矩阵就是线性变换

一、核心思想：记录基向量的去向

上一节说过：只要知道基向量 $\hat{\imath}$、$\hat{\jmath}$ 变到哪，整个线性变换就确定了。矩阵就是记录这个”去向”的表格。

设线性变换 $T$ 满足：

$$T(\hat{\imath}) = \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}, \quad T(\hat{\jmath}) = \begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}$$

那么用一个 2×2 矩阵记录：

$$M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$

• 第 1 列 $(a, c)^T$ = $\hat{\imath}$ 变换后的位置
• 第 2 列 $(b, d)^T$ = $\hat{\jmath}$ 变换后的位置

矩阵的每一列，就是对应基向量变换后的像。

二、矩阵乘向量：如何得到任意向量的像

任意向量 $\mathbf{v} = (x, y)^T = x\hat{\imath} + y\hat{\jmath}$，由线性性：

$$T(\mathbf{v}) = x\,T(\hat{\imath}) + y\,T(\hat{\jmath}) = x\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix} + y\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{pmatrix}$$

这就是矩阵乘法的定义：

$$\boxed{\,M\mathbf{v} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{pmatrix}\,}$$

计算规则

“行 × 列”：结果第 $i$ 个分量 = 矩阵第 $i$ 行与向量逐项相乘再相加。

$$\begin{pmatrix} \color{blue}{a} & \color{blue}{b} \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \color{blue}{x} \\ \color{blue}{y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \color{blue}{a \cdot x + b \cdot y} \\ c \cdot x + d \cdot y \end{pmatrix}$$

例：M = [[2, 0], [0, 0.5]]（x 拉伸 2 倍，y 压缩一半）
M·(1, 1) = (2×1 + 0×1, 0×1 + 0.5×1) = (2, 0.5)

三、交互演示：看矩阵如何”动”空间

关键观察：

• 矩阵第 1 列 $(\color{blue}{a}, \color{blue}{c})$ = 蓝色基向量 $\hat{\imath}$ 的新位置
• 矩阵第 2 列 $(\color{red}{b}, \color{red}{d})$ = 红色基向量 $\hat{\jmath}$ 的新位置
• 改矩阵元素 → 网格跟着变 → 矩阵和变换是同一件事的两种写法

四、几个常见矩阵及其几何意义

验证旋转矩阵：$\hat{\imath} = (1,0) \to (0,1)$，$\hat{\jmath} = (0,1) \to (-1,0)$——逆时针旋转 90° 后，x 轴正方向转到 y 轴正方向，y 轴正方向转到 x 轴负方向 ✓

五、为什么第 1 列就是 î 的像

把 $\hat{\imath} = (1, 0)^T$ 代入矩阵乘法：

$$M\hat{\imath} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\cdot 1 + b\cdot 0 \\ c\cdot 1 + d\cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}$$

正好取出第 1 列。同理 $M\hat{\jmath}$ 取出第 2 列。这就是”列 = 基向量的像”的代数证明。

总结

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中英对照