线性组合、张成空间与基

一、线性组合

线性组合（linear combination）：把若干向量各自乘以一个标量，再相加：

$\mathbf{w} = c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \cdots + c_n\mathbf{v}_n$

其中 $c_1, c_2, \dots, c_n$ 是任意标量（实数）。

例：v₁ = (1, 0)，v₂ = (0, 1)
w = 3·v₁ + 2·v₂ = (3, 0) + (0, 2) = (3, 2)

关键点：标量 $c_i$ 可以取任意实数（包括负数、零、分数）。

二、张成空间（Span）

定义

一组向量的所有线性组合构成的集合，叫它们的张成空间（span）：

$\text{span}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_n\} = \{c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \cdots + c_n\mathbf{v}_n \mid c_i \in \mathbb{R}\}$

直观理解：让标量取遍所有实数，向量能”到达”的所有位置。

交互演示

观察重点：

• 两个不共线的向量 → 张成整个平面（任何点都能到达）
• 两个共线的向量 → 只张成一条直线
• 含零向量 → 零向量没贡献，张成仍由其余向量决定

三、线性相关与无关

定义

• 线性相关（linearly dependent）：存在一组不全为零的标量 $c_1, \dots, c_n$，使得 $c_1\mathbf{v}_1 + \cdots + c_n\mathbf{v}_n = \mathbf{0}$。
• 线性无关（linearly independent）：只有当 $c_1 = c_2 = \cdots = c_n = 0$ 时，线性组合才为零向量。

直观理解

例：
v₁ = (1, 1)，v₂ = (2, 2)  → 相关（v₂ = 2v₁）
v₁ = (1, 0)，v₂ = (0, 1)  → 无关

四、基（Basis）

定义

基（basis） 是张成空间的一组线性无关的向量，且”不多不少刚刚好”：

1. 张成：基向量的线性组合能到达空间的所有点
2. 无关：没有多余的向量（去掉任何一个，张成空间就变小）

基的个数 = 空间的维度。

标准基

二维平面最常用的一组基，叫标准基（standard basis）：

$\hat{\imath} = (1, 0), \quad \hat{\jmath} = (0, 1)$

任何向量都能写成它们的线性组合：

$\mathbf{v} = (3, 2) = 3\hat{\imath} + 2\hat{\jmath}$

基不唯一

同一空间可以有无数组基。例如 $\{(1,1), (1,-1)\}$ 也是二维平面的一组基——只要两个向量不共线。

例：验证 (1,1) 和 (1,-1) 是基
任何 (x, y) = a(1,1) + b(1,-1)
解：a = (x+y)/2，b = (x-y)/2  ← 对任意 x, y 都有解
所以它们张成整个平面，且无关 → 是一组基

五、直观总结

总结

本文出现的符号

中英对照