概率论中的应用

联合概率密度

二维连续型随机变量

联合概率密度

设 $(X, Y)$ 是二维连续型随机变量，如果存在非负可积函数 $f(x,y)$ ，使得对于任意平面区域 $D$ ，有

$P\{(X,Y) \in D\} = \iint_D f(x,y) \, dx\,dy$

则称 $f(x,y)$ 为 $(X,Y)$ 的联合概率密度函数（简称联合密度）。

联合密度满足：

非负性： $f(x,y) \geq 0$
归一性： $\iint_{\mathbb{R}^2} f(x,y) \, dx\,dy = 1$

概率的几何意义

$P\{(X,Y) \in D\}$ 等于以区域 $D$ 为底、以曲面 $z = f(x,y)$ 为顶的曲顶柱体的体积。

边缘概率密度

由联合密度 $f(x,y)$ 可以求出 $X$ 和 $Y$ 各自的概率密度（边缘密度）：

$f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dy$ $f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dx$

边缘密度是联合密度在另一变量上的积分——将二维分布”压缩”到一维。

条件概率密度

当 $f_Y(y) > 0$ 时，在 $Y = y$ 条件下 $X$ 的条件概率密度为：

$f_{X|Y}(x|y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}$

当 $f_X(x) > 0$ 时，在 $X = x$ 条件下 $Y$ 的条件概率密度为：

$f_{Y|X}(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_X(x)}$

独立性

定理1

随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立的充要条件是：

$f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)$

对几乎所有的 $(x,y)$ 成立。

几何解释

推论

证明

符号说明

数学期望

二维随机变量函数的期望

随机变量函数的数学期望

设 $Z = g(X,Y)$ 是二维随机变量的函数，则：

$E(Z) = E[g(X,Y)] = \iint_{\mathbb{R}^2} g(x,y) f(x,y) \, dx\,dy$

特别地：

$E(X) = \iint x f(x,y) \, dx\,dy = \int x f_X(x) \, dx$
$E(Y) = \iint y f(x,y) \, dx\,dy = \int y f_Y(y) \, dy$

协方差与相关系数

协方差： $\text{Cov}(X,Y) = E[(X-EX)(Y-EY)] = E(XY) - EX \cdot EY$ $= \iint (x-EX)(y-EY) f(x,y) \, dx\,dy$

相关系数： $\rho_{XY} = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$

若 $X, Y$ 独立，则 $\text{Cov}(X,Y) = 0$ （反之不成立）。

典型例题

例题1：联合密度的归一化与概率

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合密度为： $f(x,y) = \begin{cases} Axy, & 0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$ 求：(1) 常数 $A$ ；(2) $P\{X+Y \leq 1\}$ ；(3) 边缘密度 $f_X(x), f_Y(y)$ 。

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联合密度归一化边缘密度概率计算

解题思路：利用归一性求 $A$ ，用二重积分求概率，用单积分求边缘密度。

详细步骤：

(1) 归一性： $\int_0^1 \int_0^1 Axy \, dx\,dy = A \int_0^1 x \, dx \int_0^1 y \, dy = A \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{A}{4} = 1$ 所以 $A = 4$ 。

(2) $P\{X+Y \leq 1\}$ ：区域 $D: 0 \leq x \leq 1, \, 0 \leq y \leq 1-x$ $P = \int_0^1 dx \int_0^{1-x} 4xy \, dy = \int_0^1 4x \cdot \frac{(1-x)^2}{2} dx = 2\int_0^1 x(1-2x+x^2) dx = 2\int_0^1 (x-2x^2+x^3) dx = 2[\frac{x^2}{2} - \frac{2x^3}{3} + \frac{x^4}{4}]_0^1 = 2(\frac{1}{2} - \frac{2}{3} + \frac{1}{4}) = 2 \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{6}$

(3) 边缘密度： $f_X(x) = \int_0^1 4xy \, dy = 4x \cdot \frac{1}{2} = 2x$ （ $0 \leq x \leq 1$ ），其他为0。 $f_Y(y) = \int_0^1 4xy \, dx = 4y \cdot \frac{1}{2} = 2y$ （ $0 \leq y \leq 1$ ），其他为0。

答案：(1) $A=4$ ；(2) $P\{X+Y\leq1\} = \frac{1}{6}$ ；(3) $f_X(x)=2x, \, f_Y(y)=2y$ （ $0\leq x,y\leq1$ ）

例题2：均匀分布与期望

设 $(X,Y)$ 在区域 $D: 0 \leq x \leq 1, \, x^2 \leq y \leq x$ 上服从均匀分布，求 $E(X)$ 和 $E(Y)$ 。

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均匀分布数学期望联合密度二重积分

解题思路：先求区域面积，得到联合密度，再用二重积分求期望。

详细步骤：

区域面积： $S = \int_0^1 dx \int_{x^2}^x dy = \int_0^1 (x-x^2) dx = [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_0^1 = \frac{1}{6}$
联合密度： $f(x,y) = \begin{cases} 6, & (x,y) \in D \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$
$E(X) = \iint_D x \cdot 6 \, dx\,dy = 6\int_0^1 x \, dx \int_{x^2}^x dy = 6\int_0^1 x(x-x^2) dx = 6\int_0^1 (x^2-x^3) dx = 6[\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}]_0^1 = 6(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = 6 \cdot \frac{1}{12} = \frac{1}{2}$
$E(Y) = \iint_D y \cdot 6 \, dx\,dy = 6\int_0^1 dx \int_{x^2}^x y \, dy = 6\int_0^1 \frac{x^2-x^4}{2} dx = 3\int_0^1 (x^2-x^4) dx = 3[\frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5}]_0^1 = 3(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) = 3 \cdot \frac{2}{15} = \frac{2}{5}$

答案： $E(X) = \frac{1}{2}$ ， $E(Y) = \frac{2}{5}$

例题3：正态分布的概率

设 $(X,Y)$ 服从二维正态分布，联合密度为： $f(x,y) = \frac{1}{2\pi} e^{-\frac{x^2+y^2}{2}}$ 求 $P\{X^2 + Y^2 \leq R^2\}$ 。

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二维正态分布极坐标概率计算卡方分布

解题思路：区域是圆，用极坐标计算。

详细步骤：

$P\{X^2+Y^2 \leq R^2\} = \iint_{x^2+y^2 \leq R^2} \frac{1}{2\pi} e^{-\frac{x^2+y^2}{2}} dx\,dy$
极坐标： $= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^R e^{-\frac{\rho^2}{2}} \cdot \rho \, d\rho = \int_0^R \rho e^{-\frac{\rho^2}{2}} d\rho = [-e^{-\frac{\rho^2}{2}}]_0^R = 1 - e^{-\frac{R^2}{2}}$

答案： $1 - e^{-\frac{R^2}{2}}$

（这是自由度为2的卡方分布的分布函数。）

练习题

练习1

设 $(X,Y)$ 的联合密度为 $f(x,y) = \begin{cases} e^{-(x+y)}, & x>0, \, y>0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$ ，判断 $X$ 和 $Y$ 是否独立，并求 $P\{X < Y\}$ 。

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独立性指数分布概率计算联合密度

解题思路：求边缘密度，判断是否独立；用二重积分求概率。

详细步骤：

边缘密度： $f_X(x) = \int_0^{+\infty} e^{-(x+y)} dy = e^{-x}$ （ $x>0$ ） $f_Y(y) = \int_0^{+\infty} e^{-(x+y)} dx = e^{-y}$ （ $y>0$ ）
$f(x,y) = e^{-x} \cdot e^{-y} = f_X(x) f_Y(y)$ ，所以 $X, Y$ 独立。
$P\{X < Y\} = \int_0^{+\infty} dx \int_x^{+\infty} e^{-(x+y)} dy = \int_0^{+\infty} e^{-x} \cdot e^{-x} dx = \int_0^{+\infty} e^{-2x} dx = \frac{1}{2}$

答案： $X, Y$ 独立（均服从参数为1的指数分布）； $P\{X<Y\} = \frac{1}{2}$ 。

练习2

设 $(X,Y)$ 在圆域 $x^2+y^2 \leq R^2$ 上服从均匀分布，求协方差 $\text{Cov}(X,Y)$ 。

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均匀分布协方差对称性圆域

解题思路：利用对称性， $E(X)=E(Y)=0$ ，再计算 $E(XY)$ 。

详细步骤：

联合密度： $f(x,y) = \frac{1}{\pi R^2}$ （ $x^2+y^2 \leq R^2$ ）
由对称性， $E(X) = 0, \, E(Y) = 0$
$E(XY) = \iint_{x^2+y^2 \leq R^2} xy \cdot \frac{1}{\pi R^2} dx\,dy$
被积函数 $xy$ 关于 $x$ （或 $y$ ）是奇函数，积分区域关于 $y$ 轴（或 $x$ 轴）对称，所以积分为0。
$\text{Cov}(X,Y) = E(XY) - EX \cdot EY = 0 - 0 = 0$

答案： $\text{Cov}(X,Y) = 0$

（注意：协方差为零不代表独立，本题中 $X, Y$ 实际上不独立。）

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$f(x,y)$	联合概率密度	joint probability density	二维随机变量的联合密度函数
$f_X(x)$	边缘概率密度	marginal density	X 的边缘概率密度
$f_Y(y)$	边缘概率密度	marginal density	Y 的边缘概率密度
$f_{X	Y}(x\|y)$	条件概率密度	conditional density
$E(X)$	数学期望	expected value	随机变量 X 的期望
$\text{Cov}(X,Y)$	协方差	covariance	X 与 Y 的协方差
$\rho_{XY}$	相关系数	correlation coefficient	X 与 Y 的相关系数
$D(X)$	方差	variance	随机变量 X 的方差

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
联合概率密度	joint probability density	/dʒɔɪnt ˌprɒbəˈbɪləti ˈdɛnsəti/	二维随机变量的密度函数
边缘概率密度	marginal probability density	/ˈmɑːrdʒɪnəl ˌprɒbəˈbɪləti ˈdɛnsəti/	单个变量的概率密度
条件概率密度	conditional probability density	/kənˈdɪʃənəl ˌprɒbəˈbɪləti ˈdɛnsəti/	条件分布的密度
数学期望	expected value / expectation	/ɪkˈspɛktɪd ˈvæljuː/	随机变量的平均值
协方差	covariance	/koʊˈvɛriəns/	两个变量协同变化的程度
相关系数	correlation coefficient	/ˌkɒrəˈleɪʃən ˌkoʊɪˈfɪʃənt/	标准化的协方差
独立性	independence	/ˌɪndɪˈpɛndəns/	随机变量间无关联
均匀分布	uniform distribution	/ˈjuːnɪfɔːrm ˌdɪstrɪˈbjuːʃən/	概率密度为常数的分布
二维正态分布	bivariate normal distribution	/baɪˈvɛriət ˈnɔːrməl ˌdɪstrɪˈbjuːʃən/	二维的正态分布
卡方分布	chi-square distribution	/kaɪ skwɛər ˌdɪstrɪˈbjuːʃən/	标准正态变量平方和的分布

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