向量场理论

向量场的概念来自物理：温度场、速度场、电场都是空间中每一点都有一个向量。把前面几章的积分工具放到向量场背景下，立刻产生强大的物理直觉。

本章的核心是三个算子——梯度、散度、旋度，它们分别刻画向量场的变化率：梯度描述值的变化，散度描述向量场在某点的发散程度，旋度描述旋转趋势。有势场（有旋为零且定义域单连通）意味着向量场可以表示为某个标量函数的梯度，这类问题只需解一次方程即可。

通量与环流量则给出了这三个算子的积分含义：散度的积分是穿过闭曲面的通量，旋度的积分是沿闭曲线的环流。结合上章的高斯公式与斯托克斯公式，就得到了散度定理与斯托克斯定理，它们是微积分基本定理在三维空间的对应物。