二重积分

二重积分的定义

二重积分

设 $f(x, y)$ 是定义在闭区域 $D$ 上的有界函数，将区域 $D$ 任意分成 $n$ 个小区域 $\Delta \sigma_i$ ，每个小区域的面积为 $\Delta \sigma_i$ ，在每个小区域上任取一点 $(\xi_i, \eta_i)$ ，作和：

$\sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i) \Delta \sigma_i$

如果当各小区域直径的最大值 $\lambda \to 0$ 时，这个和的极限存在，则称此极限为函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上的二重积分，记作：

$\iint_D f(x, y) \, d\sigma \quad \text{或} \quad \iint_D f(x, y) \, dx\, dy$

几何意义

当 $f(x, y) \geq 0$ 时，二重积分 $\iint_D f(x, y) \, dx\, dy$ 表示以区域 $D$ 为底，以曲面 $z = f(x, y)$ 为顶的柱体体积。

二重积分的性质

定理 1

二重积分具有以下性质：

线性性质： $\iint_D [af(x,y) + bg(x,y)] \, d\sigma = a\iint_D f \, d\sigma + b\iint_D g \, d\sigma$
区域可加性：若 $D = D_1 \cup D_2$ 且 $D_1 \cap D_2 = \emptyset$ ，则 $\iint_D f \, d\sigma = \iint_{D_1} f \, d\sigma + \iint_{D_2} f \, d\sigma$
比较性质：若 $D$ 上 $f(x,y) \leq g(x,y)$ ，则 $\iint_D f \, d\sigma \leq \iint_D g \, d\sigma$
估值性质： $mS \leq \iint_D f \, d\sigma \leq MS$ 其中 $m, M$ 分别是 $f$ 在 $D$ 上的最小值、最大值， $S$ 是 $D$ 的面积

二重积分的计算方法

直角坐标系下的计算

直角坐标计算

$\iint_D f(x,y) \, dx\, dy = \int_a^b dx \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y) \, dy$

或

$\iint_D f(x,y) \, dx\, dy = \int_c^d dy \int_{x_1(y)}^{x_2(y)} f(x,y) \, dx$

极坐标系下的计算

极坐标计算

$\iint_D f(x,y) \, dx\, dy = \iint_{D'} f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta) \rho \, d\rho \, d\theta$

其中 $x = \rho\cos\theta$ ， $y = \rho\sin\theta$ ，雅可比行列式 $J = \rho$ 。

常用积分区域

矩形区域

矩形区域积分

$D: a \leq x \leq b, \quad c \leq y \leq d$

$\iint_D f(x,y) \, dx\, dy = \int_a^b \int_c^d f(x,y) \, dy \, dx$

X-型区域

X-型区域积分

$D: a \leq x \leq b, \quad y_1(x) \leq y \leq y_2(x)$

$\iint_D f(x,y) \, dx\, dy = \int_a^b \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y) \, dy \, dx$

Y-型区域

Y-型区域积分

$D: c \leq y \leq d, \quad x_1(y) \leq x \leq x_2(y)$

$\iint_D f(x,y) \, dx\, dy = \int_c^d \int_{x_1(y)}^{x_2(y)} f(x,y) \, dx \, dy$

应用示例

几何应用

二重积分在几何学中的应用：

计算平面图形的面积
计算曲面的面积
计算立体的体积

物理应用

二重积分在物理学中的应用：

计算质量（面密度）
计算质心坐标
计算转动惯量

练习题

练习 1

计算 $\iint_D (x + y) \, dx\, dy$ ，其中 $D$ 是由直线 $x=0$ ， $y=0$ ， $x+y=1$ 围成的区域。

参考答案 (3 个标签)

二重积分直角坐标三角形区域

解题思路：画出积分区域，确定积分限，然后计算。

详细步骤：

积分区域 $D$ 是直角三角形，顶点 $(0,0)$ ， $(1,0)$ ， $(0,1)$
按X-型区域积分： $\iint_D (x + y) \, dx\, dy = \int_0^1 dx \int_0^{1-x} (x + y) \, dy$
先对 $y$ 积分： $\int_0^{1-x} (x + y) \, dy = [x y + \frac{1}{2} y^2]_0^{1-x} = x(1-x) + \frac{1}{2}(1-x)^2$
再对 $x$ 积分： $\int_0^1 \left[ x(1-x) + \frac{1}{2}(1-x)^2 \right] dx = \int_0^1 \left( x - x^2 + \frac{1}{2} - x + \frac{1}{2} x^2 \right) dx$ $= \int_0^1 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2} x^2 \right) dx = [\frac{1}{2} x - \frac{1}{6} x^3]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3}$

答案： $\frac{1}{3}$

练习 2

计算 $\iint_D \sqrt{x^2 + y^2} \, dx\, dy$ ，其中 $D$ 是圆 $x^2 + y^2 \leq a^2$ 。

参考答案 (3 个标签)

二重积分极坐标圆域

解题思路：圆域积分适合用极坐标。

详细步骤：

极坐标变换： $x = \rho \cos\theta$ ， $y = \rho \sin\theta$ 雅可比行列式： $J = \rho$
积分区域： $0 \leq \rho \leq a$ ， $0 \leq \theta \leq 2\pi$
积分计算： $\iint_D \sqrt{x^2 + y^2} \, dx\, dy = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^a \rho \cdot \rho \, d\rho$ $= \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^a \rho^2 \, d\rho = 2\pi \cdot \frac{1}{3} a^3 = \frac{2}{3} \pi a^3$

答案： $\frac{2}{3} \pi a^3$

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\iint_D$	二重积分	double integral	二重积分运算符
$d\sigma$	面积元素	area element	二维面积微元
$dx\, dy$	直角坐标	Cartesian coordinates	直角坐标系面积元素

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
二重积分	double integral	/ˈdʌbl ˈɪntɪɡrəl/	二元函数的积分
积分区域	region of integration	/ˈriːdʒən əv ˌɪntɪˈɡreɪʃən/	积分的定义域
直角坐标	rectangular coordinates	/rɛkˈtæŋɡjələr koʊˈɔːrdɪneɪts/	笛卡尔坐标系
极坐标	polar coordinates	/ˈpoʊlər koʊˈɔːrdɪneɪts/	极坐标系

下一章节三重积分学习三重积分的概念、计算方法和几何意义。

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