物理应用：转动惯量与引力

转动惯量

转动惯量的定义

转动惯量

物体绕某轴（或某点）的转动惯量（又称惯性矩）定义为物体中各质点的质量与该质点到轴（或点）距离平方的乘积之和：

$I = \sum m_i r_i^2$

对于连续分布的物体，用积分计算。

转动惯量是物体转动惯性的量度，类似于平动中的质量。转动动能 $E_k = \frac{1}{2}I\omega^2$ 。

平面薄片的转动惯量

平面薄片转动惯量

设平面薄片占有区域 $D$ ，面密度为 $\mu(x,y)$ ：

绕 $x$ 轴的转动惯量： $I_x = \iint_D y^2 \mu(x,y) \, dx\,dy$
绕 $y$ 轴的转动惯量： $I_y = \iint_D x^2 \mu(x,y) \, dx\,dy$
绕原点的转动惯量（极转动惯量）： $I_O = \iint_D (x^2+y^2) \mu(x,y) \, dx\,dy = I_x + I_y$

空间物体的转动惯量

空间物体转动惯量

设空间物体占有区域 $\Omega$ ，体密度为 $\rho(x,y,z)$ ：

绕 $x$ 轴： $I_x = \iiint_\Omega (y^2+z^2)\rho \, dv$
绕 $y$ 轴： $I_y = \iiint_\Omega (x^2+z^2)\rho \, dv$
绕 $z$ 轴： $I_z = \iiint_\Omega (x^2+y^2)\rho \, dv$
绕原点： $I_O = \iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2)\rho \, dv = \frac{1}{2}(I_x+I_y+I_z)$

平行轴定理

定理1

平行轴定理：物体绕任意轴的转动惯量 $I$ 等于绕通过质心的平行轴的转动惯量 $I_C$ 加上总质量 $M$ 与两轴间距离 $d$ 平方的乘积：

$I = I_C + Md^2$

几何解释

推论

证明

符号说明

平行轴定理表明：在所有平行轴中，通过质心的轴的转动惯量最小。这一定理在工程计算中非常有用，可以避免重复积分。

引力

引力的计算

空间物体对质点的引力

设空间物体占有区域 $\Omega$ ，体密度为 $\rho(x,y,z)$ ，质量为 $m_0$ 的质点位于点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 。物体对质点的引力 $\vec{F} = (F_x, F_y, F_z)$ ：

$F_x = Gm_0 \iiint_\Omega \frac{\rho(x,y,z)(x-x_0)}{r^3} \, dv$ $F_y = Gm_0 \iiint_\Omega \frac{\rho(x,y,z)(y-y_0)}{r^3} \, dv$ $F_z = Gm_0 \iiint_\Omega \frac{\rho(x,y,z)(z-z_0)}{r^3} \, dv$

其中 $r = \sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}$ ， $G$ 是万有引力常数。

引力计算的对称性简化：

若物体关于某坐标面对称，且质点在该坐标面上，则引力在垂直于该面方向的分量为零
均匀球壳对内部质点的引力为零，对外部质点的引力等效于质量集中在球心
均匀球体对外部质点的引力等效于质量集中在球心

变力做功

曲线积分求功

变力沿曲线做功

设质点在变力 $\vec{F}(x,y,z) = P\vec{i}+Q\vec{j}+R\vec{k}$ 的作用下沿曲线 $L$ 从点 $A$ 移动到点 $B$ ，则力所做的功为：

$W = \int_L \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_L P \, dx + Q \, dy + R \, dz$

保守力做功

如果 $\vec{F}$ 是保守力（有势场），则做功与路径无关：

$W = u(B) - u(A)$

其中 $u$ 是势函数（或 $W = U(A) - U(B)$ ，其中 $U$ 是势能， $\vec{F} = -\nabla U$ ）。

典型例题

例题1：均匀圆盘的转动惯量

求半径为 $R$ 、质量为 $M$ 的均匀圆盘绕其直径和过圆心垂直于盘面的轴的转动惯量。

参考答案(4 个标签)

转动惯量圆盘极坐标对称性

解题思路：面密度 $\mu = \frac{M}{\pi R^2}$ ，用极坐标计算。

详细步骤：

面密度 $\mu = \frac{M}{\pi R^2}$
绕 $x$ 轴（直径）： $I_x = \iint_D y^2 \mu \, dx\,dy = \mu \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^R (\rho\sin\theta)^2 \cdot \rho \, d\rho = \mu \int_0^{2\pi} \sin^2\theta \, d\theta \int_0^R \rho^3 d\rho = \mu \cdot \pi \cdot \frac{R^4}{4} = \frac{M}{\pi R^2} \cdot \frac{\pi R^4}{4} = \frac{MR^2}{4}$
由对称性 $I_y = I_x = \frac{MR^2}{4}$
绕垂直轴（ $z$ 轴）： $I_z = I_x + I_y = \frac{MR^2}{2}$

答案：绕直径的转动惯量为 $\frac{MR^2}{4}$ ，绕垂直轴的转动惯量为 $\frac{MR^2}{2}$ 。

例题2：均匀球体的转动惯量

求半径为 $R$ 、质量为 $M$ 的均匀球体绕其直径的转动惯量。

参考答案(4 个标签)

转动惯量球体球坐标对称性

解题思路：体密度 $\rho = \frac{3M}{4\pi R^3}$ ，用球坐标计算绕 $z$ 轴的转动惯量。

详细步骤：

体密度 $\rho = \frac{3M}{4\pi R^3}$
绕 $z$ 轴： $I_z = \iiint_\Omega (x^2+y^2)\rho \, dv$
球坐标： $x^2+y^2 = r^2\sin^2\phi$ ， $dv = r^2\sin\phi \, dr\,d\phi\,d\theta$
$I_z = \rho \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\pi \sin\phi \, d\phi \int_0^R r^2\sin^2\phi \cdot r^2\sin\phi \, dr = \rho \cdot 2\pi \int_0^\pi \sin^3\phi \, d\phi \int_0^R r^4 dr$
$\int_0^\pi \sin^3\phi \, d\phi = \frac{4}{3}$ ， $\int_0^R r^4 dr = \frac{R^5}{5}$
$I_z = \rho \cdot 2\pi \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{R^5}{5} = \frac{8\pi\rho R^5}{15} = \frac{8\pi}{15} \cdot \frac{3M}{4\pi R^3} \cdot R^5 = \frac{2MR^2}{5}$

答案： $\frac{2MR^2}{5}$

例题3：均匀细棒对质点的引力

求长度为 $l$ 、质量为 $M$ 的均匀细棒，对位于棒的延长线上距棒近端为 $a$ 处质量为 $m$ 的质点的引力。

参考答案(4 个标签)

引力细棒线密度定积分

解题思路：将细棒放在 $x$ 轴上， $[0,l]$ 区间，质点在 $x=l+a$ 处。线密度 $\lambda = M/l$ 。

详细步骤：

线密度 $\lambda = \frac{M}{l}$
棒上微元 $[x, x+dx]$ 的质量 $dm = \lambda dx$ ，到质点的距离为 $l+a-x$
微元对质点的引力 $dF = G \frac{m \cdot \lambda dx}{(l+a-x)^2}$ ，方向沿 $x$ 轴负方向
$F = \int_0^l \frac{Gm\lambda}{(l+a-x)^2} dx = Gm\lambda \int_0^l \frac{dx}{(l+a-x)^2} = Gm\lambda [\frac{1}{l+a-x}]_0^l = Gm\lambda(\frac{1}{a} - \frac{1}{l+a}) = Gm\lambda \cdot \frac{l}{a(l+a)} = \frac{GMm}{a(l+a)}$

答案：引力大小为 $\frac{GMm}{a(l+a)}$ ，方向沿棒指向棒。

（当 $a \gg l$ 时， $F \approx \frac{GMm}{a^2}$ ，退化为质点间引力公式。）

练习题

练习1

求半径为 $R$ 、质量为 $M$ 的均匀圆环绕过圆心垂直于环面的轴的转动惯量。

参考答案(3 个标签)

转动惯量圆环线积分

解题思路：圆环上各点到轴的距离均为 $R$ 。

详细步骤：

线密度 $\lambda = \frac{M}{2\pi R}$
$I = \int_L R^2 \lambda \, ds = R^2 \lambda \int_L ds = R^2 \cdot \frac{M}{2\pi R} \cdot 2\pi R = MR^2$

答案： $MR^2$

练习2

质点在力 $\vec{F} = (y, -x, x+y+z)$ 作用下沿螺旋线 $x = a\cos t, \, y = a\sin t, \, z = bt$ 从 $t=0$ 到 $t=2\pi$ ，求力所做的功。

参考答案(4 个标签)

变力做功曲线积分螺旋线参数方程

解题思路：用参数方程计算第二类曲线积分。

详细步骤：

$dx = -a\sin t \, dt, \, dy = a\cos t \, dt, \, dz = b \, dt$
$P = y = a\sin t, \, Q = -x = -a\cos t, \, R = x+y+z = a\cos t+a\sin t+bt$
$W = \int_0^{2\pi} [a\sin t(-a\sin t) + (-a\cos t)(a\cos t) + (a\cos t+a\sin t+bt)b] dt$ $= \int_0^{2\pi} [-a^2(\sin^2 t+\cos^2 t) + ab\cos t + ab\sin t + b^2 t] dt$ $= \int_0^{2\pi} [-a^2 + ab\cos t + ab\sin t + b^2 t] dt$ $= [-a^2 t + ab\sin t - ab\cos t + \frac{b^2 t^2}{2}]_0^{2\pi}$ $= -2\pi a^2 + 0 - ab + 2\pi^2 b^2 - (0 + 0 - ab + 0)$ $= -2\pi a^2 + 2\pi^2 b^2 = 2\pi(\pi b^2 - a^2)$

答案： $2\pi(\pi b^2 - a^2)$

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$I$	转动惯量	moment of inertia	物体转动惯性的量度
$I_x, I_y, I_z$	坐标轴转动惯量	moments about axes	绕各坐标轴的转动惯量
$I_O$	极转动惯量	polar moment of inertia	绕原点的转动惯量
$I_C$	质心转动惯量	centroidal moment	绕通过质心轴的转动惯量
$\omega$	角速度	angular velocity	物体转动的角速度
$G$	引力常数	gravitational constant	万有引力常数
$\vec{F}$	引力/力	force	引力或作用力向量
$W$	功	work	力所做的功
$E_k$	转动动能	rotational kinetic energy	$\frac{1}{2}I\omega^2$

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
转动惯量	moment of inertia	/ˈmoʊmənt əv ɪˈnɜːrʃə/	物体转动惯性的量度
惯性矩	moment of inertia	/ˈmoʊmənt əv ɪˈnɜːrʃə/	即转动惯量
极转动惯量	polar moment of inertia	/ˈpoʊlər ˈmoʊmənt əv ɪˈnɜːrʃə/	绕垂直于平面的轴的转动惯量
平行轴定理	parallel axis theorem	/ˈpærəlɛl ˈæksɪs ˈθɪərəm/	转动惯量的平移定理
转动动能	rotational kinetic energy	/roʊˈteɪʃənəl kaɪˈnɛtɪk ˈɛnərdʒi/	物体转动的动能
万有引力	universal gravitation	/ˌjuːnɪˈvɜːrsəl ˌɡrævɪˈteɪʃən/	牛顿万有引力
引力常数	gravitational constant	/ˌɡrævɪˈteɪʃənəl ˈkɒnstənt/	万有引力定律中的常数 G
变力做功	work done by variable force	/wɜːrk dʌn baɪ ˈvɛriəbəl fɔːrs/	变力沿曲线做的功
保守力	conservative force	/kənˈsɜːrvətɪv fɔːrs/	做功与路径无关的力
球壳定理	shell theorem	/ʃɛl ˈθɪərəm/	均匀球壳的引力性质

上一章节物理应用：质量与质心学习多元积分在物理中的应用，包括平面薄片和空间物体的质量、质心、形心的计算。

下一章节概率论中的应用学习多元积分在概率论中的应用，包括联合概率密度、边缘分布、数学期望和概率计算。