第二类曲线积分（对坐标的积分）
物理背景：变力做功 第一类曲线积分的物理背景是”曲线质量”，而第二类曲线积分的物理背景是变力沿曲线做功 。设质点在变力 F ⃗ ( x , y , z ) = P ( x , y , z ) i ⃗ + Q ( x , y , z ) j ⃗ + R ( x , y , z ) k ⃗ \vec{F}(x,y,z) = P(x,y,z)\vec{i} + Q(x,y,z)\vec{j} + R(x,y,z)\vec{k} F ( x , y , z ) = P ( x , y , z ) i + Q ( x , y , z ) j + R ( x , y , z ) k L L L
W = ∫ L P d x + Q d y + R d z W = \int_L P \, dx + Q \, dy + R \, dz W = ∫ L P d x + Q d y + R d z
第二类曲线积分的定义 定义
定义是对概念、术语或对象含义的精确描述。理解定义是学习任何知识领域的基础，每个概念都有其明确的定义。
设 L L L P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R ( x , y , z ) L L L L L L n n n M i − 1 M i → \overrightarrow{M_{i-1}M_i} M i − 1 M i x , y , z x, y, z x , y , z Δ x i , Δ y i , Δ z i \Delta x_i, \Delta y_i, \Delta z_i Δ x i , Δ y i , Δ z i ( ξ i , η i , ζ i ) (\xi_i, \eta_i, \zeta_i) ( ξ i , η i , ζ i )
∑ i = 1 n [ P ( ξ i , η i , ζ i ) Δ x i + Q ( ξ i , η i , ζ i ) Δ y i + R ( ξ i , η i , ζ i ) Δ z i ] \sum_{i=1}^n \left[ P(\xi_i,\eta_i,\zeta_i) \Delta x_i + Q(\xi_i,\eta_i,\zeta_i) \Delta y_i + R(\xi_i,\eta_i,\zeta_i) \Delta z_i \right] ∑ i = 1 n [ P ( ξ i , η i , ζ i ) Δ x i + Q ( ξ i , η i , ζ i ) Δ y i + R ( ξ i , η i , ζ i ) Δ z i ]
如果当各小弧段长度的最大值 λ → 0 \lambda \to 0 λ → 0 ( P , Q , R ) (P,Q,R) ( P , Q , R ) L L L 第二类曲线积分 （对坐标的曲线积分），记作：
∫ L P ( x , y , z ) d x + Q ( x , y , z ) d y + R ( x , y , z ) d z \int_L P(x,y,z) \, dx + Q(x,y,z) \, dy + R(x,y,z) \, dz ∫ L P ( x , y , z ) d x + Q ( x , y , z ) d y + R ( x , y , z ) d z
或简写为 ∫ L F ⃗ ⋅ d r ⃗ \int_L \vec{F} \cdot d\vec{r} ∫ L F ⋅ d r d r ⃗ = ( d x , d y , d z ) d\vec{r} = (dx, dy, dz) d r = ( d x , d y , d z )
平面情形
平面上的第二类曲线积分只有两个分量：
∫ L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y \int_L P(x,y) \, dx + Q(x,y) \, dy ∫ L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y
第二类曲线积分的性质 数学定理
定理是数学中经过严格证明的命题，是数学推理的基础。定理通常包含条件和结论，是数学知识体系的重要组成部分。
定理 1
线性性质 ：
∫ L ( a P 1 + b P 2 ) d x + ( a Q 1 + b Q 2 ) d y = a ∫ L P 1 d x + Q 1 d y + b ∫ L P 2 d x + Q 2 d y \int_L (aP_1+bP_2) dx + (aQ_1+bQ_2) dy = a\int_L P_1dx+Q_1dy + b\int_L P_2dx+Q_2dy ∫ L ( a P 1 + b P 2 ) d x + ( a Q 1 + b Q 2 ) d y = a ∫ L P 1 d x + Q 1 d y + b ∫ L P 2 d x + Q 2 d y
弧段可加性 ：若 L = L 1 + L 2 L = L_1 + L_2 L = L 1 + L 2 ∫ L P d x + Q d y = ∫ L 1 P d x + Q d y + ∫ L 2 P d x + Q d y \int_L Pdx+Qdy = \int_{L_1} Pdx+Qdy + \int_{L_2} Pdx+Qdy ∫ L P d x + Q d y = ∫ L 1 P d x + Q d y + ∫ L 2 P d x + Q d y
方向性 ：第二类曲线积分与曲线的方向有关！
∫ L − P d x + Q d y + R d z = − ∫ L P d x + Q d y + R d z \int_{L^-} P \, dx + Q \, dy + R \, dz = -\int_L P \, dx + Q \, dy + R \, dz ∫ L − P d x + Q d y + R d z = − ∫ L P d x + Q d y + R d z L − L^- L − L L L
“方向性”是第二类曲线积分与第一类曲线积分最本质的区别。第一类曲线积分 ∫ L f d s \int_L f \, ds ∫ L f d s ∫ L P d x + Q d y \int_L Pdx+Qdy ∫ L P d x + Q d y d s > 0 ds > 0 d s > 0 d x , d y dx, dy d x , d y
第二类曲线积分的计算 参数方程
第二类曲线积分化为定积分时，下限 α \alpha α β \beta β 不要求下限小于上限 ！这与第一类曲线积分不同。
平面曲线（直角坐标）
若有向曲线 L L L y = y ( x ) y = y(x) y = y ( x ) x x x a a a b b b
∫ L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = ∫ a b [ P ( x , y ( x ) ) + Q ( x , y ( x ) ) y ′ ( x ) ] d x \int_L P(x,y) \, dx + Q(x,y) \, dy = \int_a^b \left[ P(x, y(x)) + Q(x, y(x))y'(x) \right] dx ∫ L P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y = ∫ a b [ P ( x , y ( x )) + Q ( x , y ( x )) y ′ ( x ) ] d x
两类曲线积分的关系 数学定理
定理是数学中经过严格证明的命题，是数学推理的基础。定理通常包含条件和结论，是数学知识体系的重要组成部分。
定理 2
设 L L L cos α , cos β , cos γ \cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma cos α , cos β , cos γ L L L ( x , y , z ) (x,y,z) ( x , y , z ) 切向量 的方向余弦（切向量方向与曲线方向一致），则两类曲线积分之间有如下关系：
∫ L P d x + Q d y + R d z = ∫ L ( P cos α + Q cos β + R cos γ ) d s \int_L P \, dx + Q \, dy + R \, dz = \int_L (P\cos\alpha + Q\cos\beta + R\cos\gamma) \, ds ∫ L P d x + Q d y + R d z = ∫ L ( P cos α + Q cos β + R cos γ ) d s
即：
∫ L F ⃗ ⋅ d r ⃗ = ∫ L ( F ⃗ ⋅ τ ⃗ ) d s \int_L \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_L (\vec{F} \cdot \vec{\tau}) \, ds ∫ L F ⋅ d r = ∫ L ( F ⋅ τ ) d s
其中 τ ⃗ = ( cos α , cos β , cos γ ) \vec{\tau} = (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma) τ = ( cos α , cos β , cos γ )
这个关系的本质是：有向弧长元素 d r ⃗ = ( d x , d y , d z ) d\vec{r} = (dx, dy, dz) d r = ( d x , d y , d z ) d r ⃗ = τ ⃗ d s d\vec{r} = \vec{\tau} \, ds d r = τ d s F ⃗ ⋅ d r ⃗ = ( F ⃗ ⋅ τ ⃗ ) d s \vec{F} \cdot d\vec{r} = (\vec{F} \cdot \vec{\tau}) \, ds F ⋅ d r = ( F ⋅ τ ) d s
典型例题 例题1：变力做功
计算 ∫ L x d y − y d x \int_L x \, dy - y \, dx ∫ L x d y − y d x L L L x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 a 2 x 2 + b 2 y 2 = 1
参考答案
第二类曲线积分 椭圆 参数方程 逆时针
解题思路 ：
椭圆用参数方程表示，逆时针方向对应参数从0到2 π 2\pi 2 π
详细步骤 ：
参数方程：x = a cos t , y = b sin t , t : 0 → 2 π x = a\cos t, \, y = b\sin t, \, t: 0 \to 2\pi x = a cos t , y = b sin t , t : 0 → 2 π
d x = − a sin t d t , d y = b cos t d t dx = -a\sin t \, dt, \, dy = b\cos t \, dt d x = − a sin t d t , d y = b cos t d t ∫ L x d y − y d x = ∫ 0 2 π [ a cos t ⋅ b cos t − b sin t ⋅ ( − a sin t ) ] d t = ∫ 0 2 π a b ( cos 2 t + sin 2 t ) d t = a b ∫ 0 2 π d t = 2 π a b \int_L x \, dy - y \, dx = \int_0^{2\pi} [a\cos t \cdot b\cos t - b\sin t \cdot (-a\sin t)] dt = \int_0^{2\pi} ab(\cos^2 t + \sin^2 t) dt = ab \int_0^{2\pi} dt = 2\pi ab ∫ L x d y − y d x = ∫ 0 2 π [ a cos t ⋅ b cos t − b sin t ⋅ ( − a sin t )] d t = ∫ 0 2 π ab ( cos 2 t + sin 2 t ) d t = ab ∫ 0 2 π d t = 2 π ab 答案 ：2 π a b 2\pi ab 2 π ab
（这正好是椭圆面积的2倍，与格林公式一致。）
例题2：沿不同路径的积分
计算 ∫ L ( x + y ) d x + ( x − y ) d y \int_L (x+y) \, dx + (x-y) \, dy ∫ L ( x + y ) d x + ( x − y ) d y L L L y = x 2 y = x^2 y = x 2 ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) y = x y = x y = x ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 )
参考答案
第二类曲线积分 不同路径 直角坐标
解题思路 ：
分别沿两条路径计算，比较结果。
详细步骤 ：
(1) 沿抛物线 y = x 2 y = x^2 y = x 2 x : 0 → 1 x: 0 \to 1 x : 0 → 1 d y = 2 x d x dy = 2x \, dx d y = 2 x d x ∫ L ( x + y ) d x + ( x − y ) d y = ∫ 0 1 [ ( x + x 2 ) + ( x − x 2 ) ⋅ 2 x ] d x = ∫ 0 1 ( x + x 2 + 2 x 2 − 2 x 3 ) d x = ∫ 0 1 ( x + 3 x 2 − 2 x 3 ) d x = [ x 2 2 + x 3 − x 4 2 ] 0 1 = 1 2 + 1 − 1 2 = 1 \int_L (x+y)dx + (x-y)dy = \int_0^1 [(x+x^2) + (x-x^2)\cdot 2x] dx = \int_0^1 (x+x^2+2x^2-2x^3) dx = \int_0^1 (x+3x^2-2x^3) dx = [\frac{x^2}{2}+x^3-\frac{x^4}{2}]_0^1 = \frac{1}{2}+1-\frac{1}{2} = 1 ∫ L ( x + y ) d x + ( x − y ) d y = ∫ 0 1 [( x + x 2 ) + ( x − x 2 ) ⋅ 2 x ] d x = ∫ 0 1 ( x + x 2 + 2 x 2 − 2 x 3 ) d x = ∫ 0 1 ( x + 3 x 2 − 2 x 3 ) d x = [ 2 x 2 + x 3 − 2 x 4 ] 0 1 = 2 1 + 1 − 2 1 = 1
(2) 沿直线 y = x y = x y = x x : 0 → 1 x: 0 \to 1 x : 0 → 1 d y = d x dy = dx d y = d x ∫ L ( x + y ) d x + ( x − y ) d y = ∫ 0 1 [ ( x + x ) + ( x − x ) ] d x = ∫ 0 1 2 x d x = [ x 2 ] 0 1 = 1 \int_L (x+y)dx + (x-y)dy = \int_0^1 [(x+x) + (x-x)] dx = \int_0^1 2x \, dx = [x^2]_0^1 = 1 ∫ L ( x + y ) d x + ( x − y ) d y = ∫ 0 1 [( x + x ) + ( x − x )] d x = ∫ 0 1 2 x d x = [ x 2 ] 0 1 = 1
答案 ：两条路径的积分结果都是1（这是因为被积表达式是全微分，积分与路径无关，详见格林公式一章）。
例题3：空间曲线积分
计算 ∫ L y d x + z d y + x d z \int_L y \, dx + z \, dy + x \, dz ∫ L y d x + z d y + x d z L L L x = a cos t , y = a sin t , z = b t x = a\cos t, \, y = a\sin t, \, z = bt x = a cos t , y = a sin t , z = b t t = 0 t=0 t = 0 t = 2 π t=2\pi t = 2 π
参考答案
第二类曲线积分 螺旋线 空间曲线
解题思路 ：
空间曲线参数方程，直接代入公式。
详细步骤 ：
d x = − a sin t d t , d y = a cos t d t , d z = b d t dx = -a\sin t \, dt, \, dy = a\cos t \, dt, \, dz = b \, dt d x = − a sin t d t , d y = a cos t d t , d z = b d t ∫ L y d x + z d y + x d z = ∫ 0 2 π [ a sin t ⋅ ( − a sin t ) + b t ⋅ a cos t + a cos t ⋅ b ] d t \int_L y \, dx + z \, dy + x \, dz = \int_0^{2\pi} [a\sin t \cdot (-a\sin t) + bt \cdot a\cos t + a\cos t \cdot b] dt ∫ L y d x + z d y + x d z = ∫ 0 2 π [ a sin t ⋅ ( − a sin t ) + b t ⋅ a cos t + a cos t ⋅ b ] d t = ∫ 0 2 π ( − a 2 sin 2 t + a b t cos t + a b cos t ) d t = \int_0^{2\pi} (-a^2\sin^2 t + abt\cos t + ab\cos t) dt = ∫ 0 2 π ( − a 2 sin 2 t + ab t cos t + ab cos t ) d t 分别计算：
∫ 0 2 π − a 2 sin 2 t d t = − a 2 ⋅ π = − π a 2 \int_0^{2\pi} -a^2\sin^2 t \, dt = -a^2 \cdot \pi = -\pi a^2 ∫ 0 2 π − a 2 sin 2 t d t = − a 2 ⋅ π = − π a 2 ∫ 0 2 π a b cos t d t = a b [ sin t ] 0 2 π = 0 \int_0^{2\pi} ab\cos t \, dt = ab[\sin t]_0^{2\pi} = 0 ∫ 0 2 π ab cos t d t = ab [ sin t ] 0 2 π = 0 ∫ 0 2 π a b t cos t d t = a b [ t sin t + cos t ] 0 2 π = a b ( 1 − 1 ) = 0 \int_0^{2\pi} abt\cos t \, dt = ab[t\sin t + \cos t]_0^{2\pi} = ab(1 - 1) = 0 ∫ 0 2 π ab t cos t d t = ab [ t sin t + cos t ] 0 2 π = ab ( 1 − 1 ) = 0
结果：− π a 2 -\pi a^2 − π a 2
答案 ：− π a 2 -\pi a^2 − π a 2
练习题 练习1
计算 ∫ L ( x 2 − y 2 ) d x \int_L (x^2 - y^2) \, dx ∫ L ( x 2 − y 2 ) d x L L L y = x 2 y = x^2 y = x 2 ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) ( 2 , 4 ) (2,4) ( 2 , 4 )
参考答案
第二类曲线积分 抛物线 直角坐标
解题思路 ：
以 x x x y = x 2 y = x^2 y = x 2 d y = 2 x d x dy = 2x \, dx d y = 2 x d x d x dx d x
详细步骤 ：
y = x 2 , x : 0 → 2 y = x^2, \, x: 0 \to 2 y = x 2 , x : 0 → 2 ∫ L ( x 2 − y 2 ) d x = ∫ 0 2 ( x 2 − x 4 ) d x = [ x 3 3 − x 5 5 ] 0 2 = 8 3 − 32 5 = 40 − 96 15 = − 56 15 \int_L (x^2 - y^2) dx = \int_0^2 (x^2 - x^4) dx = [\frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5}]_0^2 = \frac{8}{3} - \frac{32}{5} = \frac{40-96}{15} = -\frac{56}{15} ∫ L ( x 2 − y 2 ) d x = ∫ 0 2 ( x 2 − x 4 ) d x = [ 3 x 3 − 5 x 5 ] 0 2 = 3 8 − 5 32 = 15 40 − 96 = − 15 56 答案 ：− 56 15 -\frac{56}{15} − 15 56
练习2
计算 ∫ L F ⃗ ⋅ d r ⃗ \int_L \vec{F} \cdot d\vec{r} ∫ L F ⋅ d r F ⃗ = ( y , − x ) \vec{F} = (y, -x) F = ( y , − x ) L L L x 2 + y 2 = 1 x^2+y^2=1 x 2 + y 2 = 1
参考答案
第二类曲线积分 圆周 顺时针 向量场
解题思路 ：
顺时针方向，参数从 2 π 2\pi 2 π 0 0 0 0 0 0 − 2 π -2\pi − 2 π
详细步骤 ：
参数方程：x = cos t , y = sin t x = \cos t, \, y = \sin t x = cos t , y = sin t t : 2 π → 0 t: 2\pi \to 0 t : 2 π → 0
d x = − sin t d t , d y = cos t d t dx = -\sin t \, dt, \, dy = \cos t \, dt d x = − sin t d t , d y = cos t d t ∫ L y d x − x d y = ∫ 2 π 0 [ sin t ⋅ ( − sin t ) − cos t ⋅ cos t ] d t = ∫ 2 π 0 − ( sin 2 t + cos 2 t ) d t = ∫ 2 π 0 − 1 d t = 2 π \int_L y \, dx - x \, dy = \int_{2\pi}^0 [\sin t \cdot (-\sin t) - \cos t \cdot \cos t] dt = \int_{2\pi}^0 -(\sin^2 t+\cos^2 t) dt = \int_{2\pi}^0 -1 \, dt = 2\pi ∫ L y d x − x d y = ∫ 2 π 0 [ sin t ⋅ ( − sin t ) − cos t ⋅ cos t ] d t = ∫ 2 π 0 − ( sin 2 t + cos 2 t ) d t = ∫ 2 π 0 − 1 d t = 2 π 答案 ：2 π 2\pi 2 π
（逆时针时结果为 − 2 π -2\pi − 2 π
总结 本文出现的符号
符号 类型 读音/说明 在本文中的含义 ∫ L P d x + Q d y + R d z \int_L Pdx+Qdy+Rdz ∫ L P d x + Q d y + R d z 第二类曲线积分 line integral of second kind 对坐标的曲线积分 d r ⃗ d\vec{r} d r 有向弧长元素 directed arc element ( d x , d y , d z ) (dx, dy, dz) ( d x , d y , d z ) F ⃗ \vec{F} F 向量场 vector field ( P , Q , R ) (P, Q, R) ( P , Q , R ) L − L^- L − 反向曲线 reverse curve 与 L 方向相反的曲线 cos α , cos β , cos γ \cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma cos α , cos β , cos γ 方向余弦 direction cosines 切向量的方向余弦 τ ⃗ \vec{\tau} τ 单位切向量 unit tangent vector 曲线方向的单位切向量
中英对照
中文术语 英文术语 音标 说明 第二类曲线积分 line integral of the second kind /laɪn ˈɪntɪɡrəl əv ðə ˈsɛkənd kaɪnd/ 对坐标的曲线积分 对坐标的积分 integral with respect to coordinates /ˈɪntɪɡrəl wɪð rɪˈspɛkt tuː koʊˈɔːrdɪnəts/ 即第二类曲线积分 有向曲线 directed curve /dɪˈrɛktɪd kɜːrv/ 规定了方向的曲线 变力做功 work done by variable force /wɜːrk dʌn baɪ ˈvɛriəbəl fɔːrs/ 变力沿曲线所做的功 切向量 tangent vector /ˈtændʒənt ˈvɛktər/ 曲线切线方向的向量 方向余弦 direction cosines /dɪˈrɛkʃən ˈkoʊsaɪnz/ 向量与坐标轴夹角的余弦 全微分 total differential /ˈtoʊtl ˌdɪfəˈrɛnʃəl/ P d x + Q d y Pdx+Qdy P d x + Q d y 与路径无关 path independent /pæθ ˌɪndɪˈpɛndənt/ 积分值只依赖端点，不依赖路径
