向量场的概念

从标量场到向量场

如果空间区域内每一点都对应一个数量，就形成了标量场（如温度场、密度场、电势场）。如果空间区域内每一点都对应一个向量，就形成了向量场（如流速场、力场、电场、磁场）。向量场是描述自然界中”分布性向量”的数学工具。

向量场的定义

向量场的分类

• 平面向量场：定义在二维平面上的向量场，如平面流速场
• 空间向量场：定义在三维空间中的向量场，如空间流速场、引力场
• 定常向量场：向量场不随时间变化，$\vec{F} = \vec{F}(x,y,z)$
• 非定常向量场：向量场随时间变化，$\vec{F} = \vec{F}(x,y,z,t)$

本课程只讨论定常向量场。

场线（向量线）

场线的微分方程

设场线的参数方程为 $\vec{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))$，则切向量为 $(\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt})$，它与向量场 $(P,Q,R)$ 平行，因此场线满足微分方程：

$\frac{dx}{P} = \frac{dy}{Q} = \frac{dz}{R}$

平面向量场的场线满足：

$\frac{dx}{P} = \frac{dy}{Q}$

常见向量场举例

1. 流速场

流体在空间中流动时，每一点处都有一个流速向量，形成流速场。例如：

• 河水的流动
• 空气的流动（风场）
• 管道内流体的流动

2. 引力场

质量为 $M$ 的质点在空间中产生的引力场：

$\vec{F} = -\frac{GMm}{r^2}\vec{e}_r = -\frac{GMm}{r^3}\vec{r}$

其中 $\vec{r} = (x,y,z)$ 是从质点指向场点的位置向量，$r = |\vec{r}|$，$\vec{e}_r = \frac{\vec{r}}{r}$ 是径向单位向量。负号表示引力指向质点（吸引力）。

3. 静电场

点电荷 $q$ 产生的静电场：

$\vec{E} = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{e}_r = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^3}\vec{r}$

正电荷的电场线从电荷出发向外辐射，负电荷的电场线向内汇聚。

4. 磁场

无限长直导线通有电流 $I$ 时产生的磁场（柱坐标下）：

$\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{2\pi\rho}\vec{e}_\theta$

磁场线是围绕导线的同心圆。

5. 刚体旋转速度场

刚体以角速度 $\vec{\omega}$ 绕原点旋转时，速度场为：

$\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$

例如绕 $z$ 轴以角速度 $\omega$ 旋转时，$\vec{v} = (-\omega y, \omega x, 0)$，场线是同心圆。

典型例题

例题1：求场线方程

求向量场 $\vec{F} = (-y, x)$ 的场线方程。

例题2：引力场的场线

分析引力场 $\vec{F} = -\frac{k}{r^3}\vec{r}$ 的场线特征。

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练习题

练习1

求向量场 $\vec{F} = (x, y)$ 的场线方程。

练习2

求向量场 $\vec{F} = (y, -x)$ 的场线方程，并指出场线方向。

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总结

本文出现的符号

中英对照