交换积分次序

解题思路： 先确定积分区域，画图后转换为Y-型。

详细步骤：

1. 原积分限（X-型）：$0 \leq x \leq 1, \, x \leq y \leq 1$
2. 区域由 $y=x$、$y=1$、$x=0$ 围成，是顶点为 $(0,0)$、$(0,1)$、$(1,1)$ 的三角形
3. 转换为Y-型：$y$ 的范围是 $0 \leq y \leq 1$
4. 对固定的 $y$，$x$ 从 $0$ 到 $y$（因为 $y \geq x$）
5. 新积分：$\int_0^1 dy \int_0^y f(x,y) dx$

答案：$\int_0^1 dy \int_0^y f(x,y) dx$

解题思路： $e^{-y^2}$ 的原函数不是初等函数，必须交换积分次序。

详细步骤：

1. 原区域（X-型）：$0 \leq x \leq 1, \, x \leq y \leq 1$
2. 转换为Y-型：$0 \leq y \leq 1, \, 0 \leq x \leq y$
3. 交换后： $\int_0^1 dx \int_x^1 e^{-y^2} dy = \int_0^1 dy \int_0^y e^{-y^2} dx$
4. 先对 $x$ 积分（$e^{-y^2}$ 与 $x$ 无关）： $\int_0^y e^{-y^2} dx = e^{-y^2} \cdot [x]_0^y = y e^{-y^2}$
5. 再对 $y$ 积分： $\int_0^1 y e^{-y^2} dy = -\frac{1}{2}\int_0^1 e^{-y^2} d(-y^2) = -\frac{1}{2}[e^{-y^2}]_0^1 = -\frac{1}{2}(e^{-1} - 1) = \frac{1}{2}(1 - e^{-1})$

答案：$\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{e})$

解题思路： 原区域由抛物线 $y=x^2$ 和直线 $y=2x$ 围成。换序后需要拆分区域，因为右边界在不同 $y$ 范围内由不同曲线给出。

详细步骤：

1. 原区域（X-型）：$0 \leq x \leq 2, \, x^2 \leq y \leq 2x$
2. 求交点：$x^2 = 2x \Rightarrow x=0$ 或 $x=2$，对应 $(0,0)$ 和 $(2,4)$
3. $y$ 的范围：$0 \leq y \leq 4$
4. 对固定的 $y$：
   • 左边界：由 $y = 2x$ 得 $x = \frac{y}{2}$
   • 右边界：由 $y = x^2$（$x \geq 0$）得 $x = \sqrt{y}$
5. 注意：在 $0 \leq y \leq 4$ 范围内，$\frac{y}{2} \leq \sqrt{y}$（验证：$y=1$ 时 $0.5 \leq 1$，$y=4$ 时 $2 \leq 2$）
6. 因此不需要拆分，Y-型表示为：$0 \leq y \leq 4, \, \frac{y}{2} \leq x \leq \sqrt{y}$
7. 新积分：$\int_0^4 dy \int_{y/2}^{\sqrt{y}} f(x,y) dx$

答案：$\int_0^4 dy \int_{y/2}^{\sqrt{y}} f(x,y) dx$

解题思路： 先确定极坐标区域，再转换为直角坐标区域。

详细步骤：

1. 极坐标区域：$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}, \, 0 \leq \rho \leq 2\cos\theta$
2. $\rho \leq 2\cos\theta \Rightarrow \rho^2 \leq 2\rho\cos\theta \Rightarrow x^2 + y^2 \leq 2x$，即 $(x-1)^2 + y^2 \leq 1$
3. 由 $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ 知 $x \geq 0, y \geq 0$，即第一象限部分
4. 直角坐标区域（X-型）：$0 \leq x \leq 2, \, 0 \leq y \leq \sqrt{2x - x^2}$
5. 累次积分：$\int_0^2 dx \int_0^{\sqrt{2x-x^2}} f(x,y) dy$

答案：$\int_0^2 dx \int_0^{\sqrt{2x-x^2}} f(x,y) dy$

解题思路： 原区域（Y-型）：$0 \leq y \leq 1, \, y \leq x \leq \sqrt{y}$。注意 $y \leq \sqrt{y}$ 当 $0 \leq y \leq 1$ 时成立。

详细步骤：

1. 边界曲线：$x = y$（即 $y=x$）和 $x = \sqrt{y}$（即 $y=x^2$）
2. 交点：$(0,0)$ 和 $(1,1)$
3. X-型：$0 \leq x \leq 1$，对固定 $x$，$y$ 从 $x^2$ 到 $x$（因为 $x^2 \leq x$ 在 $[0,1]$ 上）
4. 新积分：$\int_0^1 dx \int_{x^2}^x f(x,y) dy$

答案：$\int_0^1 dx \int_{x^2}^x f(x,y) dy$

解题思路： $\frac{\sin y}{y}$ 的原函数不是初等函数，必须交换积分次序。

详细步骤：

1. 原区域：$0 \leq x \leq 1, \, x \leq y \leq 1$
2. 换序后：$0 \leq y \leq 1, \, 0 \leq x \leq y$
3. $\int_0^1 dx \int_x^1 \frac{\sin y}{y} dy = \int_0^1 dy \int_0^y \frac{\sin y}{y} dx = \int_0^1 \frac{\sin y}{y} \cdot y \, dy = \int_0^1 \sin y \, dy = 1 - \cos 1$

答案：$1 - \cos 1$