第二类曲面积分（对坐标的积分）

物理背景：通量

第二类曲面积分的物理背景是通量。设向量场 $\vec{F}(x,y,z) = P\vec{i} + Q\vec{j} + R\vec{k}$ （如流速场、电场、磁场）， $\Sigma$ 是一块有向曲面，则向量场通过曲面 $\Sigma$ 的通量（单位时间内流过曲面的量）就是第二类曲面积分：

$\Phi = \iint_\Sigma P \, dy\,dz + Q \, dz\,dx + R \, dx\,dy = \iint_\Sigma \vec{F} \cdot d\vec{S}$

有向曲面

第二类曲面积分与曲面的”侧”（方向）有关，因此需要先引入有向曲面的概念。

有向曲面

取定了法向量方向的曲面称为有向曲面。对于曲面 $z = z(x,y)$ ，通常规定：

上侧：法向量指向 $z$ 轴正方向（ $\cos\gamma > 0$ ）
下侧：法向量指向 $z$ 轴负方向（ $\cos\gamma < 0$ ）

对于闭曲面，通常规定：

外侧：法向量指向曲面外部
内侧：法向量指向曲面内部

不是所有曲面都能取定侧！如莫比乌斯带（Möbius strip）是单侧曲面，无法区分两侧。我们只讨论双侧曲面（如球面、平面、锥面等）。

第二类曲面积分的定义

第二类曲面积分

设 $\Sigma$ 为有向光滑或分片光滑曲面，函数 $P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)$ 在 $\Sigma$ 上有界。将 $\Sigma$ 任意分成 $n$ 个小块 $\Delta S_i$ ，设 $\Delta S_i$ 在 $yOz$ 、 $zOx$ 、 $xOy$ 平面上的投影分别为 $(\Delta S_i)_{yz}$ 、 $(\Delta S_i)_{zx}$ 、 $(\Delta S_i)_{xy}$ （有向投影，可正可负），在每个小块上任取一点 $(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$ ，作和：

$\sum_{i=1}^n \left[ P(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S_i)_{yz} + Q(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S_i)_{zx} + R(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S_i)_{xy} \right]$

如果当各小块直径的最大值 $\lambda \to 0$ 时，这个和的极限存在，则称此极限为向量函数 $(P,Q,R)$ 在有向曲面 $\Sigma$ 上的第二类曲面积分（对坐标的曲面积分），记作：

$\iint_\Sigma P(x,y,z) \, dy\,dz + Q(x,y,z) \, dz\,dx + R(x,y,z) \, dx\,dy$

或简写为 $\iint_\Sigma \vec{F} \cdot d\vec{S}$ ，其中 $d\vec{S} = (dy\,dz, dz\,dx, dx\,dy)$ 。

第二类曲面积分的性质

线性性质： $\iint_\Sigma (a\vec{F}_1 + b\vec{F}_2) \cdot d\vec{S} = a\iint_\Sigma \vec{F}_1 \cdot d\vec{S} + b\iint_\Sigma \vec{F}_2 \cdot d\vec{S}$
曲面可加性：若 $\Sigma = \Sigma_1 + \Sigma_2$ ，则 $\iint_\Sigma \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iint_{\Sigma_1} \vec{F} \cdot d\vec{S} + \iint_{\Sigma_2} \vec{F} \cdot d\vec{S}$
方向性： $\iint_{\Sigma^-} \vec{F} \cdot d\vec{S} = -\iint_\Sigma \vec{F} \cdot d\vec{S}$ ，其中 $\Sigma^-$ 表示与 $\Sigma$ 取相反侧的同一块曲面。

第二类曲面积分的计算

显函数曲面 $z = z(x,y)$ （计算 $R \, dx\,dy$ ）

显函数曲面计算（dxdy项）

设有向曲面 $\Sigma$ 由 $z = z(x,y)$ 给出，取上侧（或下侧）， $D_{xy}$ 是 $\Sigma$ 在 $xOy$ 平面上的投影区域，则

$\iint_\Sigma R(x,y,z) \, dx\,dy = \pm \iint_{D_{xy}} R(x, y, z(x,y)) \, dx\,dy$

其中上侧取正号，下侧取负号。

计算 $R \, dx\,dy$ 时，必须将曲面投影到 $xOy$ 平面。如果曲面垂直于 $xOy$ 平面（如柱面 $x^2+y^2=R^2$ ），则投影面积为零，此时 $\iint_\Sigma R \, dx\,dy = 0$ 。

显函数曲面 $x = x(y,z)$ （计算 $P \, dy\,dz$ ）

$\iint_\Sigma P(x,y,z) \, dy\,dz = \pm \iint_{D_{yz}} P(x(y,z), y, z) \, dy\,dz$

其中前侧（ $x$ 轴正方向）取正号，后侧取负号。

显函数曲面 $y = y(x,z)$ （计算 $Q \, dz\,dx$ ）

$\iint_\Sigma Q(x,y,z) \, dz\,dx = \pm \iint_{D_{xz}} Q(x, y(x,z), z) \, dx\,dz$

其中右侧（ $y$ 轴正方向）取正号，左侧取负号。

统一计算公式（合一投影法）

合一投影法

设有向曲面 $\Sigma$ 由 $z = z(x,y)$ 给出，取上侧，则三个分量可以统一投影到 $xOy$ 平面：

$\iint_\Sigma P \, dy\,dz + Q \, dz\,dx + R \, dx\,dy = \iint_{D_{xy}} \left( -P\frac{\partial z}{\partial x} - Q\frac{\partial z}{\partial y} + R \right) dx\,dy$

若取下侧，则在整个式子前加负号。

这个公式的本质是利用了两类曲面积分的关系（见下文），将三个投影统一到一个平面上，避免分别投影。

两类曲面积分的关系

定理1

设 $\Sigma$ 为有向光滑曲面， $\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma$ 是 $\Sigma$ 在点 $(x,y,z)$ 处的法向量的方向余弦（法向量方向与曲面侧一致），则两类曲面积分之间有如下关系：

$\iint_\Sigma P \, dy\,dz + Q \, dz\,dx + R \, dx\,dy = \iint_\Sigma (P\cos\alpha + Q\cos\beta + R\cos\gamma) \, dS$

即： $\iint_\Sigma \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iint_\Sigma (\vec{F} \cdot \vec{n}) \, dS$

其中 $\vec{n} = (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)$ 是单位法向量。

几何解释

推论

证明

符号说明

这个关系的本质是：有向面积元素 $d\vec{S} = (dy\,dz, dz\,dx, dx\,dy)$ 可以表示为单位法向量乘以面积元素，即 $d\vec{S} = \vec{n} \, dS$ 。因此 $\vec{F} \cdot d\vec{S} = (\vec{F} \cdot \vec{n}) \, dS$ 。

典型例题

例题1：计算通量

计算 $\iint_\Sigma x \, dy\,dz + y \, dz\,dx + z \, dx\,dy$ ，其中 $\Sigma$ 是平面 $x+y+z=1$ 在第一卦限部分的上侧。

参考答案(4 个标签)

第二类曲面积分平面通量合一投影法

解题思路：用合一投影法，将三个分量统一投影到 $xOy$ 平面。

详细步骤：

曲面 $z = 1-x-y$ ，取上侧， $z_x = -1, \, z_y = -1$
投影区域 $D_{xy}: x \geq 0, y \geq 0, x+y \leq 1$
合一投影公式： $\iint_\Sigma x \, dy\,dz + y \, dz\,dx + z \, dx\,dy = \iint_{D_{xy}} [-x(-1) - y(-1) + (1-x-y)] dx\,dy = \iint_{D_{xy}} (x + y + 1 - x - y) dx\,dy = \iint_{D_{xy}} 1 \, dx\,dy = \frac{1}{2}$

答案： $\frac{1}{2}$

例题2：闭曲面的通量

计算 $\oiint_\Sigma x^3 \, dy\,dz + y^3 \, dz\,dx + z^3 \, dx\,dy$ ，其中 $\Sigma$ 是球面 $x^2+y^2+z^2 = a^2$ 的外侧。

参考答案(4 个标签)

第二类曲面积分球面外侧高斯公式

解题思路：闭曲面的第二类曲面积分，用高斯公式转化为三重积分（高斯公式详见下一章）。

详细步骤：

由高斯公式： $\oiint_\Sigma x^3 dy\,dz + y^3 dz\,dx + z^3 dx\,dy = \iiint_\Omega (3x^2+3y^2+3z^2) dv = 3\iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2) dv$
球坐标： $= 3\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\pi \sin\phi \, d\phi \int_0^a r^2 \cdot r^2 dr = 3 \cdot 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{a^5}{5} = \frac{12\pi a^5}{5}$

答案： $\frac{12\pi a^5}{5}$

例题3：柱面的第二类曲面积分

计算 $\iint_\Sigma z \, dx\,dy$ ，其中 $\Sigma$ 是柱面 $x^2+y^2 = a^2$ 介于 $z=0$ 和 $z=h$ 之间部分的外侧。

参考答案(4 个标签)

第二类曲面积分柱面投影为零外侧

解题思路：柱面垂直于 $xOy$ 平面，在 $xOy$ 平面上的投影为一条曲线（面积为零），因此 $dx\,dy$ 项的积分为零。

详细步骤：

柱面 $x^2+y^2=a^2$ 的母线平行于 $z$ 轴，垂直于 $xOy$ 平面
柱面在 $xOy$ 平面上的投影是圆周 $x^2+y^2=a^2$ ，面积为零
因此 $\iint_\Sigma z \, dx\,dy = 0$

答案： $0$

（注意：如果是计算 $x \, dy\,dz$ 或 $y \, dz\,dx$ ，则不为零，需要分别投影到 $yOz$ 或 $zOx$ 平面。）

练习题

练习1

计算 $\iint_\Sigma (x+y+z) \, dx\,dy$ ，其中 $\Sigma$ 是球面 $x^2+y^2+z^2 = a^2$ 在 $z \geq 0$ 部分的上侧。

参考答案(4 个标签)

第二类曲面积分上半球上侧极坐标

解题思路：上半球面 $z = \sqrt{a^2-x^2-y^2}$ ，取上侧，投影到 $xOy$ 平面为圆 $x^2+y^2 \leq a^2$ 。

详细步骤：

$z = \sqrt{a^2-x^2-y^2}$ ，上侧取正号
$\iint_\Sigma (x+y+z) dx\,dy = \iint_{D_{xy}} (x+y+\sqrt{a^2-x^2-y^2}) dx\,dy$
由对称性， $\iint_{D_{xy}} x \, dx\,dy = 0$ ， $\iint_{D_{xy}} y \, dx\,dy = 0$
$= \iint_{D_{xy}} \sqrt{a^2-x^2-y^2} \, dx\,dy = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^a \sqrt{a^2-\rho^2} \cdot \rho \, d\rho = 2\pi \cdot \left[-\frac{1}{3}(a^2-\rho^2)^{3/2}\right]_0^a = 2\pi \cdot \frac{a^3}{3} = \frac{2\pi a^3}{3}$

答案： $\frac{2\pi a^3}{3}$

练习2

计算 $\iint_\Sigma \vec{F} \cdot d\vec{S}$ ，其中 $\vec{F} = (0, 0, z)$ ， $\Sigma$ 是锥面 $z = \sqrt{x^2+y^2}$ 介于 $z=0$ 和 $z=1$ 之间部分的下侧。

参考答案(4 个标签)

第二类曲面积分锥面下侧极坐标

解题思路：锥面取下侧， $dx\,dy$ 项取负号。

详细步骤：

$z = \sqrt{x^2+y^2}$ ，下侧取负号
投影区域 $D: x^2+y^2 \leq 1$
$\iint_\Sigma z \, dx\,dy = -\iint_D \sqrt{x^2+y^2} \, dx\,dy = -\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 \rho \cdot \rho \, d\rho = -2\pi \cdot \frac{1}{3} = -\frac{2\pi}{3}$

答案： $-\frac{2\pi}{3}$

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\iint_\Sigma P dydz+Q dzdx+R dxdy$	第二类曲面积分	surface integral of second kind	对坐标的曲面积分
$d\vec{S}$	有向面积元素	directed surface element	$(dydz, dzdx, dxdy)$ ，有向面积微元
$\vec{F}$	向量场	vector field	$(P, Q, R)$ ，流速场/力场
$\Sigma^-$	反向曲面	reverse side surface	与 Σ 取相反侧的同一块曲面
$\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma$	法向量方向余弦	normal direction cosines	曲面法向量的方向余弦
$\vec{n}$	单位法向量	unit normal vector	曲面侧方向的单位法向量
$\Phi$	通量	flux	向量场通过曲面的量

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
第二类曲面积分	surface integral of the second kind	/ˈsɜːrfɪs ˈɪntɪɡrəl əv ðə ˈsɛkənd kaɪnd/	对坐标的曲面积分
对坐标的积分	integral with respect to coordinates	/ˈɪntɪɡrəl wɪð rɪˈspɛkt tuː koʊˈɔːrdɪnəts/	即第二类曲面积分
有向曲面	oriented surface	/ˈɔːriɛntɪd ˈsɜːrfɪs/	取定了法向量方向的曲面
曲面的侧	side of surface	/saɪd əv ˈsɜːrfɪs/	曲面的方向（上侧/下侧、内侧/外侧）
外侧	outward side	/ˈaʊtwərd saɪd/	闭曲面的外法向侧
通量	flux	/flʌks/	向量场通过曲面的量
法向量	normal vector	/ˈnɔːrməl ˈvɛktər/	垂直于曲面的向量
单侧曲面	one-sided surface	/wʌn ˈsaɪdɪd ˈsɜːrfɪs/	如莫比乌斯带，无法取侧
双侧曲面	two-sided surface	/tuː ˈsaɪdɪd ˈsɜːrfɪs/	可以区分两侧的曲面
合一投影法	unified projection method	/ˈjuːnɪfaɪd prəˈdʒɛkʃən ˈmɛθəd/	将三个分量统一投影到一个平面

上一章节第一类曲面积分（对面积的积分）学习第一类曲面积分（对面积的曲面积分）的定义、计算方法与典型例题。

下一章节高斯公式（散度定理）学习高斯公式（散度定理）的条件与应用，掌握闭曲面上第二类曲面积分与三重积分的转化。

第二类曲面积分（对坐标的积分）

物理背景：通量

有向曲面

第二类曲面积分的定义

第二类曲面积分的性质

第二类曲面积分的计算

显函数曲面 z=z(x,y)z = z(x,y)z=z(x,y)（计算 R dx dyR \, dx\,dyRdxdy）

显函数曲面 x=x(y,z)x = x(y,z)x=x(y,z)（计算 P dy dzP \, dy\,dzPdydz）

显函数曲面 y=y(x,z)y = y(x,z)y=y(x,z)（计算 Q dz dxQ \, dz\,dxQdzdx）

统一计算公式（合一投影法）

两类曲面积分的关系

典型例题

例题1：计算通量

例题2：闭曲面的通量

例题3：柱面的第二类曲面积分

练习题

练习1

练习2

总结

本文出现的符号

中英对照

显函数曲面 $z = z(x,y)$ （计算 $R \, dx\,dy$ ）

显函数曲面 $x = x(y,z)$ （计算 $P \, dy\,dz$ ）

显函数曲面 $y = y(x,z)$ （计算 $Q \, dz\,dx$ ）