Logo

极坐标与柱坐标变换

统一视角

极坐标变换和柱坐标变换本质上是同一种变换在不同维度的体现：它们都是将”直角坐标”转换为”极径 + 极角 (+ 竖坐标)“的坐标系。极坐标用于二维，柱坐标用于三维（极坐标 + zz 轴）。

极坐标变换

变换公式与雅可比

极坐标变换

{x=ρcos⁡θy=ρsin⁡θ\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \end{cases}

雅可比行列式： J=∂(x,y)∂(ρ,θ)=∣cos⁡θ−ρsin⁡θsin⁡θρcos⁡θ∣=ρcos⁡2θ+ρsin⁡2θ=ρJ = \frac{\partial(x,y)}{\partial(\rho,\theta)} = \begin{vmatrix} \cos\theta & -\rho\sin\theta \\ \sin\theta & \rho\cos\theta \end{vmatrix} = \rho\cos^2\theta + \rho\sin^2\theta = \rho

面积元素：dσ=dx dy=∣J∣ dρ dθ=ρ dρ dθd\sigma = dx\,dy = |J| \, d\rho \, d\theta = \rho \, d\rho \, d\theta

换元公式： ∬Df(x,y) dx dy=∬D′f(ρcos⁡θ,ρsin⁡θ)⋅ρ dρ dθ\iint_D f(x,y) \, dx\,dy = \iint_{D'} f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta) \cdot \rho \, d\rho \, d\theta

适用场景

常见极坐标区域的积分限

区域直角坐标极坐标积分限
圆（原点为心）x2+y2≤R2x^2+y^2 \leq R^20≤ρ≤R, 0≤θ≤2π0 \leq \rho \leq R, \, 0 \leq \theta \leq 2\pi
环形R12≤x2+y2≤R22R_1^2 \leq x^2+y^2 \leq R_2^2R1≤ρ≤R2, 0≤θ≤2πR_1 \leq \rho \leq R_2, \, 0 \leq \theta \leq 2\pi
扇形x2+y2≤R2, α≤θ≤βx^2+y^2 \leq R^2, \, \alpha \leq \theta \leq \beta0≤ρ≤R, α≤θ≤β0 \leq \rho \leq R, \, \alpha \leq \theta \leq \beta
偏心圆（x轴上）x2+y2≤2axx^2+y^2 \leq 2ax0≤ρ≤2acos⁡θ, −π/2≤θ≤π/20 \leq \rho \leq 2a\cos\theta, \, -\pi/2 \leq \theta \leq \pi/2
偏心圆（y轴上）x2+y2≤2ayx^2+y^2 \leq 2ay0≤ρ≤2asin⁡θ, 0≤θ≤π0 \leq \rho \leq 2a\sin\theta, \, 0 \leq \theta \leq \pi
心形线ρ≤a(1+cos⁡θ)\rho \leq a(1+\cos\theta)0≤ρ≤a(1+cos⁡θ), 0≤θ≤2π0 \leq \rho \leq a(1+\cos\theta), \, 0 \leq \theta \leq 2\pi

柱坐标变换

变换公式与雅可比

柱坐标变换

{x=ρcos⁡θy=ρsin⁡θz=z\begin{cases} x = \rho \cos\theta \\ y = \rho \sin\theta \\ z = z \end{cases}

雅可比行列式： J=∂(x,y,z)∂(ρ,θ,z)=∣cos⁡θ−ρsin⁡θ0sin⁡θρcos⁡θ0001∣=ρJ = \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(\rho,\theta,z)} = \begin{vmatrix} \cos\theta & -\rho\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \rho\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \rho

体积元素：dv=dx dy dz=∣J∣ dρ dθ dz=ρ dρ dθ dzdv = dx\,dy\,dz = |J| \, d\rho \, d\theta \, dz = \rho \, d\rho \, d\theta \, dz

换元公式： ∭Ωf(x,y,z) dv=∭Ω′f(ρcos⁡θ,ρsin⁡θ,z)⋅ρ dρ dθ dz\iiint_\Omega f(x,y,z) \, dv = \iiint_{\Omega'} f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta, z) \cdot \rho \, d\rho \, d\theta \, dz

适用场景

柱坐标下积分限的确定

柱坐标下三重积分通常有两种积分顺序：

方法一：先对 zz 积分（先一后二） ∫θ1θ2dθ∫ρ1(θ)ρ2(θ)ρ dρ∫z1(ρ,θ)z2(ρ,θ)f(ρcos⁡θ,ρsin⁡θ,z) dz\int_{\theta_1}^{\theta_2} d\theta \int_{\rho_1(\theta)}^{\rho_2(\theta)} \rho \, d\rho \int_{z_1(\rho,\theta)}^{z_2(\rho,\theta)} f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta, z) \, dz

方法二：先对 ρ,θ\rho, \theta 积分（先二后一） ∫z1z2dz∬Dzf(ρcos⁡θ,ρsin⁡θ,z)ρ dρ dθ\int_{z_1}^{z_2} dz \iint_{D_z} f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta, z) \rho \, d\rho \, d\theta

其中 DzD_z 是垂直于 zz 轴的截面在极坐标下的表示。

极坐标与柱坐标的关系

柱坐标可以看作”极坐标 + zz 轴”的组合：

  • 在 xOyxOy 平面上使用极坐标 (ρ,θ)(\rho, \theta)
  • 在 zz 方向保持直角坐标 zz
  • 雅可比行列式就是极坐标的雅可比 ρ\rho（因为 zz 方向没有缩放）

这就是为什么柱坐标的体积元素是 ρ dρ dθ dz\rho \, d\rho \, d\theta \, dz——极坐标部分贡献 ρ dρ dθ\rho \, d\rho \, d\theta，zz 方向贡献 dzdz。

典型例题

例题1：极坐标计算圆域积分

计算 ∬De−(x2+y2) dx dy\iint_D e^{-(x^2+y^2)} \, dx\,dy，其中 D:x2+y2≤R2D: x^2+y^2 \leq R^2。

参考答案(4 个标签)
极坐标圆域高斯积分指数函数

解题思路： 圆域 + 被积函数含 x2+y2x^2+y^2，极坐标变换。

详细步骤：

  1. 极坐标：0≤ρ≤R, 0≤θ≤2π0 \leq \rho \leq R, \, 0 \leq \theta \leq 2\pi
  2. ∬De−(x2+y2)dx dy=∫02πdθ∫0Re−ρ2⋅ρ dρ=2π⋅[−12e−ρ2]0R=π(1−e−R2)\iint_D e^{-(x^2+y^2)} dx\,dy = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^R e^{-\rho^2} \cdot \rho \, d\rho = 2\pi \cdot \left[-\frac{1}{2}e^{-\rho^2}\right]_0^R = \pi(1 - e^{-R^2})

答案：π(1−e−R2)\pi(1 - e^{-R^2})

（当 R→∞R \to \infty 时，得到泊松积分 ∬R2e−(x2+y2)dx dy=π\iint_{\mathbb{R}^2} e^{-(x^2+y^2)} dx\,dy = \pi）

例题2：柱坐标计算旋转体积分

计算 ∭Ω(x2+y2) dv\iiint_\Omega (x^2+y^2) \, dv，其中 Ω\Omega 由 x2+y2=2zx^2+y^2 = 2z 和 z=2z = 2 围成。

参考答案(3 个标签)
柱坐标旋转抛物面三重积分

解题思路： 旋转抛物面区域，柱坐标变换。

详细步骤：

  1. 交线：x2+y2=4x^2+y^2 = 4，投影区域 D:x2+y2≤4D: x^2+y^2 \leq 4
  2. 柱坐标：0≤θ≤2π, 0≤ρ≤2, ρ22≤z≤20 \leq \theta \leq 2\pi, \, 0 \leq \rho \leq 2, \, \frac{\rho^2}{2} \leq z \leq 2
  3. ∭Ω(x2+y2)dv=∫02πdθ∫02ρ dρ∫ρ2/22ρ2 dz=2π∫02ρ3(2−ρ22)dρ=2π∫02(2ρ3−ρ52)dρ=2π[ρ42−ρ612]02=2π(8−163)=16π3\iiint_\Omega (x^2+y^2) dv = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^2 \rho \, d\rho \int_{\rho^2/2}^2 \rho^2 \, dz = 2\pi \int_0^2 \rho^3\left(2 - \frac{\rho^2}{2}\right) d\rho = 2\pi \int_0^2 (2\rho^3 - \frac{\rho^5}{2}) d\rho = 2\pi\left[\frac{\rho^4}{2} - \frac{\rho^6}{12}\right]_0^2 = 2\pi\left(8 - \frac{16}{3}\right) = \frac{16\pi}{3}

答案：16π3\frac{16\pi}{3}

例题3：极坐标下的偏心圆

计算 ∬Dx2+y2 dx dy\iint_D \sqrt{x^2+y^2} \, dx\,dy，其中 D:x2+y2≤2xD: x^2+y^2 \leq 2x。

参考答案(3 个标签)
极坐标偏心圆圆域

解题思路： 偏心圆 x2+y2≤2xx^2+y^2 \leq 2x，极坐标下 ρ≤2cos⁡θ\rho \leq 2\cos\theta。

详细步骤：

  1. 极坐标：ρ2≤2ρcos⁡θ⇒ρ≤2cos⁡θ\rho^2 \leq 2\rho\cos\theta \Rightarrow \rho \leq 2\cos\theta
  2. 由 ρ≥0\rho \geq 0 得 cos⁡θ≥0\cos\theta \geq 0，即 −π2≤θ≤π2-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}
  3. ∬Dx2+y2dx dy=∫−π/2π/2dθ∫02cos⁡θρ⋅ρ dρ=∫−π/2π/2[ρ33]02cos⁡θdθ=83∫−π/2π/2cos⁡3θ dθ=163∫0π/2cos⁡3θ dθ=163⋅23=329\iint_D \sqrt{x^2+y^2} dx\,dy = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta \int_0^{2\cos\theta} \rho \cdot \rho \, d\rho = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \left[\frac{\rho^3}{3}\right]_0^{2\cos\theta} d\theta = \frac{8}{3}\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^3\theta \, d\theta = \frac{16}{3}\int_0^{\pi/2} \cos^3\theta \, d\theta = \frac{16}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{32}{9}

答案：329\frac{32}{9}

练习题

练习1

计算 ∬Dln⁡(1+x2+y2) dx dy\iint_D \ln(1+x^2+y^2) \, dx\,dy，其中 D:x2+y2≤1D: x^2+y^2 \leq 1。

参考答案(4 个标签)
极坐标圆域对数函数分部积分

解题思路： 圆域上的积分，极坐标变换后分部积分。

详细步骤：

  1. 极坐标：0≤ρ≤1, 0≤θ≤2π0 \leq \rho \leq 1, \, 0 \leq \theta \leq 2\pi
  2. ∬Dln⁡(1+ρ2)⋅ρ dρ dθ=2π∫01ρln⁡(1+ρ2)dρ\iint_D \ln(1+\rho^2) \cdot \rho \, d\rho \, d\theta = 2\pi \int_0^1 \rho\ln(1+\rho^2) d\rho
  3. 令 t=1+ρ2t=1+\rho^2，dt=2ρdρdt=2\rho d\rho：=π∫12ln⁡t dt=π[tln⁡t−t]12=π(2ln⁡2−1)= \pi \int_1^2 \ln t \, dt = \pi[t\ln t - t]_1^2 = \pi(2\ln 2 - 1)

答案：π(2ln⁡2−1)\pi(2\ln 2 - 1)

练习2

计算 ∭Ωz dv\iiint_\Omega z \, dv，其中 Ω:x2+y2+z2≤4, z≥x2+y2\Omega: x^2+y^2+z^2 \leq 4, \, z \geq \sqrt{x^2+y^2}（球锥区域）。

参考答案(4 个标签)
柱坐标球锥区域圆锥面球面

解题思路： 球锥区域，可以用柱坐标（也可以用球坐标）。

详细步骤：

  1. 交线：z=x2+y2z = \sqrt{x^2+y^2} 代入 x2+y2+z2=4x^2+y^2+z^2=4 得 2(x2+y2)=42(x^2+y^2)=4，即 x2+y2=2x^2+y^2=2，z=2z=\sqrt{2}
  2. 柱坐标：0≤θ≤2π, 0≤ρ≤2, ρ≤z≤4−ρ20 \leq \theta \leq 2\pi, \, 0 \leq \rho \leq \sqrt{2}, \, \rho \leq z \leq \sqrt{4-\rho^2}
  3. ∭Ωz dv=∫02πdθ∫02ρ dρ∫ρ4−ρ2z dz=2π∫02ρ⋅12[(4−ρ2)−ρ2]dρ=π∫02ρ(4−2ρ2)dρ=π∫02(4ρ−2ρ3)dρ=π[2ρ2−ρ42]02=π(4−2)=2π\iiint_\Omega z \, dv = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\sqrt{2}} \rho \, d\rho \int_\rho^{\sqrt{4-\rho^2}} z \, dz = 2\pi \int_0^{\sqrt{2}} \rho \cdot \frac{1}{2}[(4-\rho^2) - \rho^2] d\rho = \pi \int_0^{\sqrt{2}} \rho(4-2\rho^2) d\rho = \pi \int_0^{\sqrt{2}} (4\rho - 2\rho^3) d\rho = \pi[2\rho^2 - \frac{\rho^4}{2}]_0^{\sqrt{2}} = \pi(4 - 2) = 2\pi

答案：2π2\pi

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
ρ\rho极径rho点到原点/z轴的距离
θ\theta极角theta与x轴正方向的夹角
zz竖坐标z coordinate柱坐标中的竖坐标，与直角坐标相同
ρ dρ dθ\rho \, d\rho \, d\theta极坐标面积元素polar area element极坐标系下的面积微元
ρ dρ dθ dz\rho \, d\rho \, d\theta \, dz柱坐标体积元素cylindrical volume element柱坐标系下的体积微元

中英对照

中文术语英文术语音标说明
极坐标变换polar coordinate transformation/ˈpoʊlər koʊˈɔːrdɪneɪt ˌtrænsfərˈmeɪʃən/直角坐标到极坐标的变换
柱坐标变换cylindrical coordinate transformation/sɪˈlɪndrɪkəl koʊˈɔːrdɪneɪt ˌtrænsfərˈmeɪʃən/直角坐标到柱坐标的变换
极径polar radius/ˈpoʊlər ˈreɪdiəs/点到原点的距离
极角polar angle/ˈpoʊlər ˈæŋɡəl/与x轴的夹角
圆域circular domain/ˈsɜːrkjələr doʊˈmeɪn/圆形积分区域
旋转体solid of revolution/ˈsɒlɪd əv ˌrɛvəˈluːʃən/由平面曲线绕轴旋转而成的立体
偏心圆eccentric circle/ɪkˈsɛntrɪk ˈsɜːrkəl/圆心不在原点的圆
心形线cardioid/ˈkɑːrdiɔɪd/极坐标曲线 ρ=a(1+cos⁡θ)\rho = a(1+\cos\theta)
上一章节变量替换的一般公式与雅可比行列式学习多元积分变量替换的一般公式，掌握雅可比行列式的定义、几何意义和计算方法。
下一章节球坐标变换与其他常用变换学习球坐标变换以及广义极坐标、双曲变换、线性变换等其他常用变量替换。
多元函数积分学