快易知
线性代数

相似与对角化

相似矩阵

相似矩阵的定义

相似矩阵

对于 nn 阶方阵 AA 和 BB，如果存在可逆矩阵 PP，使得 B=P−1APB = P^{-1}AP，则称矩阵 AA 与 BB 相似，记作 A∼BA \sim B。

相似矩阵的性质

性质 1：相似关系是等价关系（自反、对称、传递）。

性质 2：相似矩阵有相同的特征多项式。

性质 3：相似矩阵有相同的特征值。

性质 4：相似矩阵有相同的迹和行列式。

性质 5：相似矩阵有相同的秩。

相似矩阵的证明

证明性质 2： 设 B=P−1APB = P^{-1}AP，则： ∣B−λI∣=∣P−1AP−λI∣=∣P−1AP−P−1λIP∣=∣P−1(A−λI)P∣=∣P−1∣∣A−λI∣∣P∣=∣A−λI∣|B - \lambda I| = |P^{-1}AP - \lambda I| = |P^{-1}AP - P^{-1}\lambda IP| = |P^{-1}(A - \lambda I)P| = |P^{-1}||A - \lambda I||P| = |A - \lambda I|

对角化

对角化的定义

可对角化

如果矩阵 AA 与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵 PP 和对角矩阵 DD，使得： A=PDP−1A = PDP^{-1}

则称矩阵 AA 可对角化。

对角化的条件

可对角化的充要条件

nn 阶矩阵 AA 可对角化的充要条件是 AA 有 nn 个线性无关的特征向量。

证明

证明：

  • 充分性：设 AA 有 nn 个线性无关的特征向量 x⃗1,x⃗2,…,x⃗n\vec{x}_1, \vec{x}_2, \dots, \vec{x}_n，对应的特征值为 λ1,λ2,…,λn\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n。令 P=[x⃗1,x⃗2,…,x⃗n]P = [\vec{x}_1, \vec{x}_2, \dots, \vec{x}_n]，D=diag⁡(λ1,λ2,…,λn)D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n)，则 A=PDP−1A = PDP^{-1}。
  • 必要性：如果 A=PDP−1A = PDP^{-1}，则 AP=PDAP = PD，即 AA 的列向量是 PP 的列向量的线性组合，且系数为 DD 的对角元素。

对角化的步骤

步骤：

  1. 求特征值：解特征方程 ∣A−λI∣=0|A - \lambda I| = 0
  2. 求特征向量：对每个特征值，求对应的线性无关特征向量
  3. 构造矩阵：PP 由特征向量组成，DD 由特征值组成
  4. 验证：验证 A=PDP−1A = PDP^{-1} 是否成立

例子

例 1：判断矩阵 A=(2112)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} 是否可对角化，如果可以，求对角化形式。

解：

  1. 特征方程：∣A−λI∣=λ2−4λ+3=0|A - \lambda I| = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0
  2. 特征值：λ1=1\lambda_1 = 1，λ2=3\lambda_2 = 3
  3. 特征向量：
    • λ1=1\lambda_1 = 1：x⃗1=(1,−1)\vec{x}_1 = (1, -1)
    • λ2=3\lambda_2 = 3：x⃗2=(1,1)\vec{x}_2 = (1, 1)
  4. 构造矩阵：
    • P=(11−11)P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}
    • D=(1003)D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}
  5. 对角化形式：A=PDP−1A = PDP^{-1}

不可对角化的情况

不可对角化的条件

不可对角化的条件

如果矩阵 AA 有重特征值，且重特征值的几何重数小于代数重数，则 AA 不可对角化。

例子

例 2：判断矩阵 A=(1101)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} 是否可对角化。

解：

  1. 特征方程：∣A−λI∣=(1−λ)2=0|A - \lambda I| = (1-\lambda)^2 = 0
  2. 特征值：λ=1\lambda = 1（二重根）
  3. 几何重数：解 (A−I)x⃗=0⃗(A - I)\vec{x} = \vec{0}，得到 x⃗=(1,0)\vec{x} = (1, 0)，几何重数为 1
  4. 代数重数为 2，几何重数为 1，所以不可对角化

对角化的应用

矩阵幂的计算

矩阵幂的计算

如果 A=PDP−1A = PDP^{-1}，则 An=PDnP−1A^n = PD^nP^{-1}。

证明

证明： An=(PDP−1)n=PDP−1⋅PDP−1⋅⋯⋅PDP−1=PDnP−1A^n = (PDP^{-1})^n = PDP^{-1} \cdot PDP^{-1} \cdot \dots \cdot PDP^{-1} = PD^nP^{-1}

矩阵函数的计算

矩阵函数的计算

如果 A=PDP−1A = PDP^{-1}，则 f(A)=Pf(D)P−1f(A) = Pf(D)P^{-1}，其中 f(D)=diag⁡(f(λ1),f(λ2),…,f(λn))f(D) = \operatorname{diag}(f(\lambda_1), f(\lambda_2), \dots, f(\lambda_n))。

若尔当标准形

若尔当标准形的定义

若尔当标准形

对于实对称矩阵 AA，如果存在正交矩阵 PP，使得 PTAP=DP^TAP = D 为对角矩阵，则称 AA 可对角化，其中 DD 是对角矩阵，对角线上的元素是 AA 的特征值。

若尔当块

若尔当块

形如 Ji=(λi10…00λi1…0⋮⋮⋮⋱⋮000…λi)J_i = \begin{pmatrix} \lambda_i & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \lambda_i & 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & \lambda_i \end{pmatrix}

的矩阵称为若尔当块。

练习题

练习 1

判断矩阵 A=(1101)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} 是否可对角化。

相似矩阵对角化可对角化特征向量

解题思路： 检查是否有足够的线性无关特征向量。

详细步骤：

  1. 特征方程：∣A−λI∣=(1−λ)2=0|A - \lambda I| = (1-\lambda)^2 = 0
  2. 特征值：λ=1\lambda = 1（二重根）
  3. 求特征向量：解 (A−I)x⃗=0⃗(A - I)\vec{x} = \vec{0}
  4. (0100)(xy)=(00)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}
  5. 得到特征向量 x⃗=(1,0)\vec{x} = (1, 0)
  6. 只有一个线性无关特征向量，少于矩阵阶数 2

最终答案：不可对角化

练习 2

求矩阵 A=(3102)A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} 的对角化形式。

相似矩阵对角化可对角化特征方程

解题思路： 按照对角化的步骤求解。

详细步骤：

  1. 特征方程：∣A−λI∣=(3−λ)(2−λ)=0|A - \lambda I| = (3-\lambda)(2-\lambda) = 0
  2. 特征值：λ1=2\lambda_1 = 2，λ2=3\lambda_2 = 3
  3. 特征向量：
    • λ1=2\lambda_1 = 2：x⃗1=(1,−1)\vec{x}_1 = (1, -1)
    • λ2=3\lambda_2 = 3：x⃗2=(1,0)\vec{x}_2 = (1, 0)
  4. 构造矩阵：
    • P=(11−10)P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}
    • D=(2003)D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}
  5. 对角化形式：A=PDP−1A = PDP^{-1}

最终答案：A=PDP−1A = PDP^{-1}，其中 P=(11−10)P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}，D=(2003)D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}

练习 3

证明：相似矩阵有相同的特征值。

相似矩阵对角化可对角化特征多项式

解题思路： 利用相似矩阵有相同特征多项式的性质。

详细步骤：

  1. 设 A∼BA \sim B，即 B=P−1APB = P^{-1}AP
  2. 相似矩阵有相同的特征多项式：∣A−λI∣=∣B−λI∣|A - \lambda I| = |B - \lambda I|
  3. 特征值是特征多项式的根
  4. 所以 AA 和 BB 有相同的特征值

最终答案：证明完成

练习 4

设 A=PDP−1A = PDP^{-1}，求 AnA^n。

相似矩阵对角化可对角化矩阵

解题思路： 利用对角化矩阵幂的性质。

详细步骤：

  1. A=PDP−1A = PDP^{-1}
  2. An=(PDP−1)n=PDnP−1A^n = (PDP^{-1})^n = PD^nP^{-1}
  3. Dn=diag⁡(λ1n,λ2n,…,λnn)D^n = \operatorname{diag}(\lambda_1^n, \lambda_2^n, \dots, \lambda_n^n)

最终答案：An=PDnP−1A^n = PD^nP^{-1}，其中 Dn=diag⁡(λ1n,λ2n,…,λnn)D^n = \operatorname{diag}(\lambda_1^n, \lambda_2^n, \dots, \lambda_n^n)

练习 5

判断矩阵 A=(2112)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} 是否可对角化，如果可以，求对角化形式。

相似矩阵对角化可对角化特征向量

解题思路： 按照对角化的步骤求解。

详细步骤：

  1. 特征方程：∣A−λI∣=λ2−4λ+3=0|A - \lambda I| = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0
  2. 特征值：λ1=1\lambda_1 = 1，λ2=3\lambda_2 = 3
  3. 特征向量：
    • λ1=1\lambda_1 = 1：x⃗1=(1,−1)\vec{x}_1 = (1, -1)
    • λ2=3\lambda_2 = 3：x⃗2=(1,1)\vec{x}_2 = (1, 1)
  4. 有两个线性无关特征向量，等于矩阵阶数
  5. 构造矩阵：
    • P=(11−11)P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}
    • D=(1003)D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}
  6. 对角化形式：A=PDP−1A = PDP^{-1}

最终答案：可对角化，A=PDP−1A = PDP^{-1}，其中 P=(11−11)P = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}，D=(1003)D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
P−1APP^{-1}AP数学符号P inverse A P相似变换的形式：B=P−1APB = P^{-1}AP
A∼BA \sim B数学符号A tilde B矩阵 AA 与 BB 相似
PP数学符号invertible matrix P可逆矩阵，由线性无关的特征向量拼成
A=PDP−1A = PDP^{-1}数学符号A equals P D P inverse对角化分解式
D=diag⁡(λ1,…,λn)D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)数学符号diagonal matrix of lambdas对角矩阵，对角元为特征值
λi\lambda_i希腊字母Lambda sub i第 ii 个特征值
∣A−λI∣\lvert A - \lambda I\rvert数学符号determinant of (A minus lambda I)特征多项式，相似矩阵有相同者
An=PDnP−1A^n = PD^nP^{-1}数学符号A to the n equals P D to the n P inverse对角化后矩阵幂的计算
JiJ_i数学符号Jordan block J i若尔当块，上对角带 1 的特征矩阵

中英对照

中文术语英文术语音标说明
相似矩阵similar matrices/ˈsɪmɪlə ˈmeɪtrɪsiːz/满足 B=P−1APB = P^{-1}AP 的矩阵 AA 与 BB
对角化diagonalization/daɪˌæɡənəlaɪˈzeɪʃən/把矩阵化为 A=PDP−1A = PDP^{-1} 的过程
对角矩阵diagonal matrix/daɪˈæɡənl ˈmeɪtrɪks/非对角元全为零的矩阵 DD
可逆矩阵invertible matrix/ɪnˈvɜːtəbl ˈmeɪtrɪks/存在逆矩阵 P−1P^{-1} 的矩阵
特征分解eigendecomposition/ˌaɪɡəʊˌdiːkɒmpəˈzɪʃən/把矩阵分解为特征向量与特征值的乘积
矩阵幂matrix power/ˈmeɪtrɪks ˈpaʊə/利用对角化计算 An=PDnP−1A^n = PD^nP^{-1}
等价关系equivalence relation/ɪˈkwɪvələns rɪˈleɪʒən/相似关系满足自反、对称、传递
若尔当块Jordan block/ˈdʒɔːrdæn blɒk/形如 JiJ_i 的上三角特征矩阵
若尔当标准形Jordan canonical form/ˈdʒɔːrdæn kəˈnɒnɪkl fɔːm/不可对角化矩阵的标准形式
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