物理应用：质量与质心

解题思路： 区域是圆心在 $(0,a)$、半径为 $a$ 的圆，关于 $y$ 轴对称，故 $\bar{x}=0$。用极坐标计算质量和 $\bar{y}$。

详细步骤：

1. 极坐标下区域：$\rho \leq 2a\sin\theta, \, 0 \leq \theta \leq \pi$
2. 质量： $M = \iint_D \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} dx\,dy = \int_0^\pi d\theta \int_0^{2a\sin\theta} \frac{1}{\rho} \cdot \rho \, d\rho = \int_0^\pi d\theta \int_0^{2a\sin\theta} d\rho = \int_0^\pi 2a\sin\theta \, d\theta = 2a[-\cos\theta]_0^\pi = 4a$
3. 关于 $x$ 轴的静矩： $\iint_D y\mu \, dx\,dy = \int_0^\pi d\theta \int_0^{2a\sin\theta} \rho\sin\theta \cdot \frac{1}{\rho} \cdot \rho \, d\rho = \int_0^\pi \sin\theta \, d\theta \int_0^{2a\sin\theta} \rho \, d\rho = \int_0^\pi \sin\theta \cdot \frac{1}{2}(2a\sin\theta)^2 d\theta = 2a^2\int_0^\pi \sin^3\theta \, d\theta = 2a^2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{8a^2}{3}$
4. $\bar{y} = \frac{8a^2/3}{4a} = \frac{2a}{3}$
5. 由对称性 $\bar{x} = 0$

答案：质心为 $(0, \frac{2a}{3})$

解题思路： 圆锥体关于 $z$ 轴对称，形心在 $z$ 轴上。用柱坐标或截面法计算。

详细步骤：

1. 设圆锥顶点在原点，轴为 $z$ 轴，底面在 $z=h$ 处。圆锥面方程 $z = \frac{h}{R}\sqrt{x^2+y^2}$。
2. 由对称性，$\bar{x} = \bar{y} = 0$。
3. 体积 $V = \frac{1}{3}\pi R^2 h$。
4. 用截面法：当 $0 \leq z \leq h$ 时，截面 $D_z: x^2+y^2 \leq (\frac{Rz}{h})^2$，面积 $\pi(\frac{Rz}{h})^2$。
5. $\iiint_\Omega z \, dv = \int_0^h z \cdot \pi(\frac{Rz}{h})^2 dz = \frac{\pi R^2}{h^2}\int_0^h z^3 dz = \frac{\pi R^2}{h^2} \cdot \frac{h^4}{4} = \frac{\pi R^2 h^2}{4}$
6. $\bar{z} = \frac{\pi R^2 h^2 / 4}{\pi R^2 h / 3} = \frac{3h}{4}$

答案：形心在对称轴上，距顶点 $\frac{3h}{4}$ 处（即距底面 $\frac{h}{4}$ 处）。

解题思路： 半球关于 $z$ 轴对称，形心在 $z$ 轴上。用球坐标或截面法计算。

详细步骤：

1. 上半球 $\Omega: x^2+y^2+z^2 \leq R^2, \, z \geq 0$
2. 由对称性 $\bar{x} = \bar{y} = 0$
3. 体积 $V = \frac{2}{3}\pi R^3$
4. 球坐标计算 $\iiint_\Omega z \, dv$： $z = r\cos\phi$，$0 \leq r \leq R, \, 0 \leq \phi \leq \frac{\pi}{2}, \, 0 \leq \theta \leq 2\pi$ $\iiint_\Omega z \, dv = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\pi/2} \sin\phi \, d\phi \int_0^R r\cos\phi \cdot r^2 dr = 2\pi \int_0^{\pi/2} \sin\phi\cos\phi \, d\phi \int_0^R r^3 dr$ $= 2\pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{R^4}{4} = \frac{\pi R^4}{4}$
5. $\bar{z} = \frac{\pi R^4 / 4}{2\pi R^3 / 3} = \frac{3R}{8}$

答案：形心在 $z$ 轴上，距底面 $\frac{3R}{8}$ 处。

解题思路： 第一象限的椭圆部分，用广义极坐标计算。

详细步骤：

1. 广义极坐标：$x = a\rho\cos\theta, \, y = b\rho\sin\theta$，$J = ab\rho$
2. 区域：$0 \leq \rho \leq 1, \, 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$
3. 面积 $S = \frac{1}{4}\pi ab$
4. $\iint_D x \, dx\,dy = \int_0^{\pi/2} d\theta \int_0^1 a\rho\cos\theta \cdot ab\rho \, d\rho = a^2b \int_0^{\pi/2} \cos\theta \, d\theta \int_0^1 \rho^2 d\rho = a^2b \cdot 1 \cdot \frac{1}{3} = \frac{a^2b}{3}$
5. $\bar{x} = \frac{a^2b/3}{\pi ab/4} = \frac{4a}{3\pi}$
6. 同理 $\bar{y} = \frac{4b}{3\pi}$

答案：形心为 $(\frac{4a}{3\pi}, \frac{4b}{3\pi})$

解题思路： 球锥关于 $z$ 轴对称，形心在 $z$ 轴上。用球坐标计算。

详细步骤：

1. 球坐标：$0 \leq r \leq R, \, 0 \leq \phi \leq \frac{\pi}{4}, \, 0 \leq \theta \leq 2\pi$
2. 体积 $V = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\pi/4} \sin\phi \, d\phi \int_0^R r^2 dr = 2\pi \cdot (1-\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \frac{R^3}{3} = \frac{\pi R^3}{3}(2-\sqrt{2})$
3. $\iiint_\Omega z \, dv = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\pi/4} \sin\phi \, d\phi \int_0^R r\cos\phi \cdot r^2 dr = 2\pi \int_0^{\pi/4} \sin\phi\cos\phi \, d\phi \int_0^R r^3 dr = 2\pi \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{R^4}{4} = \frac{\pi R^4}{8}$
4. $\bar{z} = \frac{\pi R^4/8}{\pi R^3(2-\sqrt{2})/3} = \frac{3R}{8(2-\sqrt{2})} = \frac{3R(2+\sqrt{2})}{8(4-2)} = \frac{3R(2+\sqrt{2})}{16}$

答案：形心在 $z$ 轴上，$\bar{z} = \frac{3R(2+\sqrt{2})}{16}$