计算机图形学

从游戏到影视特效，屏幕上每一个 3D 场景都是线性代数的产物。本课程学过的线性变换、矩阵乘法、叉积与行列式，正是图形学的日常工具。

一、3D 变换：一切皆矩阵

物体的缩放、旋转、平移全部用矩阵表示：

$$\mathbf{p}' = M_{\text{投影}} \cdot M_{\text{旋转}} \cdot M_{\text{平移}} \cdot \mathbf{p}$$

• 矩阵乘法 = 变换的复合：先平移，再旋转，最后投影
• 多个变换可以预先合并成一个矩阵，一次乘法完成全部变换

二、齐次坐标：用 4×4 矩阵统一所有变换

齐次坐标：在三维坐标后面补一个分量 $w$（通常取 $w = 1$），用 4×4 矩阵统一表示变换（含平移）。

为什么需要它？因为平移 $\mathbf{p} + \mathbf{t}$ 不是线性变换（原点会移动），无法写成 3×3 矩阵。引入齐次坐标后，平移也能写成矩阵乘法：

$$\begin{pmatrix} \mathbf{p}' \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_3 & \mathbf{t} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf{p} \\ 1 \end{pmatrix}$$

• 旋转、缩放、平移、错切全部统一为 4×4 矩阵
• 多个变换复合 = 4×4 矩阵相乘，仍然一次乘法完成

三、法向量与相机变换

• 法向量计算：两个不共线向量的叉积得到所在平面的法线（回忆叉积的几何意义：结果垂直于两个输入向量，长度等于平行四边形的面积）
• 相机变换：把世界坐标转换到相机坐标——本质是一次基变换（换坐标系）

四、渲染管线：一连串矩阵乘法

渲染管线的每一步都是一次矩阵运算：

GPU 并行处理这些矩阵乘法——一个游戏画面每帧要执行数百万次。

总结

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