变量替换的一般公式与雅可比行列式

从一元换元到多元换元

在一元函数积分中，换元法 $\int_a^b f(x) dx = \int_\alpha^\beta f(\phi(t))|\phi'(t)| dt$ 是基本技巧。多元积分的变量替换是一元换元的自然推广，但核心区别在于：多元变换中，面积/体积元素会发生”缩放”，这个缩放因子就是雅可比行列式的绝对值。

二重积分的变量替换公式

定理1

设变换 $T: \begin{cases} x = x(u, v) \\ y = y(u, v) \end{cases}$ 将 $uv$ 平面上的闭区域 $D'$ 一一对应地映射为 $xy$ 平面上的闭区域 $D$ ，且满足：

$x(u,v), y(u,v)$ 在 $D'$ 上具有一阶连续偏导数
雅可比行列式 $J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \neq 0$ 在 $D'$ 上（至多在有限个点/曲线上为零）
变换 $T$ 是一一对应的（单叶）

则有变量替换公式：

$\iint_D f(x,y) \, dx\, dy = \iint_{D'} f(x(u,v), y(u,v)) \cdot |J| \, du \, dv$

注意

公式中是 $|J|$ （雅可比行列式的绝对值），不是 $J$ 本身！因为面积/体积总是正的，而雅可比行列式可能为负（负号表示方向反转）。

雅可比行列式的定义

雅可比行列式

对于变换 $x = x(u,v), \, y = y(u,v)$ ，雅可比行列式定义为：

$J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial y}{\partial v} - \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial y}{\partial u}$

三重积分的雅可比行列式

对于变换 $x = x(u,v,w), \, y = y(u,v,w), \, z = z(u,v,w)$ ：

$J = \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial x}{\partial w} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial w} \\ \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v} & \frac{\partial z}{\partial w} \end{vmatrix}$

三重积分的变量替换公式：

$\iiint_\Omega f(x,y,z) \, dx\,dy\,dz = \iiint_{\Omega'} f(x(u,v,w), y(u,v,w), z(u,v,w)) \cdot |J| \, du\,dv\,dw$

雅可比行列式的几何意义

缩放因子

雅可比行列式的绝对值 $|J|$ 是变换的”面积/体积缩放因子”。

在二维情况下， $uv$ 平面上的小矩形 $\Delta u \times \Delta v$ 经过变换后，在 $xy$ 平面上变为一个小平行四边形，其面积约为 $|J| \Delta u \Delta v$ 。

在三维情况下， $uvw$ 空间中的小立方体 $\Delta u \times \Delta v \times \Delta w$ 经过变换后，在 $xyz$ 空间中变为一个小平行六面体，其体积约为 $|J| \Delta u \Delta v \Delta w$ 。

逆变换的雅可比行列式

若变换 $T: (u,v) \to (x,y)$ 的雅可比为 $J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}$ ，则逆变换 $T^{-1}: (x,y) \to (u,v)$ 的雅可比为：

$\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} = \frac{1}{J} = \frac{1}{\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}}$

这个性质在已知逆变换（如 $u = u(x,y), v = v(x,y)$ ）时非常有用，可以避免解出 $x = x(u,v), y = y(u,v)$ 。

雅可比行列式的计算技巧

直接计算：按定义求偏导数，再计算行列式
利用逆变换：若逆变换的雅可比更容易计算，则 $J = 1 / J_{\text{逆}}$
复合变换：若变换是两个变换的复合 $T = T_2 \circ T_1$ ，则 $J_T = J_{T_2} \cdot J_{T_1}$
已知变换记忆：极坐标 $J = \rho$ ，柱坐标 $J = \rho$ ，球坐标 $J = r^2\sin\phi$

典型例题

例题1：计算雅可比行列式

求变换 $x = u + v, \, y = u - v$ 的雅可比行列式。

参考答案

雅可比行列式线性变换偏导数

解题思路：按定义求偏导数，计算二阶行列式。

详细步骤：

$\frac{\partial x}{\partial u} = 1, \quad \frac{\partial x}{\partial v} = 1$
$\frac{\partial y}{\partial u} = 1, \quad \frac{\partial y}{\partial v} = -1$
$J = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 1 \times (-1) - 1 \times 1 = -2$
$|J| = 2$

答案： $J = -2$ ， $|J| = 2$

（几何意义：该变换将 $uv$ 平面上的面积放大为原来的2倍，同时方向反转。）

例题2：利用逆变换求雅可比

设变换为 $u = x + y, \, v = x - y$ ，求 $\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}$ 。

参考答案

雅可比行列式逆变换线性变换

解题思路：先求逆变换的雅可比 $\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}$ ，再取倒数。

详细步骤：

$\frac{\partial u}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = 1$
$\frac{\partial v}{\partial x} = 1, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = -1$
$\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2$
$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \frac{1}{\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$

答案： $\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = -\frac{1}{2}$

例题3：椭圆变换的雅可比

求椭圆变换 $x = ar\cos\theta, \, y = br\sin\theta$ 的雅可比行列式。

参考答案

雅可比行列式椭圆变换广义极坐标

解题思路：这是广义极坐标变换，按定义计算。

详细步骤：

$\frac{\partial x}{\partial r} = a\cos\theta, \quad \frac{\partial x}{\partial \theta} = -ar\sin\theta$
$\frac{\partial y}{\partial r} = b\sin\theta, \quad \frac{\partial y}{\partial \theta} = br\cos\theta$
$J = \begin{vmatrix} a\cos\theta & -ar\sin\theta \\ b\sin\theta & br\cos\theta \end{vmatrix} = a\cos\theta \cdot br\cos\theta - (-ar\sin\theta) \cdot b\sin\theta = abr\cos^2\theta + abr\sin^2\theta = abr(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = abr$
$|J| = abr$

答案： $J = abr$ ， $|J| = abr$

（当 $a=b=R$ 时，退化为极坐标 $J = Rr$ ，与极坐标 $J = \rho$ 一致。）

练习题

练习1

求变换 $x = u^2 - v^2, \, y = 2uv$ 的雅可比行列式。

参考答案

雅可比行列式非线性变换偏导数

解题思路：按定义求偏导数，计算行列式。

详细步骤：

$\frac{\partial x}{\partial u} = 2u, \quad \frac{\partial x}{\partial v} = -2v$
$\frac{\partial y}{\partial u} = 2v, \quad \frac{\partial y}{\partial v} = 2u$
$J = \begin{vmatrix} 2u & -2v \\ 2v & 2u \end{vmatrix} = 4u^2 + 4v^2 = 4(u^2+v^2)$

答案： $J = 4(u^2+v^2)$

练习2

求变换 $x = e^u \cos v, \, y = e^u \sin v$ 的雅可比行列式。

参考答案

雅可比行列式指数变换极坐标推广

解题思路：按定义计算。

详细步骤：

$\frac{\partial x}{\partial u} = e^u\cos v, \quad \frac{\partial x}{\partial v} = -e^u\sin v$
$\frac{\partial y}{\partial u} = e^u\sin v, \quad \frac{\partial y}{\partial v} = e^u\cos v$
$J = e^{2u}\cos^2 v + e^{2u}\sin^2 v = e^{2u}$

答案： $J = e^{2u}$

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$J$	雅可比行列式	Jacobian determinant	坐标变换的偏导数行列式
$\\|J\\|$	雅可比绝对值	absolute Jacobian	雅可比行列式的绝对值，面积/体积缩放因子
$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}$	雅可比记号	Jacobian notation	二维雅可比行列式的偏导记号
$\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}$	雅可比记号	Jacobian notation	三维雅可比行列式的偏导记号
$D'$	原区域	original region	变换前在新坐标系下的区域

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
变量替换	change of variables	/tʃeɪndʒ əv ˈvɛriəbəlz/	积分变量的替换变换
换元法	substitution method	/ˌsʌbstɪˈtjuːʃən ˈmɛθəd/	即变量替换法
雅可比行列式	Jacobian determinant	/dʒəˈkoʊbiən dɪˈtɜːrmɪnənt/	偏导数组成的行列式，度量面积/体积缩放
一一对应	one-to-one correspondence	/wʌn tuː wʌn ˌkɒrɪˈspɒndəns/	变换是单射且满射
逆变换	inverse transformation	/ˈɪnvɜːrs ˌtrænsfərˈmeɪʃən/	变换的逆映射
面积缩放因子	area scaling factor	/ˈɛəriə ˈskeɪlɪŋ ˈfæktər/	变换前后面积的比值
体积缩放因子	volume scaling factor	/ˈvɒljuːm ˈskeɪlɪŋ ˈfæktər/	变换前后体积的比值

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二重积分的变量替换公式

注意

雅可比行列式的定义

三重积分的雅可比行列式

雅可比行列式的几何意义

缩放因子

逆变换的雅可比行列式

雅可比行列式的计算技巧

典型例题

例题1：计算雅可比行列式

例题2：利用逆变换求雅可比

例题3：椭圆变换的雅可比

练习题

练习1

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