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线性代数

解的结构与基础解系

解的结构

齐次线性方程组的解结构

齐次线性方程组的解空间

齐次线性方程组 Ax⃗=0⃗A\vec{x} = \vec{0} 的解空间是向量空间。

证明

证明：

  1. 零解 0⃗\vec{0} 是解
  2. 如果 x⃗1,x⃗2\vec{x}_1, \vec{x}_2 是解，则 x⃗1+x⃗2\vec{x}_1 + \vec{x}_2 也是解
  3. 如果 x⃗\vec{x} 是解，kk 是常数，则 kx⃗k\vec{x} 也是解

非齐次线性方程组的解结构

非齐次方程组的解结构

设 x⃗0\vec{x}_0 是非齐次线性方程组 Ax⃗=b⃗A\vec{x} = \vec{b} 的一个特解，x⃗h\vec{x}_h 是对应齐次方程组 Ax⃗=0⃗A\vec{x} = \vec{0} 的任意解，则 x⃗0+x⃗h\vec{x}_0 + \vec{x}_h 是非齐次方程组的解。

证明

证明： A(x⃗0+x⃗h)=Ax⃗0+Ax⃗h=b⃗+0⃗=b⃗A(\vec{x}_0 + \vec{x}_h) = A\vec{x}_0 + A\vec{x}_h = \vec{b} + \vec{0} = \vec{b}

解的结构定理

非齐次方程组的通解

非齐次线性方程组 Ax⃗=b⃗A\vec{x} = \vec{b} 的通解为： x⃗=x⃗0+x⃗h\vec{x} = \vec{x}_0 + \vec{x}_h

其中：

  • x⃗0\vec{x}_0 是非齐次方程组的一个特解
  • x⃗h\vec{x}_h 是对应齐次方程组的通解

基础解系

基础解系的定义

基础解系

齐次线性方程组 Ax⃗=0⃗A\vec{x} = \vec{0} 的所有解的集合称为基础解系。

性质：

  1. 基础解系中的任意解都可以表示为该解系中向量的线性组合
  2. 基础解系不唯一，但任意两个基础解系等价

基础解系的性质

性质：

  1. 基础解系中的向量线性无关
  2. 齐次方程组的任意解都可以表示为基础解系的线性组合
  3. 基础解系中向量的个数等于自由变量的个数

基础解系的求法

步骤：

  1. 用高斯消元法将系数矩阵化为行阶梯形
  2. 确定主元和自由变量
  3. 对每个自由变量，令其等于 1，其他自由变量等于 0，求解得到基础解系

例子

例 1：求方程组 {x+y+z=02x+2y+2z=0\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 2y + 2z = 0 \end{cases} 的基础解系。

解：

  1. 增广矩阵：(111∣0222∣0)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 2 & 2 & 2 & | & 0 \end{pmatrix}
  2. 化为行阶梯形：(111∣0000∣0)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}
  3. 主元：xx，自由变量：y,zy, z
  4. 令 y=1,z=0y = 1, z = 0，得 v⃗1=(−1,1,0)\vec{v}_1 = (-1, 1, 0)
  5. 令 y=0,z=1y = 0, z = 1，得 v⃗2=(−1,0,1)\vec{v}_2 = (-1, 0, 1)
  6. 基础解系：{(−1,1,0),(−1,0,1)}\{(-1, 1, 0), (-1, 0, 1)\}

通解

通解的定义

通解

齐次线性方程组 Ax⃗=0⃗A\vec{x} = \vec{0} 的所有解的集合称为通解。

性质：

  1. 通解是向量空间
  2. 如果 x⃗1,x⃗2\vec{x}_1, \vec{x}_2 是两个不同的解，则 k1x⃗1+k2x⃗2k_1\vec{x}_1 + k_2\vec{x}_2 也是解
  3. 通解可以表示为基础解系的线性组合

齐次方程组的通解

形式：x⃗=k1v⃗1+k2v⃗2+⋯+krv⃗r\vec{x} = k_1\vec{v}_1 + k_2\vec{v}_2 + \dots + k_r\vec{v}_r

其中：

  • {v⃗1,v⃗2,…,v⃗r}\{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_r\} 是基础解系
  • k1,k2,…,krk_1, k_2, \dots, k_r 是任意常数

非齐次方程组的通解

形式：x⃗=x⃗0+k1v⃗1+k2v⃗2+⋯+krv⃗r\vec{x} = \vec{x}_0 + k_1\vec{v}_1 + k_2\vec{v}_2 + \dots + k_r\vec{v}_r

其中：

  • x⃗0\vec{x}_0 是特解
  • {v⃗1,v⃗2,…,v⃗r}\{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \dots, \vec{v}_r\} 是对应齐次方程组的基础解系
  • k1,k2,…,krk_1, k_2, \dots, k_r 是任意常数

解的结构分析

唯一解

条件：当系数矩阵的秩等于未知数的个数时，方程组有唯一解。

特点：

  • 齐次方程组只有零解
  • 非齐次方程组有唯一解

无穷多解

条件：当系数矩阵的秩小于未知数的个数时，方程组有无穷多解。

特点：

  • 齐次方程组有无穷多解
  • 非齐次方程组有无穷多解
  • 自由变量的个数等于未知数个数减去系数矩阵的秩

无解

条件：当系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩时，方程组无解。

解空间的维数

解空间维数的计算

解空间的维数

齐次线性方程组 Ax⃗=0⃗A\vec{x} = \vec{0} 的解空间的维数等于 n−r(A)n - r(A)，其中 nn 是未知数的个数，r(A)r(A) 是系数矩阵的秩。

例子

例 2：分析方程组 {x+y+z=02x+2y+2z=0\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 2y + 2z = 0 \end{cases} 的解空间维数。

解：

  1. 系数矩阵：A=(111222)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}
  2. r(A)=1r(A) = 1，n=3n = 3
  3. 解空间维数：3−1=23 - 1 = 2

参数解

参数解的定义

参数解

用参数表示的解称为参数解。

参数解的求法

步骤：

  1. 用高斯消元法化为行阶梯形
  2. 确定主元和自由变量
  3. 用自由变量作为参数表示其他变量

例子

例 3：求方程组 {x+y+z=02x+2y+2z=0\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 2y + 2z = 0 \end{cases} 的参数解。

解：

  1. 化为行阶梯形：(111∣0000∣0)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}
  2. 主元：xx，自由变量：y,zy, z
  3. 设 y=ty = t，z=sz = s，则 x=−t−sx = -t - s
  4. 参数解：x=−t−sx = -t - s，y=ty = t，z=sz = s（t,st, s 为任意常数）

练习题

练习 1

写出 {x+y+z=02x+2y+2z=0\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 2y + 2z = 0 \end{cases} 的基础解系。

解的结构基础解系线性相关增广矩阵

解题思路： 按照基础解系的求法步骤。

详细步骤：

  1. 增广矩阵：(111∣0222∣0)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 2 & 2 & 2 & | & 0 \end{pmatrix}
  2. 化为行阶梯形：(111∣0000∣0)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}
  3. 主元：xx，自由变量：y,zy, z
  4. 令 y=1,z=0y = 1, z = 0，得 v⃗1=(−1,1,0)\vec{v}_1 = (-1, 1, 0)
  5. 令 y=0,z=1y = 0, z = 1，得 v⃗2=(−1,0,1)\vec{v}_2 = (-1, 0, 1)

最终答案：基础解系为 {(−1,1,0),(−1,0,1)}\{(-1, 1, 0), (-1, 0, 1)\}

练习 2

求方程组 {x+y+z=62x+3y+z=13x−y+2z=4\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x + 3y + z = 13 \\ x - y + 2z = 4 \end{cases} 的通解。

解的结构基础解系线性相关高斯消元法

解题思路： 先求特解，再求对应齐次方程组的基础解系。

详细步骤：

  1. 用高斯消元法求得特解：x=5x = 5，y=1y = 1，z=0z = 0
  2. 对应齐次方程组：{x+y+z=02x+3y+z=0x−y+2z=0\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + 3y + z = 0 \\ x - y + 2z = 0 \end{cases}
  3. 用高斯消元法求得基础解系：空集（只有零解）
  4. 通解：x=5x = 5，y=1y = 1，z=0z = 0

最终答案：唯一解 x=5x = 5，y=1y = 1，z=0z = 0

练习 3

求方程组 {x+y+z=12x+2y+2z=2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + 2y + 2z = 2 \end{cases} 的参数解。

解的结构基础解系线性相关高斯消元法

解题思路： 用高斯消元法化为行阶梯形，然后用参数表示。

详细步骤：

  1. 增广矩阵：(111∣1222∣2)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 2 & 2 & 2 & | & 2 \end{pmatrix}
  2. 化为行阶梯形：(111∣1000∣0)\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}
  3. 主元：xx，自由变量：y,zy, z
  4. 设 y=ty = t，z=sz = s，则 x=1−t−sx = 1 - t - s

最终答案：x=1−t−sx = 1 - t - s，y=ty = t，z=sz = s（t,st, s 为任意常数）

练习 4

分析方程组 {x+y=1x+y=2\begin{cases} x + y = 1 \\ x + y = 2 \end{cases} 的解结构。

解的结构基础解系线性相关秩

解题思路： 用高斯消元法分析解的结构。

详细步骤：

  1. 增广矩阵：(11∣111∣2)\begin{pmatrix} 1 & 1 & | & 1 \\ 1 & 1 & | & 2 \end{pmatrix}
  2. 化为行阶梯形：(11∣100∣1)\begin{pmatrix} 1 & 1 & | & 1 \\ 0 & 0 & | & 1 \end{pmatrix}
  3. 系数矩阵的秩为 1，增广矩阵的秩为 2
  4. 系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩

最终答案：无解

练习 5

证明：非齐次线性方程组的通解等于特解加上对应齐次方程组的通解。

解的结构基础解系线性相关

解题思路： 利用线性性质证明。

详细步骤：

  1. 设 x⃗0\vec{x}_0 是非齐次方程组的特解
  2. 设 x⃗h\vec{x}_h 是对应齐次方程组的任意解
  3. 验证 x⃗0+x⃗h\vec{x}_0 + \vec{x}_h 是非齐次方程组的解： A(x⃗0+x⃗h)=Ax⃗0+Ax⃗h=b⃗+0⃗=b⃗A(\vec{x}_0 + \vec{x}_h) = A\vec{x}_0 + A\vec{x}_h = \vec{b} + \vec{0} = \vec{b}
  4. 验证任意解都可以表示为这种形式

最终答案：证明完成

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
x⃗=x⃗0+x⃗h\vec{x} = \vec{x}_0 + \vec{x}_h数学符号x equals x0 plus xh非齐次方程组通解 = 特解 + 对应齐次通解
x⃗0\vec{x}_0数学符号x nought非齐次方程组的一个特解
x⃗h\vec{x}_h数学符号x h对应齐次方程组 Ax⃗=0⃗A\vec{x}=\vec{0} 的解
x⃗=k1v⃗1+⋯+krv⃗r\vec{x} = k_1\vec{v}_1 + \dots + k_r\vec{v}_r数学符号linear combination齐次通解表示为基础解系的线性组合
{v⃗1,…,v⃗r}\{\vec{v}_1, \dots, \vec{v}_r\}数学符号v vectors基础解系，齐次解空间的一组基
k1,…,krk_1, \dots, k_r数学符号k constants表示通解的任意常数
n−r(A)n - r(A)数学符号n minus rank of A齐次解空间的维数（自由变量个数）

中英对照

中文术语英文术语音标说明
基础解系fundamental system of solutions/ˌfʌndəˈmentl səˈluːʃnz/齐次解空间的一组基 {v⃗1,…,v⃗r}\{\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_r\}
通解general solution/ˈdʒenrəl səˈluːʃn/含任意常数、表示全部解的表达式
特解particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/非齐次方程组的一个具体解 x⃗0\vec{x}_0
解空间solution space/səˈluːʃn speɪs/齐次方程组所有解构成的向量空间
自由变量free variable/friː ˈveəriəbl/不被主元约束、可取任意值的未知数
线性组合linear combination/ˈlɪniə ˌkɒmbɪˈneɪʃn/∑kiv⃗i\sum k_i\vec{v}_i，通解由基础解系如此表出
参数解parametric solution/ˌpærəˈmetrɪk səˈluːʃn/用自由变量 t,st, s 等参数表示的解
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