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多元函数积分学

二重积分的概念与性质

从定积分到二重积分

一元函数的定积分 ∫abf(x) dx\int_a^b f(x) \, dx 刻画的是”曲线 y=f(x)y=f(x) 下方的面积”。那么，当我们面对一个定义在平面区域上的二元函数 z=f(x,y)z=f(x,y) 时，“曲面下方的体积”该如何定义和计算？这就是二重积分要解决的核心问题。

二重积分的定义

二重积分

设 f(x,y)f(x, y) 是定义在有界闭区域 DD 上的有界函数。将区域 DD 任意分成 nn 个小区域 Δσ1,Δσ2,…,Δσn\Delta \sigma_1, \Delta \sigma_2, \ldots, \Delta \sigma_n，其中 Δσi\Delta \sigma_i 表示第 ii 个小区域及其面积。在每个小区域 Δσi\Delta \sigma_i 上任取一点 (ξi,ηi)(\xi_i, \eta_i)，作乘积 f(ξi,ηi)Δσif(\xi_i, \eta_i) \Delta \sigma_i，并作和：

∑i=1nf(ξi,ηi)Δσi\sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i) \Delta \sigma_i

如果当各小区域直径的最大值 λ→0\lambda \to 0 时，这个和的极限存在，且与区域的分法及点 (ξi,ηi)(\xi_i, \eta_i) 的取法无关，则称此极限为函数 f(x,y)f(x, y) 在区域 DD 上的二重积分，记作：

∬Df(x,y) dσ或∬Df(x,y) dx dy\iint_D f(x, y) \, d\sigma \quad \text{或} \quad \iint_D f(x, y) \, dx\, dy

其中 f(x,y)f(x,y) 称为被积函数，DD 称为积分区域，dσd\sigma 称为面积元素。

可积性

若 f(x,y)f(x,y) 在有界闭区域 DD 上连续，则 f(x,y)f(x,y) 在 DD 上可积。更一般地，若 f(x,y)f(x,y) 在 DD 上有界且仅有有限个间断点，则 f(x,y)f(x,y) 在 DD 上可积。

几何意义

当 f(x,y)≥0f(x, y) \geq 0 时，二重积分 ∬Df(x,y) dx dy\iint_D f(x, y) \, dx\, dy 表示以区域 DD 为底、以曲面 z=f(x,y)z = f(x, y) 为顶的曲顶柱体的体积。

  • 若 f(x,y)=1f(x,y) = 1，则 ∬D1 dσ=SD\iint_D 1 \, d\sigma = S_D，即区域 DD 的面积
  • 若 f(x,y)f(x,y) 在 DD 上有正有负，则二重积分表示各部分体积的代数和（xOyxOy 面上方为正，下方为负）
曲顶柱体体积

V=∬Df(x,y) dx dy(f(x,y)≥0)V = \iint_D f(x,y) \, dx\, dy \quad (f(x,y) \geq 0)

二重积分的性质

定理1

二重积分具有以下基本性质：

  1. 线性性质： ∬D[af(x,y)+bg(x,y)] dσ=a∬Df dσ+b∬Dg dσ\iint_D [af(x,y) + bg(x,y)] \, d\sigma = a\iint_D f \, d\sigma + b\iint_D g \, d\sigma

  2. 区域可加性：若 D=D1∪D2D = D_1 \cup D_2 且 D1∩D2=∅D_1 \cap D_2 = \emptyset（除边界外），则 ∬Df dσ=∬D1f dσ+∬D2f dσ\iint_D f \, d\sigma = \iint_{D_1} f \, d\sigma + \iint_{D_2} f \, d\sigma

  3. 比较性质：若在 DD 上 f(x,y)≤g(x,y)f(x,y) \leq g(x,y)，则 ∬Df dσ≤∬Dg dσ\iint_D f \, d\sigma \leq \iint_D g \, d\sigma 特别地，∣∬Df dσ∣≤∬D∣f∣ dσ\left|\iint_D f \, d\sigma\right| \leq \iint_D |f| \, d\sigma

  4. 估值性质：设 m,Mm, M 分别是 f(x,y)f(x,y) 在 DD 上的最小值和最大值，SS 是 DD 的面积，则 mS≤∬Df dσ≤MSmS \leq \iint_D f \, d\sigma \leq MS

  5. 积分中值定理：若 f(x,y)f(x,y) 在闭区域 DD 上连续，SS 是 DD 的面积，则至少存在一点 (ξ,η)∈D(\xi, \eta) \in D，使得 ∬Df(x,y) dσ=f(ξ,η)⋅S\iint_D f(x,y) \, d\sigma = f(\xi, \eta) \cdot S

典型例题

例题1：利用几何意义求积分

不用计算，判断 ∬x2+y2≤11−x2−y2 dσ\iint_{x^2+y^2 \leq 1} \sqrt{1-x^2-y^2} \, d\sigma 的值。

参考答案
二重积分几何意义球体体积

解题思路： 被积函数 z=1−x2−y2z = \sqrt{1-x^2-y^2} 表示上半球面（半径为1），积分区域是单位圆。因此二重积分表示上半球体的体积。

详细步骤：

  1. 被积函数 z=1−x2−y2≥0z = \sqrt{1-x^2-y^2} \geq 0，满足几何意义条件
  2. z2=1−x2−y2z^2 = 1 - x^2 - y^2，即 x2+y2+z2=1x^2 + y^2 + z^2 = 1（z≥0z \geq 0），这是半径为1的上半球
  3. 球体体积公式 V球=43πR3=43πV_{\text{球}} = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi
  4. 上半球体积为 12×43π=23π\frac{1}{2} \times \frac{4}{3}\pi = \frac{2}{3}\pi

答案：23π\frac{2}{3}\pi

例题2：利用估值性质估计积分值

估计 ∬D(x2+y2+1) dσ\iint_D (x^2 + y^2 + 1) \, d\sigma 的值，其中 D:0≤x≤1,0≤y≤1D: 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1。

参考答案
二重积分估值性质矩形区域

解题思路： 先求被积函数在区域上的最大值和最小值，再利用估值性质。

详细步骤：

  1. 在 DD 上，0≤x≤10 \leq x \leq 1，0≤y≤10 \leq y \leq 1
  2. 因此 0≤x2+y2≤20 \leq x^2 + y^2 \leq 2，从而 1≤x2+y2+1≤31 \leq x^2 + y^2 + 1 \leq 3
  3. 区域 DD 的面积 S=1×1=1S = 1 \times 1 = 1
  4. 由估值性质：1×1≤∬D(x2+y2+1) dσ≤3×11 \times 1 \leq \iint_D (x^2+y^2+1) \, d\sigma \leq 3 \times 1

答案：1≤∬D(x2+y2+1) dσ≤31 \leq \iint_D (x^2+y^2+1) \, d\sigma \leq 3

（实际上精确值为 53\frac{5}{3}，在估计范围内。）

练习题

练习1

利用几何意义，求 ∬x2+y2≤43 dσ\iint_{x^2+y^2 \leq 4} 3 \, d\sigma。

参考答案
二重积分几何意义面积

解题思路： 被积函数为常数3，二重积分等于 3×3 \times 区域面积。

详细步骤：

  1. 积分区域 x2+y2≤4x^2 + y^2 \leq 4 是半径为2的圆
  2. 圆的面积 S=πr2=4πS = \pi r^2 = 4\pi
  3. ∬D3 dσ=3×S=3×4π=12π\iint_D 3 \, d\sigma = 3 \times S = 3 \times 4\pi = 12\pi

答案：12π12\pi

练习2

比较 ∬D(x+y)2 dσ\iint_D (x+y)^2 \, d\sigma 与 ∬D(x+y)3 dσ\iint_D (x+y)^3 \, d\sigma 的大小，其中 DD 由 xx 轴、yy 轴及 x+y=1x+y=1 围成。

参考答案
二重积分比较性质三角形区域

解题思路： 在积分区域上比较两个被积函数的大小，然后利用比较性质。

详细步骤：

  1. 在区域 DD 上，x≥0,y≥0,x+y≤1x \geq 0, y \geq 0, x+y \leq 1
  2. 因此 0≤x+y≤10 \leq x+y \leq 1
  3. 当 0≤t≤10 \leq t \leq 1 时，t2≥t3t^2 \geq t^3（因为 t2−t3=t2(1−t)≥0t^2 - t^3 = t^2(1-t) \geq 0）
  4. 所以在 DD 上，(x+y)2≥(x+y)3(x+y)^2 \geq (x+y)^3
  5. 由比较性质：∬D(x+y)2 dσ≥∬D(x+y)3 dσ\iint_D (x+y)^2 \, d\sigma \geq \iint_D (x+y)^3 \, d\sigma

答案：∬D(x+y)2 dσ≥∬D(x+y)3 dσ\iint_D (x+y)^2 \, d\sigma \geq \iint_D (x+y)^3 \, d\sigma

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
∬D\iint_D二重积分double integral over D在区域 D 上的二重积分运算符
dσd\sigma面积元素area element二维面积微元，不依赖坐标系
dx dydx\,dy直角坐标面积元素Cartesian area element直角坐标系下的面积元素
DD积分区域region of integration二重积分的定义域（平面闭区域）
λ\lambda分割细度mesh size各小区域直径的最大值
SS区域面积area平面区域 D 的面积

中英对照

中文术语英文术语音标说明
二重积分double integral/ˈdʌbl ˈɪntɪɡrəl/二元函数在平面区域上的积分
积分区域region of integration/ˈriːdʒən əv ˌɪntɪˈɡreɪʃən/积分的定义域
面积元素area element/ˈɛəriə ˈɛləmənt/平面面积的微元
曲顶柱体cylinder with curved top/ˈsɪləndər wɪð kɜːrvd tɒp/底面为平面区域、顶面为曲面的柱体
可积性integrability/ˌɪntɪɡrəˈbɪləti/函数积分存在的性质
积分中值定理mean value theorem for integrals/miːn ˈvæljuː ˈθɪərəm fɔːr ˈɪntɪɡrəlz/积分等于某点函数值乘以区域面积
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