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三重积分的概念与性质

从二重积分到三重积分

二重积分处理的是定义在平面区域上的二元函数，那么定义在空间区域上的三元函数该如何积分？这就是三重积分要解决的问题。从物理角度看，如果说二重积分可以计算平面薄片的质量，那么三重积分就可以计算空间立体的质量。

三重积分的定义

三重积分

设 f(x,y,z)f(x, y, z) 是定义在空间有界闭区域 Ω\Omega 上的有界函数。将区域 Ω\Omega 任意分成 nn 个小区域 Δv1,Δv2,…,Δvn\Delta v_1, \Delta v_2, \ldots, \Delta v_n，其中 Δvi\Delta v_i 表示第 ii 个小区域及其体积。在每个小区域 Δvi\Delta v_i 上任取一点 (ξi,ηi,ζi)(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)，作乘积 f(ξi,ηi,ζi)Δvif(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta v_i，并作和：

∑i=1nf(ξi,ηi,ζi)Δvi\sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta v_i

如果当各小区域直径的最大值 λ→0\lambda \to 0 时，这个和的极限存在，且与区域的分法及点的取法无关，则称此极限为函数 f(x,y,z)f(x, y, z) 在区域 Ω\Omega 上的三重积分，记作：

∭Ωf(x,y,z) dv或∭Ωf(x,y,z) dx dy dz\iiint_\Omega f(x, y, z) \, dv \quad \text{或} \quad \iiint_\Omega f(x, y, z) \, dx\, dy\, dz

其中 f(x,y,z)f(x,y,z) 称为被积函数，Ω\Omega 称为积分区域，dvdv 称为体积元素。

可积性

若 f(x,y,z)f(x,y,z) 在空间有界闭区域 Ω\Omega 上连续，则 f(x,y,z)f(x,y,z) 在 Ω\Omega 上可积。

物理意义

当 f(x,y,z)≥0f(x, y, z) \geq 0 时，三重积分 ∭Ωf(x,y,z) dv\iiint_\Omega f(x, y, z) \, dv 表示以 f(x,y,z)f(x,y,z) 为体密度的空间物体的质量。

空间物体的质量

M=∭Ωρ(x,y,z) dvM = \iiint_\Omega \rho(x,y,z) \, dv

其中 ρ(x,y,z)\rho(x,y,z) 是物体在点 (x,y,z)(x,y,z) 处的体密度。

特别地，当 f(x,y,z)=1f(x,y,z) = 1 时：

∭Ω1 dv=V\iiint_\Omega 1 \, dv = V

即三重积分的值等于积分区域 Ω\Omega 的体积。

三重积分的性质

三重积分的性质与二重积分类似：

定理1

  1. 线性性质： ∭Ω[af+bg] dv=a∭Ωf dv+b∭Ωg dv\iiint_\Omega [af + bg] \, dv = a\iiint_\Omega f \, dv + b\iiint_\Omega g \, dv

  2. 区域可加性：若 Ω=Ω1∪Ω2\Omega = \Omega_1 \cup \Omega_2 且 Ω1∩Ω2=∅\Omega_1 \cap \Omega_2 = \emptyset（除边界外），则 ∭Ωf dv=∭Ω1f dv+∭Ω2f dv\iiint_\Omega f \, dv = \iiint_{\Omega_1} f \, dv + \iiint_{\Omega_2} f \, dv

  3. 比较性质：若在 Ω\Omega 上 f≤gf \leq g，则 ∭Ωf dv≤∭Ωg dv\iiint_\Omega f \, dv \leq \iiint_\Omega g \, dv 特别地，∣∭Ωf dv∣≤∭Ω∣f∣ dv\left|\iiint_\Omega f \, dv\right| \leq \iiint_\Omega |f| \, dv

  4. 估值性质：设 m,Mm, M 分别是 ff 在 Ω\Omega 上的最小值和最大值，VV 是 Ω\Omega 的体积，则 mV≤∭Ωf dv≤MVmV \leq \iiint_\Omega f \, dv \leq MV

  5. 积分中值定理：若 f(x,y,z)f(x,y,z) 在闭区域 Ω\Omega 上连续，VV 是 Ω\Omega 的体积，则至少存在一点 (ξ,η,ζ)∈Ω(\xi, \eta, \zeta) \in \Omega，使得 ∭Ωf(x,y,z) dv=f(ξ,η,ζ)⋅V\iiint_\Omega f(x,y,z) \, dv = f(\xi, \eta, \zeta) \cdot V

几何解释
推论
证明
符号说明

典型例题

例题1：利用物理意义求积分

不用计算，判断 ∭Ω(x2+y2+z2) dv\iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2) \, dv 的值，其中 Ω:x2+y2+z2≤R2\Omega: x^2+y^2+z^2 \leq R^2。

参考答案(4 个标签)
三重积分物理意义球体球坐标

解题思路： 被积函数 x2+y2+z2=r2x^2+y^2+z^2 = r^2 是到原点距离的平方。利用球坐标计算。

详细步骤：

  1. 球坐标变换：x=rsin⁡ϕcos⁡θ, y=rsin⁡ϕsin⁡θ, z=rcos⁡ϕx = r\sin\phi\cos\theta, \, y = r\sin\phi\sin\theta, \, z = r\cos\phi
  2. 体积元素：dv=r2sin⁡ϕ dr dϕ dθdv = r^2\sin\phi \, dr \, d\phi \, d\theta
  3. 积分区域：0≤r≤R, 0≤ϕ≤π, 0≤θ≤2π0 \leq r \leq R, \, 0 \leq \phi \leq \pi, \, 0 \leq \theta \leq 2\pi
  4. 被积函数：x2+y2+z2=r2x^2+y^2+z^2 = r^2
  5. ∭Ω(x2+y2+z2)dv=∫02πdθ∫0πdϕ∫0Rr2⋅r2sin⁡ϕ dr\iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2) dv = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\pi d\phi \int_0^R r^2 \cdot r^2\sin\phi \, dr =2π⋅2⋅R55=4πR55= 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{R^5}{5} = \frac{4\pi R^5}{5}

答案：4πR55\frac{4\pi R^5}{5}

例题2：利用对称性

计算 ∭Ω(x+y+z) dv\iiint_\Omega (x + y + z) \, dv，其中 Ω:x2+y2+z2≤1\Omega: x^2+y^2+z^2 \leq 1。

参考答案(4 个标签)
三重积分对称性奇函数球体

解题思路： 球体关于三个坐标面都对称。xx 关于 xx 是奇函数，yy 关于 yy 是奇函数，zz 关于 zz 是奇函数。

详细步骤：

  1. Ω\Omega 关于 yOzyOz 面对称，xx 关于 xx 是奇函数 ⇒∭Ωx dv=0\Rightarrow \iiint_\Omega x \, dv = 0
  2. Ω\Omega 关于 xOzxOz 面对称，yy 关于 yy 是奇函数 ⇒∭Ωy dv=0\Rightarrow \iiint_\Omega y \, dv = 0
  3. Ω\Omega 关于 xOyxOy 面对称，zz 关于 zz 是奇函数 ⇒∭Ωz dv=0\Rightarrow \iiint_\Omega z \, dv = 0
  4. 因此 ∭Ω(x+y+z)dv=0\iiint_\Omega (x+y+z) dv = 0

答案：00

练习题

练习1

求 ∭Ω2 dv\iiint_\Omega 2 \, dv，其中 Ω\Omega 是由 x2+y2+z2≤4x^2+y^2+z^2 \leq 4 确定的球体。

参考答案(3 个标签)
三重积分体积球体

解题思路： 被积函数为常数，积分值 = 常数 × 区域体积。

详细步骤：

  1. 球体体积 V=43πR3=43π⋅8=32π3V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 8 = \frac{32\pi}{3}
  2. ∭Ω2 dv=2V=64π3\iiint_\Omega 2 \, dv = 2V = \frac{64\pi}{3}

答案：64π3\frac{64\pi}{3}

练习2

估计积分 ∭Ω1x2+y2+z2+1 dv\iiint_\Omega \frac{1}{x^2+y^2+z^2+1} \, dv 的值，其中 Ω:x2+y2+z2≤4\Omega: x^2+y^2+z^2 \leq 4。

参考答案(3 个标签)
三重积分估值性质球体

解题思路： 先求被积函数在区域上的最大值和最小值，再用估值性质。

详细步骤：

  1. 在 Ω\Omega 上，0≤x2+y2+z2≤40 \leq x^2+y^2+z^2 \leq 4
  2. 因此 1≤x2+y2+z2+1≤51 \leq x^2+y^2+z^2+1 \leq 5，从而 15≤1x2+y2+z2+1≤1\frac{1}{5} \leq \frac{1}{x^2+y^2+z^2+1} \leq 1
  3. 球体体积 V=43π⋅8=32π3V = \frac{4}{3}\pi \cdot 8 = \frac{32\pi}{3}
  4. 由估值性质：15⋅32π3≤I≤1⋅32π3\frac{1}{5} \cdot \frac{32\pi}{3} \leq I \leq 1 \cdot \frac{32\pi}{3}
  5. 即 32π15≤I≤32π3\frac{32\pi}{15} \leq I \leq \frac{32\pi}{3}

答案：32π15≤∭Ω1x2+y2+z2+1dv≤32π3\frac{32\pi}{15} \leq \iiint_\Omega \frac{1}{x^2+y^2+z^2+1} dv \leq \frac{32\pi}{3}

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
∭Ω\iiint_\Omega三重积分triple integral over Ω在空间区域 Ω 上的三重积分运算符
dvdv体积元素volume element三维体积微元，不依赖坐标系
dx dy dzdx\,dy\,dz直角坐标体积元素Cartesian volume element直角坐标系下的体积元素
Ω\Omega积分区域integration domain三重积分的定义域（空间闭区域）
VV体积volume空间区域 Ω 的体积
ρ(x,y,z)\rho(x,y,z)体密度volume density空间物体在点(x,y,z)处的体密度

中英对照

中文术语英文术语音标说明
三重积分triple integral/ˈtrɪpl ˈɪntɪɡrəl/三元函数在空间区域上的积分
体积元素volume element/ˈvɒljuːm ˈɛləmənt/三维体积的微元
积分区域integration domain/ˌɪntɪˈɡreɪʃən doʊˈmeɪn/三重积分的定义域（空间区域）
体密度volume density/ˈvɒljuːm ˈdɛnsəti/单位体积的质量
可积性integrability/ˌɪntɪɡrəˈbɪləti/函数积分存在的性质
积分中值定理mean value theorem for integrals/miːn ˈvæljuː ˈθɪərəm fɔːr ˈɪntɪɡrəlz/积分等于某点函数值乘以区域体积
上一章节三重积分学习三重积分的概念、性质与计算方法，掌握直角坐标、柱坐标和球坐标下的积分计算。
下一章节直角坐标下的三重积分计算学习直角坐标系下三重积分的计算方法，掌握先一后二法和先二后一法。
多元函数积分学