二重积分的概念与性质

从定积分到二重积分

一元函数的定积分 $\int_a^b f(x) \, dx$ 刻画的是”曲线 $y=f(x)$ 下方的面积”。那么，当我们面对一个定义在平面区域上的二元函数 $z=f(x,y)$ 时，“曲面下方的体积”该如何定义和计算？这就是二重积分要解决的核心问题。

二重积分的定义

二重积分

设 $f(x, y)$ 是定义在有界闭区域 $D$ 上的有界函数。将区域 $D$ 任意分成 $n$ 个小区域 $\Delta \sigma_1, \Delta \sigma_2, \ldots, \Delta \sigma_n$ ，其中 $\Delta \sigma_i$ 表示第 $i$ 个小区域及其面积。在每个小区域 $\Delta \sigma_i$ 上任取一点 $(\xi_i, \eta_i)$ ，作乘积 $f(\xi_i, \eta_i) \Delta \sigma_i$ ，并作和：

$\sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i) \Delta \sigma_i$

如果当各小区域直径的最大值 $\lambda \to 0$ 时，这个和的极限存在，且与区域的分法及点 $(\xi_i, \eta_i)$ 的取法无关，则称此极限为函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上的二重积分，记作：

$\iint_D f(x, y) \, d\sigma \quad \text{或} \quad \iint_D f(x, y) \, dx\, dy$

其中 $f(x,y)$ 称为被积函数， $D$ 称为积分区域， $d\sigma$ 称为面积元素。

二重积分的定义与定积分类似，都是”分割、近似、求和、取极限”四步。区别仅在于：定积分分割的是区间，二重积分分割的是平面区域。

可积性

若 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，则 $f(x,y)$ 在 $D$ 上可积。更一般地，若 $f(x,y)$ 在 $D$ 上有界且仅有有限个间断点，则 $f(x,y)$ 在 $D$ 上可积。

几何意义

当 $f(x, y) \geq 0$ 时，二重积分 $\iint_D f(x, y) \, dx\, dy$ 表示以区域 $D$ 为底、以曲面 $z = f(x, y)$ 为顶的曲顶柱体的体积。

若 $f(x,y) = 1$ ，则 $\iint_D 1 \, d\sigma = S_D$ ，即区域 $D$ 的面积
若 $f(x,y)$ 在 $D$ 上有正有负，则二重积分表示各部分体积的代数和（ $xOy$ 面上方为正，下方为负）

曲顶柱体体积

$V = \iint_D f(x,y) \, dx\, dy \quad (f(x,y) \geq 0)$

二重积分的性质

定理1

二重积分具有以下基本性质：

线性性质： $\iint_D [af(x,y) + bg(x,y)] \, d\sigma = a\iint_D f \, d\sigma + b\iint_D g \, d\sigma$
区域可加性：若 $D = D_1 \cup D_2$ 且 $D_1 \cap D_2 = \emptyset$ （除边界外），则 $\iint_D f \, d\sigma = \iint_{D_1} f \, d\sigma + \iint_{D_2} f \, d\sigma$
比较性质：若在 $D$ 上 $f(x,y) \leq g(x,y)$ ，则 $\iint_D f \, d\sigma \leq \iint_D g \, d\sigma$ 特别地， $\left|\iint_D f \, d\sigma\right| \leq \iint_D |f| \, d\sigma$
估值性质：设 $m, M$ 分别是 $f(x,y)$ 在 $D$ 上的最小值和最大值， $S$ 是 $D$ 的面积，则 $mS \leq \iint_D f \, d\sigma \leq MS$
积分中值定理：若 $f(x,y)$ 在闭区域 $D$ 上连续， $S$ 是 $D$ 的面积，则至少存在一点 $(\xi, \eta) \in D$ ，使得 $\iint_D f(x,y) \, d\sigma = f(\xi, \eta) \cdot S$

几何解释

推论

证明

符号说明

积分中值定理中的 $(\xi, \eta)$ 是区域 $D$ 内的某一点， $f(\xi, \eta)$ 可以理解为函数 $f$ 在 $D$ 上的”平均值”。

典型例题

例题1：利用几何意义求积分

不用计算，判断 $\iint_{x^2+y^2 \leq 1} \sqrt{1-x^2-y^2} \, d\sigma$ 的值。

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二重积分几何意义球体体积

解题思路：被积函数 $z = \sqrt{1-x^2-y^2}$ 表示上半球面（半径为1），积分区域是单位圆。因此二重积分表示上半球体的体积。

详细步骤：

被积函数 $z = \sqrt{1-x^2-y^2} \geq 0$ ，满足几何意义条件
$z^2 = 1 - x^2 - y^2$ ，即 $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ （ $z \geq 0$ ），这是半径为1的上半球
球体体积公式 $V_{\text{球}} = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi$
上半球体积为 $\frac{1}{2} \times \frac{4}{3}\pi = \frac{2}{3}\pi$

答案： $\frac{2}{3}\pi$

例题2：利用估值性质估计积分值

估计 $\iint_D (x^2 + y^2 + 1) \, d\sigma$ 的值，其中 $D: 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1$ 。

参考答案(3 个标签)

二重积分估值性质矩形区域

解题思路：先求被积函数在区域上的最大值和最小值，再利用估值性质。

详细步骤：

在 $D$ 上， $0 \leq x \leq 1$ ， $0 \leq y \leq 1$
因此 $0 \leq x^2 + y^2 \leq 2$ ，从而 $1 \leq x^2 + y^2 + 1 \leq 3$
区域 $D$ 的面积 $S = 1 \times 1 = 1$
由估值性质： $1 \times 1 \leq \iint_D (x^2+y^2+1) \, d\sigma \leq 3 \times 1$

答案： $1 \leq \iint_D (x^2+y^2+1) \, d\sigma \leq 3$

（实际上精确值为 $\frac{5}{3}$ ，在估计范围内。）

练习题

练习1

利用几何意义，求 $\iint_{x^2+y^2 \leq 4} 3 \, d\sigma$ 。

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二重积分几何意义面积

解题思路：被积函数为常数3，二重积分等于 $3 \times$ 区域面积。

详细步骤：

积分区域 $x^2 + y^2 \leq 4$ 是半径为2的圆
圆的面积 $S = \pi r^2 = 4\pi$
$\iint_D 3 \, d\sigma = 3 \times S = 3 \times 4\pi = 12\pi$

答案： $12\pi$

练习2

比较 $\iint_D (x+y)^2 \, d\sigma$ 与 $\iint_D (x+y)^3 \, d\sigma$ 的大小，其中 $D$ 由 $x$ 轴、 $y$ 轴及 $x+y=1$ 围成。

参考答案(3 个标签)

二重积分比较性质三角形区域

解题思路：在积分区域上比较两个被积函数的大小，然后利用比较性质。

详细步骤：

在区域 $D$ 上， $x \geq 0, y \geq 0, x+y \leq 1$
因此 $0 \leq x+y \leq 1$
当 $0 \leq t \leq 1$ 时， $t^2 \geq t^3$ （因为 $t^2 - t^3 = t^2(1-t) \geq 0$ ）
所以在 $D$ 上， $(x+y)^2 \geq (x+y)^3$
由比较性质： $\iint_D (x+y)^2 \, d\sigma \geq \iint_D (x+y)^3 \, d\sigma$

答案： $\iint_D (x+y)^2 \, d\sigma \geq \iint_D (x+y)^3 \, d\sigma$

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$\iint_D$	二重积分	double integral over D	在区域 D 上的二重积分运算符
$d\sigma$	面积元素	area element	二维面积微元，不依赖坐标系
$dx\,dy$	直角坐标面积元素	Cartesian area element	直角坐标系下的面积元素
$D$	积分区域	region of integration	二重积分的定义域（平面闭区域）
$\lambda$	分割细度	mesh size	各小区域直径的最大值
$S$	区域面积	area	平面区域 D 的面积

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
二重积分	double integral	/ˈdʌbl ˈɪntɪɡrəl/	二元函数在平面区域上的积分
积分区域	region of integration	/ˈriːdʒən əv ˌɪntɪˈɡreɪʃən/	积分的定义域
面积元素	area element	/ˈɛəriə ˈɛləmənt/	平面面积的微元
曲顶柱体	cylinder with curved top	/ˈsɪləndər wɪð kɜːrvd tɒp/	底面为平面区域、顶面为曲面的柱体
可积性	integrability	/ˌɪntɪɡrəˈbɪləti/	函数积分存在的性质
积分中值定理	mean value theorem for integrals	/miːn ˈvæljuː ˈθɪərəm fɔːr ˈɪntɪɡrəlz/	积分等于某点函数值乘以区域面积

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