通量与环流量

通量

通量的定义

通量

设 $\vec{F}(x,y,z)$ 是定义在空间区域上的向量场， $\Sigma$ 是一块有向曲面，则向量场 $\vec{F}$ 通过曲面 $\Sigma$ 的通量定义为：

$\Phi = \iint_\Sigma \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iint_\Sigma (P\cos\alpha + Q\cos\beta + R\cos\gamma) \, dS$

其中 $d\vec{S} = \vec{n} \, dS = (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma) dS$ 是有向面积元素， $\vec{n}$ 是曲面的单位法向量。

通量的物理意义

通量表示单位时间内向量场所代表的”物质”或”作用”通过曲面的量。

流速场的通量：单位时间内流过曲面的流体体积（流量）
电场的通量：通过曲面的电场线条数（电通量）
磁场的通量：通过曲面的磁感线条数（磁通量）
热流密度的通量：单位时间内通过曲面的热量

通量的正负表示流向：与法向量同向为正（流出），反向为负（流入）。

通量的计算

参数曲面：将曲面参数化，计算 $\vec{F} \cdot (\vec{r}_u \times \vec{r}_v) \, du\,dv$
显函数曲面： $z = z(x,y)$ ，用合一投影法 $\iint_{D_{xy}} (-Pz_x - Qz_y + R) \, dx\,dy$ （上侧）
闭曲面：用高斯公式转化为三重积分

环流量

环流量的定义

环流量

设 $\vec{F}(x,y,z)$ 是向量场， $L$ 是一条有向闭曲线，则向量场 $\vec{F}$ 沿闭曲线 $L$ 的环流量定义为：

$\Gamma = \oint_L \vec{F} \cdot d\vec{r} = \oint_L P \, dx + Q \, dy + R \, dz$

其中 $d\vec{r} = (dx, dy, dz)$ 是有向弧长元素。

环流量的物理意义

环流量表示向量场沿闭曲线的”旋转累积效应”。

流速场的环流量：流体沿闭曲线的环流强度（涡旋强度）
力场的环流量：力沿闭曲线做的功（保守力的环流量为零）
电场的环流量：沿闭曲线的电动势（法拉第电磁感应定律）
磁场的环流量：沿闭曲线的磁动势（安培环路定理）

环流量的正负表示旋转方向：与曲线正向一致为正，反向为负。

环流量的计算

参数曲线：将曲线参数化，计算 $\int_a^b \vec{F}(\vec{r}(t)) \cdot \vec{r}'(t) \, dt$
平面闭曲线：用格林公式转化为二重积分
空间闭曲线：用斯托克斯公式转化为曲面积分

三大公式的向量场统一视角

定理1

从向量场的角度，三大公式可以统一表述为：

高斯公式（散度定理）

$\oiint_\Sigma \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iiint_\Omega (\nabla \cdot \vec{F}) \, dv$ 闭曲面的通量 = 散度的体积分

斯托克斯公式（旋度定理）

$\oint_L \vec{F} \cdot d\vec{r} = \iint_\Sigma (\nabla \times \vec{F}) \cdot d\vec{S}$ 闭曲线的环流量 = 旋度的通量

格林公式（二维旋度定理）

$\oint_L P \, dx + Q \, dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx\,dy$ 平面闭曲线的环流量 = 二维旋度的面积分

格林公式是斯托克斯公式在平面上的特例（曲面取为 $xOy$ 平面上的区域）。

统一理解

三大公式都是”内部导数积分 = 边界函数积分”这一思想在不同维度的体现：

高斯公式：三维区域内部的散度积分 = 二维边界曲面上的通量
斯托克斯公式：二维曲面内部的旋度积分 = 一维边界曲线上的环流量
格林公式：二维区域内部的旋度积分 = 一维边界曲线上的环流量（平面特例）

它们都是广义斯托克斯定理 $\int_{\partial M} \omega = \int_M d\omega$ 的特例。

向量场的积分定理总结

定理	公式	联系的积分	核心算子	物理意义
牛顿-莱布尼茨	$\int_a^b f'(x)dx = f(b)-f(a)$	定积分 ↔ 端点值	导数	—
格林公式	$\oint_L Pdx+Qdy = \iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$	曲线积分 ↔ 二重积分	二维旋度	环流量 = 旋度通量
高斯公式	$\oiint_\Sigma \vec{F}\cdot d\vec{S} = \iiint_\Omega (\nabla\cdot\vec{F})dv$	曲面积分 ↔ 三重积分	散度	通量 = 散度体积分
斯托克斯公式	$\oint_L \vec{F}\cdot d\vec{r} = \iint_\Sigma (\nabla\times\vec{F})\cdot d\vec{S}$	曲线积分 ↔ 曲面积分	旋度	环流量 = 旋度通量

典型例题

例题1：计算通量

计算向量场 $\vec{F} = (x, y, z)$ 通过球面 $x^2+y^2+z^2 = a^2$ 外侧的通量。

参考答案

通量高斯公式球面散度

解题思路：闭曲面外侧，用高斯公式。散度为常数3。

详细步骤：

$\nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 3$
由高斯公式： $\Phi = \oiint_\Sigma \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iiint_\Omega 3 \, dv = 3 \times \frac{4}{3}\pi a^3 = 4\pi a^3$

答案： $4\pi a^3$

例题2：计算环流量

计算向量场 $\vec{F} = (-y, x, 0)$ 沿圆周 $x^2+y^2 = a^2, \, z=0$ （逆时针方向）的环流量。

参考答案

环流量格林公式圆周旋度

解题思路：平面闭曲线，用格林公式（或斯托克斯公式）。

详细步骤：

方法一：格林公式

$P = -y, \, Q = x$
$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - (-1) = 2$
$\Gamma = \oint_L -y \, dx + x \, dy = \iint_D 2 \, dx\,dy = 2 \times \pi a^2 = 2\pi a^2$

方法二：参数方程

$x = a\cos t, \, y = a\sin t, \, t: 0 \to 2\pi$
$dx = -a\sin t \, dt, \, dy = a\cos t \, dt$
$\Gamma = \int_0^{2\pi} [(-a\sin t)(-a\sin t) + (a\cos t)(a\cos t)] dt = \int_0^{2\pi} a^2(\sin^2 t+\cos^2 t) dt = a^2 \int_0^{2\pi} dt = 2\pi a^2$

答案： $2\pi a^2$

例题3：用斯托克斯公式计算空间曲线积分

计算 $\oint_L (y-z) \, dx + (z-x) \, dy + (x-y) \, dz$ ，其中 $L$ 是圆柱面 $x^2+y^2 = a^2$ 与平面 $x+y+z = 0$ 的交线，从 $x$ 轴正方向看去取逆时针方向。

参考答案

斯托克斯公式空间曲线积分环流量旋度

解题思路：空间闭曲线，用斯托克斯公式转化为曲面积分。旋度为常数向量。

详细步骤：

$P = y-z, \, Q = z-x, \, R = x-y$
旋度： $\nabla \times \vec{F} = (-1-1, -1-1, -1-1) = (-2, -2, -2)$
取 $\Sigma$ 为平面 $x+y+z=0$ 上以 $L$ 为边界的椭圆面。由右手定则，法向量指向 $x+y+z>0$ 一侧，即 $\vec{n} = \frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}}$ 。
$(\nabla \times \vec{F}) \cdot \vec{n} = \frac{(-2,-2,-2)\cdot(1,1,1)}{\sqrt{3}} = \frac{-6}{\sqrt{3}} = -2\sqrt{3}$
椭圆面积：椭圆在 $xOy$ 平面投影为圆 $x^2+y^2 \leq a^2$ ，面积 $\pi a^2$ 。平面法向量与 $z$ 轴夹角余弦 $\cos\gamma = \frac{1}{\sqrt{3}}$ 。椭圆面积 $= \frac{\pi a^2}{\cos\gamma} = \sqrt{3}\pi a^2$ 。
积分 $= (\nabla \times \vec{F}) \cdot \vec{n} \times \text{椭圆面积} = -2\sqrt{3} \times \sqrt{3}\pi a^2 = -6\pi a^2$

答案： $-6\pi a^2$

练习题

练习1

计算向量场 $\vec{F} = (x^2, y^2, z^2)$ 通过立方体 $0 \leq x,y,z \leq 1$ 表面外侧的通量。

参考答案

通量高斯公式立方体散度

解题思路：闭曲面外侧，用高斯公式。

详细步骤：

$\nabla \cdot \vec{F} = 2x + 2y + 2z$
$\Phi = \iiint_\Omega 2(x+y+z) dv = 2\int_0^1\int_0^1\int_0^1 (x+y+z) dxdydz$
由对称性， $\iiint x \, dv = \iiint y \, dv = \iiint z \, dv = \frac{1}{2}$
$\Phi = 2 \times 3 \times \frac{1}{2} = 3$

答案： $3$

练习2

计算向量场 $\vec{F} = (x^2-y, 4z, x^2)$ 沿闭曲线 $L$ 的环流量，其中 $L$ 是圆锥面 $z = \sqrt{x^2+y^2}$ 与平面 $z=2$ 的交线，从 $z$ 轴正方向看去取逆时针方向。

参考答案

斯托克斯公式环流量空间曲线旋度

解题思路：用斯托克斯公式，取 $z=2$ 平面上的圆面。

详细步骤：

$P = x^2-y, \, Q = 4z, \, R = x^2$
旋度： $\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} = 0-4 = -4$ ， $\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x} = 0-2x = -2x$ ， $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = 0-(-1) = 1$
$\nabla \times \vec{F} = (-4, -2x, 1)$
取 $\Sigma: z=2, \, x^2+y^2 \leq 4$ ，上侧，法向量 $\vec{n} = (0,0,1)$
$(\nabla \times \vec{F}) \cdot \vec{n} = 1$
$\Gamma = \iint_\Sigma 1 \, dS = \text{圆面积} = 4\pi$

答案： $4\pi$

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\Phi$	通量	flux	向量场通过曲面的量
$\Gamma$	环流量	circulation	向量场沿闭曲线的量
$d\vec{S}$	有向面积元素	directed surface element	$\vec{n} \, dS$
$d\vec{r}$	有向弧长元素	directed arc element	$(dx, dy, dz)$
$\vec{n}$	单位法向量	unit normal vector	曲面的单位法向量
$\nabla \cdot \vec{F}$	散度	divergence	向量场的散度
$\nabla \times \vec{F}$	旋度	curl	向量场的旋度

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
通量	flux	/flʌks/	向量场通过曲面的量
电通量	electric flux	/ɪˈlɛktrɪk flʌks/	电场通过曲面的通量
磁通量	magnetic flux	/mæɡˈnɛtɪk flʌks/	磁场通过曲面的通量
流量	flow rate	/floʊ reɪt/	流速场的通量
环流量	circulation	/ˌsɜːrkjəˈleɪʃən/	向量场沿闭曲线的量
涡旋	vortex	/ˈvɔːrtɛks/	流速场中的旋转区域
散度定理	divergence theorem	/daɪˈvɜːrdʒəns ˈθɪərəm/	即高斯公式
旋度定理	curl theorem	/kɜːrl ˈθɪərəm/	即斯托克斯公式
广义斯托克斯定理	generalized Stokes theorem	/ˈdʒɛnrəlaɪzd stoʊks ˈθɪərəm/	微分形式的外微分积分定理
外微分	exterior derivative	/ɪkˈstɪəriər dɪˈrɪvətɪv/	微分形式的微分运算
安培环路定理	Ampère’s circuital law	/æmˈpɛərz ˈsɜːrkjɪtəl lɔː/	磁场环流量与电流的关系
法拉第定律	Faraday’s law	/ˈfærədeɪz lɔː/	电场环流量与磁通量变化的关系

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通量与环流量

通量

通量的定义

通量的物理意义

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通量的计算

环流量

环流量的定义

环流量的物理意义

环流量的物理意义

环流量的计算

三大公式的向量场统一视角

高斯公式（散度定理）

斯托克斯公式（旋度定理）

格林公式（二维旋度定理）

统一理解

向量场的积分定理总结

典型例题

例题1：计算通量

例题2：计算环流量

例题3：用斯托克斯公式计算空间曲线积分

练习题

练习1

练习2

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