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多元函数积分学

直角坐标下的二重积分计算

基本思想

二重积分的计算核心是将其转化为两次定积分（累次积分）。在直角坐标系下，面积元素 dσ=dx dyd\sigma = dx\,dy，我们需要根据积分区域的形状选择合适的积分次序。

X-型区域

X-型区域

如果积分区域 DD 可以表示为：

D:a≤x≤b,y1(x)≤y≤y2(x)D: \quad a \leq x \leq b, \quad y_1(x) \leq y \leq y_2(x)

其中 y1(x),y2(x)y_1(x), y_2(x) 在 [a,b][a,b] 上连续，则称 DD 为 X-型区域。其特点是：穿过区域内部且平行于 yy 轴的直线与区域边界的交点不超过两个。

X-型区域的二重积分

∬Df(x,y) dx dy=∫abdx∫y1(x)y2(x)f(x,y) dy\iint_D f(x,y) \, dx\, dy = \int_a^b dx \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y) \, dy

计算顺序：先对 yy 积分（将 xx 视为常数），再对 xx 积分。

确定X-型积分限的步骤

  1. 将区域 DD 投影到 xx 轴上，得到区间 [a,b][a, b]
  2. 在 [a,b][a, b] 上任取一点 xx，作平行于 yy 轴的直线
  3. 直线从下方边界 y=y1(x)y = y_1(x) 进入区域，从上方边界 y=y2(x)y = y_2(x) 穿出区域
  4. 积分限即为：x∈[a,b]x \in [a,b]，y∈[y1(x),y2(x)]y \in [y_1(x), y_2(x)]

Y-型区域

Y-型区域

如果积分区域 DD 可以表示为：

D:c≤y≤d,x1(y)≤x≤x2(y)D: \quad c \leq y \leq d, \quad x_1(y) \leq x \leq x_2(y)

其中 x1(y),x2(y)x_1(y), x_2(y) 在 [c,d][c,d] 上连续，则称 DD 为 Y-型区域。其特点是：穿过区域内部且平行于 xx 轴的直线与区域边界的交点不超过两个。

Y-型区域的二重积分

∬Df(x,y) dx dy=∫cddy∫x1(y)x2(y)f(x,y) dx\iint_D f(x,y) \, dx\, dy = \int_c^d dy \int_{x_1(y)}^{x_2(y)} f(x,y) \, dx

计算顺序：先对 xx 积分（将 yy 视为常数），再对 yy 积分。

矩形区域

矩形区域是最简单的情况，既是X-型也是Y-型：

矩形区域积分

D:a≤x≤b,c≤y≤dD: a \leq x \leq b, \quad c \leq y \leq d

∬Df(x,y) dx dy=∫ab∫cdf(x,y) dy dx=∫cd∫abf(x,y) dx dy\iint_D f(x,y) \, dx\, dy = \int_a^b \int_c^d f(x,y) \, dy \, dx = \int_c^d \int_a^b f(x,y) \, dx \, dy

特别地，若 f(x,y)=g(x)⋅h(y)f(x,y) = g(x) \cdot h(y)，则 ∬Dg(x)h(y) dx dy=(∫abg(x) dx)(∫cdh(y) dy)\iint_D g(x)h(y) \, dx\, dy = \left(\int_a^b g(x) \, dx\right) \left(\int_c^d h(y) \, dy\right)

积分次序的选择

同一个区域往往既可以表示为X-型也可以表示为Y-型，选择哪种次序取决于：

  1. 被积函数的形式：哪种次序更容易求出原函数
  2. 积分区域的形状：哪种次序不需要拆分区域
  3. 计算复杂度：哪种次序的积分限更简单

典型例题

例题1：X-型区域计算

计算 ∬D(x+y) dx dy\iint_D (x + y) \, dx\, dy，其中 DD 由 y=x2y = x^2 和 y=xy = x 围成。

参考答案
二重积分直角坐标X型区域抛物线

解题思路： 先确定积分区域，选择X-型区域，先对 yy 积分再对 xx 积分。

详细步骤：

  1. 求交点：x2=x⇒x=0x^2 = x \Rightarrow x = 0 或 x=1x = 1，交点为 (0,0)(0,0) 和 (1,1)(1,1)
  2. 在 [0,1][0,1] 上，x2≤xx^2 \leq x（抛物线在直线下方）
  3. X-型表示：D:0≤x≤1, x2≤y≤xD: 0 \leq x \leq 1, \, x^2 \leq y \leq x
  4. 计算： ∬D(x+y) dx dy=∫01dx∫x2x(x+y) dy\iint_D (x+y) \, dx\, dy = \int_0^1 dx \int_{x^2}^x (x+y) \, dy
  5. 先对 yy 积分： ∫x2x(x+y) dy=[xy+12y2]x2x=(x2+12x2)−(x3+12x4)=32x2−x3−12x4\int_{x^2}^x (x+y) \, dy = \left[xy + \frac{1}{2}y^2\right]_{x^2}^x = \left(x^2 + \frac{1}{2}x^2\right) - \left(x^3 + \frac{1}{2}x^4\right) = \frac{3}{2}x^2 - x^3 - \frac{1}{2}x^4
  6. 再对 xx 积分： ∫01(32x2−x3−12x4)dx=[12x3−14x4−110x5]01=12−14−110=320\int_0^1 \left(\frac{3}{2}x^2 - x^3 - \frac{1}{2}x^4\right) dx = \left[\frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{10}x^5\right]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{10} = \frac{3}{20}

答案：320\frac{3}{20}

例题2：矩形区域与分离变量

计算 ∬Dx2y dx dy\iint_D x^2 y \, dx\, dy，其中 D:0≤x≤1, 0≤y≤2D: 0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq 2。

参考答案
二重积分直角坐标矩形区域分离变量

解题思路： 被积函数可分离变量，区域为矩形，直接拆成两个定积分的乘积。

详细步骤：

  1. f(x,y)=x2⋅yf(x,y) = x^2 \cdot y，可分离变量
  2. ∬Dx2y dx dy=(∫01x2 dx)(∫02y dy)\iint_D x^2 y \, dx\, dy = \left(\int_0^1 x^2 \, dx\right) \left(\int_0^2 y \, dy\right)
  3. ∫01x2 dx=[13x3]01=13\int_0^1 x^2 \, dx = \left[\frac{1}{3}x^3\right]_0^1 = \frac{1}{3}
  4. ∫02y dy=[12y2]02=2\int_0^2 y \, dy = \left[\frac{1}{2}y^2\right]_0^2 = 2
  5. 乘积：13×2=23\frac{1}{3} \times 2 = \frac{2}{3}

答案：23\frac{2}{3}

例题3：需要选择积分次序

计算 ∬Dsin⁡xx dx dy\iint_D \frac{\sin x}{x} \, dx\, dy，其中 DD 由 y=xy = x，y=0y = 0，x=πx = \pi 围成。

参考答案
二重积分积分次序不可积函数三角形区域

解题思路： sin⁡xx\frac{\sin x}{x} 的原函数不是初等函数，不能先对 xx 积分，必须选择先对 yy 积分。

详细步骤：

  1. 积分区域：0≤x≤π, 0≤y≤x0 \leq x \leq \pi, \, 0 \leq y \leq x（X-型）
  2. 选择先对 yy 积分： ∬Dsin⁡xx dx dy=∫0πdx∫0xsin⁡xx dy\iint_D \frac{\sin x}{x} \, dx\, dy = \int_0^\pi dx \int_0^x \frac{\sin x}{x} \, dy
  3. 先对 yy 积分（sin⁡xx\frac{\sin x}{x} 与 yy 无关）： ∫0xsin⁡xx dy=sin⁡xx⋅[y]0x=sin⁡xx⋅x=sin⁡x\int_0^x \frac{\sin x}{x} \, dy = \frac{\sin x}{x} \cdot [y]_0^x = \frac{\sin x}{x} \cdot x = \sin x
  4. 再对 xx 积分： ∫0πsin⁡x dx=[−cos⁡x]0π=−cos⁡π+cos⁡0=1+1=2\int_0^\pi \sin x \, dx = [-\cos x]_0^\pi = -\cos\pi + \cos 0 = 1 + 1 = 2

答案：22

练习题

练习1

计算 ∬Dxy dx dy\iint_D xy \, dx\, dy，其中 DD 由 y=1y = 1，x=2x = 2，y=xy = x 围成。

参考答案
二重积分直角坐标三角形区域

解题思路： 确定区域范围，选择X-型或Y-型计算。

详细步骤：

  1. 交点：(1,1)(1,1)，(2,1)(2,1)，(2,2)(2,2)
  2. X-型：1≤x≤2, 1≤y≤x1 \leq x \leq 2, \, 1 \leq y \leq x
  3. ∬Dxy dx dy=∫12dx∫1xxy dy=∫12x⋅[12y2]1xdx=∫12x(x22−12)dx\iint_D xy \, dx\, dy = \int_1^2 dx \int_1^x xy \, dy = \int_1^2 x \cdot \left[\frac{1}{2}y^2\right]_1^x dx = \int_1^2 x\left(\frac{x^2}{2} - \frac{1}{2}\right) dx
  4. =12∫12(x3−x)dx=12[x44−x22]12=12[(4−2)−(14−12)]=12(2+14)=98= \frac{1}{2}\int_1^2 (x^3 - x) dx = \frac{1}{2}\left[\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}\right]_1^2 = \frac{1}{2}\left[(4-2) - \left(\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right)\right] = \frac{1}{2}\left(2 + \frac{1}{4}\right) = \frac{9}{8}

答案：98\frac{9}{8}

练习2

计算 ∬Dex+y dx dy\iint_D e^{x+y} \, dx\, dy，其中 D:0≤x≤1, 0≤y≤1D: 0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq 1。

参考答案
二重积分矩形区域分离变量指数函数

解题思路： 矩形区域 + 可分离变量，直接拆分。

详细步骤：

  1. ex+y=ex⋅eye^{x+y} = e^x \cdot e^y
  2. ∬Dex+y dx dy=(∫01exdx)(∫01eydy)=(e−1)2\iint_D e^{x+y} \, dx\, dy = \left(\int_0^1 e^x dx\right)\left(\int_0^1 e^y dy\right) = (e-1)^2

答案：(e−1)2(e-1)^2

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
dx dydx\,dy面积元素Cartesian area element直角坐标系下的面积元素
y1(x),y2(x)y_1(x), y_2(x)边界函数boundary functionsX-型区域的下、上边界
x1(y),x2(y)x_1(y), x_2(y)边界函数boundary functionsY-型区域的左、右边界

中英对照

中文术语英文术语音标说明
累次积分iterated integral/ˈɪtəreɪtɪd ˈɪntɪɡrəl/依次进行的多次定积分
X-型区域type I region/taɪp wʌn ˈriːdʒən/先对 y 后对 x 积分的区域
Y-型区域type II region/taɪp tuː ˈriːdʒən/先对 x 后对 y 积分的区域
积分限limits of integration/ˈlɪmɪts əv ˌɪntɪˈɡreɪʃən/积分的上下界
分离变量separation of variables/ˌsɛpəˈreɪʃən əv ˈvɛriəbəlz/被积函数可写成 g(x)h(y) 的形式
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二重积分的概念与性质
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