球坐标变换与其他常用变换

球坐标变换

变换公式与雅可比

球坐标变换

$\begin{cases} x = r \sin\phi \cos\theta \\ y = r \sin\phi \sin\theta \\ z = r \cos\phi \end{cases}$

其中 $r \geq 0$ 是径向距离， $\phi \in [0, \pi]$ 是极角（与 $z$ 轴夹角）， $\theta \in [0, 2\pi)$ 是方位角。

雅可比行列式： $J = \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\phi,\theta)} = r^2 \sin\phi$

体积元素： $dv = dx\,dy\,dz = |J| \, dr \, d\phi \, d\theta = r^2 \sin\phi \, dr \, d\phi \, d\theta$

换元公式： $\iiint_\Omega f(x,y,z) \, dv = \iiint_{\Omega'} f(r\sin\phi\cos\theta, r\sin\phi\sin\theta, r\cos\phi) \cdot r^2 \sin\phi \, dr \, d\phi \, d\theta$

适用场景

球坐标变换适用于

积分区域是球体、半球、球壳、球锥等球形区域
被积函数含有 $x^2+y^2+z^2$ 、 $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ 等形式
区域关于原点球对称
直角坐标或柱坐标下积分限极其复杂

广义极坐标变换（椭圆变换）

广义极坐标变换

$\begin{cases} x = a\rho \cos\theta \\ y = b\rho \sin\theta \end{cases}$

雅可比行列式： $J = ab\rho$

面积元素： $d\sigma = ab\rho \, d\rho \, d\theta$

适用场景：积分区域是椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq 1$ 或椭圆扇形。

椭圆区域在广义极坐标下变为： $0 \leq \rho \leq 1, \, 0 \leq \theta \leq 2\pi$ 。

推广：广义球坐标（椭球变换）

$\begin{cases} x = ar\sin\phi\cos\theta \\ y = br\sin\phi\sin\theta \\ z = cr\cos\phi \end{cases}$

雅可比行列式： $J = abcr^2\sin\phi$

适用场景：椭球区域 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} \leq 1$ 。

双曲变换

$\begin{cases} x = a \cdot \frac{u^2 - v^2}{2} \\ y = a \cdot uv \end{cases}$

雅可比行列式： $J = \begin{vmatrix} au & -av \\ av & au \end{vmatrix} = a^2u^2 + a^2v^2 = a^2(u^2 + v^2)$

面积元素： $d\sigma = a^2(u^2+v^2) \, du \, dv$

适用场景：积分区域由抛物线 $y^2 = 2a(x+\frac{a}{2})$ 和 $y^2 = -2a(x-\frac{a}{2})$ 围成，或被积函数含有 $\sqrt{x+\sqrt{x^2+y^2}}$ 等形式。

双曲变换的雅可比是 $a^2(u^2+v^2)$ ，不是 $a^2\frac{u^2+v^2}{2}$ 。注意不要把 $x$ 表达式中的 $\frac{1}{2}$ 带入雅可比计算。

指数变换（对数极坐标）

指数变换

$\begin{cases} x = ae^u \cos v \\ y = ae^u \sin v \end{cases}$

雅可比行列式： $J = a^2 e^{2u}$

面积元素： $d\sigma = a^2 e^{2u} \, du \, dv$

适用场景：被积函数含有 $\frac{1}{(x^2+y^2)^k}$ 且积分区域包含原点（此时极坐标下 $\rho=0$ 处可能发散，指数变换将原点映射到 $u=-\infty$ ，便于处理反常积分）。

线性变换

$\begin{cases} x = a_{11}u + a_{12}v \\ y = a_{21}u + a_{22}v \end{cases}$

雅可比行列式： $J = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$ （常数）

面积元素： $d\sigma = |J| \, du \, dv$

适用场景：积分区域是平行四边形，或被积函数是线性组合的函数。线性变换将平行四边形变为矩形，极大简化积分限。

常见线性变换

变换	公式	雅可比	适用场景
平移	$x = u + a, \, y = v + b$	$J = 1$	区域中心不在原点
缩放	$x = au, \, y = bv$	$J = ab$	椭圆/矩形区域
旋转	$x = u\cos\alpha - v\sin\alpha, \, y = u\sin\alpha + v\cos\alpha$	$J = 1$	区域有倾斜对称轴
剪切	$x = u + cv, \, y = v$	$J = 1$	平行四边形区域

典型例题

例题1：椭圆区域面积

用广义极坐标求椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq 1$ 的面积。

参考答案

广义极坐标椭圆面积变量替换

解题思路：广义极坐标变换将椭圆区域变为单位圆区域。

详细步骤：

变换： $x = a\rho\cos\theta, \, y = b\rho\sin\theta$ ，雅可比 $J = ab\rho$
椭圆区域变为： $0 \leq \rho \leq 1, \, 0 \leq \theta \leq 2\pi$
面积 $S = \iint_D dx\,dy = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 ab\rho \, d\rho = 2\pi \cdot ab \cdot \frac{1}{2} = \pi ab$

答案： $\pi ab$

例题2：线性变换计算平行四边形区域积分

计算 $\iint_D (x+y) \, dx\,dy$ ，其中 $D$ 是由 $x+y=0, x+y=1, x-y=0, x-y=1$ 围成的平行四边形。

参考答案

线性变换平行四边形变量替换

解题思路：令 $u = x+y, \, v = x-y$ ，则区域变为矩形 $0 \leq u \leq 1, \, 0 \leq v \leq 1$ 。

详细步骤：

逆变换： $x = \frac{u+v}{2}, \, y = \frac{u-v}{2}$
雅可比： $J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \end{vmatrix} = -\frac{1}{2}$ ， $|J| = \frac{1}{2}$
被积函数： $x+y = u$
$\iint_D (x+y) dx\,dy = \int_0^1 \int_0^1 u \cdot \frac{1}{2} du\,dv = \frac{1}{2} \int_0^1 dv \int_0^1 u \, du = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

答案： $\frac{1}{4}$

例题3：球坐标计算球体积分

计算 $\iiint_\Omega \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \, dv$ ，其中 $\Omega: 1 \leq x^2+y^2+z^2 \leq 4$ 。

参考答案

球坐标球壳三重积分

解题思路：球壳区域，球坐标变换。

详细步骤：

球坐标： $1 \leq r \leq 2, \, 0 \leq \phi \leq \pi, \, 0 \leq \theta \leq 2\pi$
被积函数： $\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} = \frac{1}{r}$
$\iiint_\Omega \frac{1}{r} \cdot r^2\sin\phi \, dr \, d\phi \, d\theta = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\pi \sin\phi \, d\phi \int_1^2 r \, dr = 2\pi \cdot 2 \cdot \left[\frac{r^2}{2}\right]_1^2 = 4\pi \cdot \frac{3}{2} = 6\pi$

答案： $6\pi$

练习题

练习1

用广义极坐标计算 $\iint_D \sqrt{\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}} \, dx\,dy$ ，其中 $D: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq 1$ 。

参考答案

广义极坐标椭圆区域变量替换

解题思路：广义极坐标变换后，被积函数变为 $\rho$ 。

详细步骤：

变换： $x = a\rho\cos\theta, \, y = b\rho\sin\theta$ ， $J = ab\rho$
区域： $0 \leq \rho \leq 1, \, 0 \leq \theta \leq 2\pi$
被积函数： $\sqrt{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}} = \rho$
$\iint_D \rho \cdot ab\rho \, d\rho \, d\theta = ab \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 \rho^2 d\rho = ab \cdot 2\pi \cdot \frac{1}{3} = \frac{2\pi ab}{3}$

答案： $\frac{2\pi ab}{3}$

练习2

用线性变换计算 $\iint_D e^{\frac{x-y}{x+y}} \, dx\,dy$ ，其中 $D$ 由 $x+y=1, x=0, y=0$ 围成。

参考答案

线性变换三角形区域变量替换

解题思路：令 $u = x+y, \, v = x-y$ ，简化被积函数。

详细步骤：

逆变换： $x = \frac{u+v}{2}, \, y = \frac{u-v}{2}$ ， $|J| = \frac{1}{2}$
区域变换： $x \geq 0, y \geq 0 \Rightarrow u+v \geq 0, u-v \geq 0 \Rightarrow -u \leq v \leq u$ ； $x+y \leq 1 \Rightarrow u \leq 1$
区域： $0 \leq u \leq 1, \, -u \leq v \leq u$
被积函数： $e^{\frac{v}{u}}$
$\iint_D e^{v/u} \cdot \frac{1}{2} du\,dv = \frac{1}{2}\int_0^1 du \int_{-u}^u e^{v/u} dv = \frac{1}{2}\int_0^1 u[e^{v/u}]_{-u}^u du = \frac{1}{2}\int_0^1 u(e - e^{-1}) du = \frac{e-e^{-1}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{e-e^{-1}}{4}$

答案： $\frac{e-e^{-1}}{4}$

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$r$	径向距离	radial distance	球坐标中点到原点的距离
$\phi$	极角	polar angle	球坐标中与 z 轴的夹角
$\theta$	方位角	azimuthal angle	球坐标中在 xOy 平面上的投影角
$a, b$	半轴长	semi-axes	椭圆/椭球的半轴长度
$u, v, w$	新坐标	new coordinates	变量替换后的新自变量

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
球坐标变换	spherical coordinate transformation	/ˈsfɪrɪkəl koʊˈɔːrdɪneɪt ˌtrænsfərˈmeɪʃən/	直角坐标到球坐标的变换
广义极坐标	generalized polar coordinates	/ˈdʒɛnrəlaɪzd ˈpoʊlər koʊˈɔːrdɪneɪts/	椭圆变换，极坐标的推广
双曲变换	hyperbolic transformation	/ˌhaɪpərˈbɒlɪk ˌtrænsfərˈmeɪʃən/	基于抛物线坐标的变换
线性变换	linear transformation	/ˈlɪniər ˌtrænsfərˈmeɪʃən/	变换公式为线性的变量替换
椭球变换	ellipsoidal transformation	/ɪˈlɪpsɔɪdl ˌtrænsfərˈmeɪʃən/	广义球坐标，椭球区域变换
指数变换	exponential transformation	/ˌɛkspəˈnɛnʃəl ˌtrænsfərˈmeɪʃən/	对数极坐标变换
平移变换	translation	/trænsˈleɪʃən/	区域平移
旋转变换	rotation	/roʊˈteɪʃən/	区域旋转

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