec{S}$

应用示例

引力场

万有引力场

$\vec{F} = -\frac{GM m}{r^2} \vec{e_r}$

这是一个有势场，势函数为 $u = -\frac{GM m}{r}$

静电场

$\vec{E} = -\nabla \phi$

其中 $\phi$ 为电势函数。

练习题

练习 1

判断向量场 $\vec{F} = (y, x, 0)$ 是否为有势场，如果是，求其势函数。

参考答案 (3 个标签)

有势场旋度势函数

解题思路：先计算旋度，判断是否有势，然后求势函数。

详细步骤：

计算旋度： $\nabla \times \vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ y & x & 0 \end{vmatrix}$ $= \vec{i}(0-0) - \vec{j}(0-0) + \vec{k}(1-1) = 0$
由于旋度为零，该向量场为有势场。
求势函数： $\frac{\partial u}{\partial x} = y \Rightarrow u = xy + f(y,z)$ $\frac{\partial u}{\partial y} = x \Rightarrow u = xy + g(x,z)$ $\frac{\partial u}{\partial z} = 0 \Rightarrow u = xy + h(x,y)$
因此势函数为 $u = xy + C$

答案：是有势场，势函数为 $u = xy + C$

练习 2

计算向量场 $\vec{F} = (x^2, y^2, z^2)$ 的散度。

参考答案 (3 个标签)

散度偏导数计算

解题思路：散度是各分量的偏导数之和。

详细步骤：

计算各分量的偏导数： $\frac{\partial}{\partial x}(x^2) = 2x$ $\frac{\partial}{\partial y}(y^2) = 2y$ $\frac{\partial}{\partial z}(z^2) = 2z$
散度： $\nabla \cdot \vec{F} = 2x + 2y + 2z = 2(x + y + z)$

答案： $\nabla \cdot \vec{F} = 2(x + y + z)$

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\vec{F}$	向量场	vector field	向量场
$\nabla \cdot \vec{F}$	散度	divergence	向量场的散度
$\nabla \times \vec{F}$	旋度	curl	向量场的旋度
$\nabla u$	梯度	gradient	标量函数的梯度

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
向量场	vector field	/ˈvɛktər fiːld/	空间中每点都有向量的场
有势场	conservative field	/kənˈsɜːrvətɪv fiːld/	存在势函数的向量场
散度	divergence	/daɪˈvɜːrdʒəns/	向量场的散度
旋度	curl	/kɜːrl/	向量场的旋度
势函数	potential function	/pəˈtɛnʃəl ˈfʌŋkʃən/	梯度的原函数

上一章节曲线积分与曲面积分学习第一类和第二类曲线积分、第一类和第二类曲面积分的概念和计算方法。下一章节多元积分的应用学习多元积分在几何、物理、工程等领域的实际应用。

课程路线图

1
高等数学之函数探秘
先修课程
函数是高等数学的核心概念，本系列文档系统介绍函数的基本概念、性质和应用。
前往课程
2
数列
先修课程
数列是高等数学的基石，本系列文档系统介绍数列的基本概念、性质、极限理论及其应用。
前往课程
3
高等数学之极限的世界
先修课程
极限是微积分的基础，也是高等数学中最重要的概念之一。
前往课程
4
高等数学之连续
先修课程
连续性知识点的完整学习指南，包含基本概念、间断点分类、初等函数连续性等。
前往课程
5
一元函数微分学
先修课程
一元函数微分学的完整学习指南，包含学习路径、核心概念、常见错误和学习建议。
前往课程
6
向量代数和空间解析几何
先修课程
掌握向量运算和空间中点、线、面的方程及其相互关系。
前往课程
7
多元函数微分学
先修课程
将微分学的思想扩展到多个变量，研究偏导数、全微分及其应用。
前往课程
8
一元函数积分学
先修课程
学习不定积分与定积分的理论和计算，并应用于几何与物理问题。
前往课程
9
多元函数积分学
当前课程
学习二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分的概念、计算与应用。
前往课程