行列式的基本概念

行列式的定义

行列式是线性代数中的一个重要概念，它不仅是矩阵的一个数值特征，更在几何学、物理学等领域有重要应用。

二阶行列式

二阶行列式的定义

对于二阶矩阵 $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$ ，其行列式定义为：

$|A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$

几何解释

二阶行列式的绝对值表示以两个向量为邻边的平行四边形的面积
行列式的符号表示两个向量的相对方向（右手定则）

例子：计算 $\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{vmatrix}$

解： $|A| = 2 \times 4 - 3 \times 1 = 8 - 3 = 5$

三阶行列式

三阶行列式的定义

对于三阶矩阵 $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}$ ，其行列式定义为：

$|A| = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}$

几何解释

三阶行列式的绝对值表示以三个向量为邻边的平行六面体的体积，行列式的符号表示三个向量的相对方向。

展开方法：按第一行展开 $|A| = a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} - a_{12} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{13} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}$

例子：计算 $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{vmatrix}$

解：按第一行展开： $|A| = 1 \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} - 2 \begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{vmatrix}$ $= 1(1 \times 0 - 4 \times 6) - 2(0 \times 0 - 4 \times 5) + 3(0 \times 6 - 1 \times 5)$ $= 1(0 - 24) - 2(0 - 20) + 3(0 - 5)$ $= -24 + 40 - 15 = 1$

n 阶行列式

n 阶行列式的定义

对于 n 阶矩阵 $A = (a_{ij})_{n \times n}$ ，其行列式定义为：

$|A| = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}$

符号说明

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$S_n$	数学符号	S n（对称群 n）	n 个元素的所有置换构成的集合，对称群是组合数学中的重要概念
$\sigma$	希腊字母	sigma（西格玛）	置换，表示元素的重排方式
$\text{sgn}(\sigma)$	数学符号	sign of sigma（符号函数）	置换的符号函数，值为 +1 或 -1，用于判断置换的奇偶性
$M_{ij}$	数学符号	M i j（余子式）	元素 $a_{ij}$ 的余子式

展开方法：

按行展开： $|A| = \sum_{j=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}$
按列展开： $|A| = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}$

其中 $M_{ij}$ 是元素 $a_{ij}$ 的余子式。

行列式的基本性质

性质 1：转置不变性

性质： $|A| = |A^T|$

证明：行列式的定义中，行和列的地位是对称的。

性质 2：行（列）交换变号

性质：交换行列式的两行（列），行列式变号。

例子： $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 1 \times 4 - 2 \times 3 = -2$

交换两行后： $\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 3 \times 2 - 4 \times 1 = 2$

性质 3：行（列）线性

性质：

某行（列）乘以常数 k，行列式乘以 k
某行（列）可以表示为其他行（列）的线性组合

例子： $\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 \times 0 = 0$

性质 4：行（列）加法

性质：将一行（列）的 k 倍加到另一行（列），行列式不变。

例子： $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = -2$

将第一行加到第二行： $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 6 \end{vmatrix} = 1 \times 6 - 2 \times 4 = -2$

性质 5：零行（列）

性质：如果行列式有一行（列）全为零，则行列式为零。

证明：按该行（列）展开，所有项都为零。

性质 6：成比例行（列）

性质：如果行列式有两行（列）成比例，则行列式为零。

例子： $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = 1 \times 4 - 2 \times 2 = 0$

因为第二行是第一行的 2 倍。

特殊行列式

对角行列式

定义：主对角线以外的元素都为零的行列式。

性质：对角行列式等于主对角线元素的乘积。

例子： $\begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} = 2 \times 3 \times 4 = 24$

三角行列式

定义：上三角或下三角矩阵的行列式。

性质：三角行列式等于主对角线元素的乘积。

例子： $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{vmatrix} = 1 \times 4 \times 6 = 24$

分块行列式

性质：对于分块矩阵 $\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}$ ，如果 $A$ 可逆，则：

$\begin{vmatrix} A & B \\ C & D \end{vmatrix} = |A| \cdot |D - CA^{-1}B|$

练习题

练习 1

计算行列式 $\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{vmatrix}$ 。

参考答案 (3 个标签)

行列式二阶行列式行列式计算

解题思路：使用二阶行列式的定义公式。

详细步骤：

$|A| = 3 \times 4 - 1 \times 2 = 12 - 2 = 10$

答案：行列式的值为 10。

练习 2

计算行列式 $\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix}$ 。

参考答案 (3 个标签)

行列式三阶行列式行列式展开

解题思路：按第一行展开计算。

详细步骤：

$|A| = 1 \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - 0 \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} + 2 \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}$
$= 1(1 \times 1 - 0 \times 2) - 0 + 2(3 \times 2 - 1 \times 0)$
$= 1(1) + 2(6) = 1 + 12 = 13$

答案：行列式的值为 13。

练习 3

判断行列式 $\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}$ 是否为零，并说明原因。

参考答案 (3 个标签)

行列式行列式性质成比例行

解题思路：计算行列式值并分析原因。

详细步骤：

$|A| = 2 \times 2 - 4 \times 1 = 4 - 4 = 0$
原因：第二行是第一行的 $\frac{1}{2}$ 倍，两行成比例。

答案：行列式为零，因为两行成比例。

练习 4

利用行列式性质简化计算 $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{vmatrix}$ 。

参考答案 (3 个标签)

行列式行列式性质成比例行

解题思路：观察行列式的特点，利用性质简化。

详细步骤：

观察发现：第二行是第一行的 2 倍，第三行是第一行的 3 倍
根据性质：如果行列式有两行（列）成比例，则行列式为零
所以该行列式为零

答案：行列式的值为 0。

练习 5

设 $A$ 为三阶方阵， $|A| = 3$ ，将 $A$ 的第一行与第三行互换，新行列式值是多少？

参考答案 (3 个标签)

行列式行列式性质行交换变号

解题思路：利用行列式交换行变号的性质。

详细步骤：

根据性质：交换行列式的两行，行列式变号
所以新行列式值为 $-3$

答案：新行列式值为 $-3$ 。

总结

本文出现的符号

符号	类型	读音/说明	在本文中的含义
$	A	$	数学符号
$\begin{vmatrix} \end{vmatrix}$	数学符号	determinant brackets	行列式记号
$\begin{pmatrix} \end{pmatrix}$	数学符号	matrix parentheses	矩阵记号
$S_n$	数学符号	symmetric group n	n 个元素的对称群
$\sigma$	希腊字母	sigma（西格玛）	置换
$\text{sgn}(\sigma)$	数学符号	sign of sigma	置换的符号函数
$M_{ij}$	数学符号	minor	余子式
$a_{ij}$	数学符号	a i j	矩阵元素

中英对照

中文术语	英文术语	音标	说明
行列式	determinant	/dɪˈtɜːrmɪnənt/	矩阵的数值特征，用于判断矩阵的可逆性
矩阵	matrix	/ˈmeɪtrɪks/	由数或符号排成的方阵
对称群	symmetric group	/sɪˈmetrɪk ɡruːp/	所有置换构成的群
置换	permutation	/ˌpɜːrmjuˈteɪʃən/	元素的重新排列
余子式	cofactor	/ˈkoʊˌfæktər/	代数余子式的绝对值
代数余子式	algebraic cofactor	/ˈældʒɪbreɪɪk ˈkoʊˌfæktər/	带符号的余子式
二阶行列式	second-order determinant	/ˈsekənd ˈɔːrdər dɪˈtɜːrmɪnənt/	2×2 矩阵的行列式
三阶行列式	third-order determinant	/ˈθɜːrd ˈɔːrdər dɪˈtɜːrmɪnənt/	3×3 矩阵的行列式
行列式展开	determinant expansion	/dɪˈtɜːrmɪnənt ɪkˈspænʃən/	按行或列展开行列式计算
行列式性质	determinant properties	/dɪˈtɜːrmɪnənt ˈprɒpərtiz/	行列式的基本性质和运算规律

下一章节行列式的计算方法

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