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线性代数

行列式的应用

行列式的应用

行列式不仅在数学理论中有重要地位，在实际应用中也有广泛用途。

线性方程组

克拉默法则

克拉默法则

对于 n 元线性方程组 Ax=bAx = b，如果系数矩阵 AA 的行列式 ∣A∣≠0|A| \neq 0，则方程组有唯一解：

xi=∣Ai∣∣A∣,i=1,2,…,nx_i = \frac{|A_i|}{|A|}, \quad i = 1, 2, \ldots, n

其中 AiA_i 是将 AA 的第 ii 列替换为常数向量 bb 得到的矩阵。

证明

证明：

  1. 如果 ∣A∣≠0|A| \neq 0，则 AA 可逆
  2. 方程组的解为 x=A−1bx = A^{-1}b
  3. 利用伴随矩阵公式：A−1=1∣A∣adj(A)A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)
  4. 得到 xi=∣Ai∣∣A∣x_i = \frac{|A_i|}{|A|}

例子： 解方程组： {2x+y=5x+3y=7\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x + 3y = 7 \end{cases}

解：

  1. ∣A∣=∣2113∣=2×3−1×1=5|A| = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 2 \times 3 - 1 \times 1 = 5

  2. ∣A1∣=∣5173∣=5×3−1×7=8|A_1| = \begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 7 & 3 \end{vmatrix} = 5 \times 3 - 1 \times 7 = 8

  3. ∣A2∣=∣2517∣=2×7−5×1=9|A_2| = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 7 \end{vmatrix} = 2 \times 7 - 5 \times 1 = 9

  4. x=85=85x = \frac{8}{5} = \frac{8}{5}，y=95=95y = \frac{9}{5} = \frac{9}{5}

齐次线性方程组

齐次线性方程组有非零解的条件

齐次线性方程组 Ax=0Ax = 0 有非零解的充要条件是 ∣A∣=0|A| = 0。

证明

证明：

  1. 如果 ∣A∣≠0|A| \neq 0，则 AA 可逆，唯一解为 x=0x = 0
  2. 如果 ∣A∣=0|A| = 0，则 AA 不可逆，存在非零解

矩阵求逆

伴随矩阵法

伴随矩阵求逆

如果 ∣A∣≠0|A| \neq 0，则 AA 的逆矩阵为：

A−1=1∣A∣adj(A)A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)

其中 adj(A)\text{adj}(A) 是 AA 的伴随矩阵。

伴随矩阵：adj(A)=(Aji)\text{adj}(A) = (A_{ji})，其中 AjiA_{ji} 是元素 ajia_{ji} 的代数余子式。

例子： 求矩阵 A=(2113)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} 的逆矩阵。

解：

  1. ∣A∣=2×3−1×1=5|A| = 2 \times 3 - 1 \times 1 = 5

  2. adj(A)=(3−1−12)\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}

  3. A−1=15(3−1−12)=(35−15−1525)A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{5} & -\frac{1}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix}

分块矩阵求逆

分块矩阵求逆

对于分块矩阵 (ABCD)\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}，如果 AA 可逆，则：

(ABCD)−1=(A−1+A−1B(D−CA−1B)−1CA−1−A−1B(D−CA−1B)−1−(D−CA−1B)−1CA−1(D−CA−1B)−1)\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} + A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1} & -A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1} \\ -(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1} & (D-CA^{-1}B)^{-1} \end{pmatrix}

几何应用

面积和体积

二维：以向量 a⃗=(a1,a2)\vec{a} = (a_1, a_2) 和 b⃗=(b1,b2)\vec{b} = (b_1, b_2) 为邻边的平行四边形面积为：

S=∣∣a1a2b1b2∣∣S = \left| \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} \right|

三维：以向量 a⃗=(a1,a2,a3)\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)、b⃗=(b1,b2,b3)\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)、c⃗=(c1,c2,c3)\vec{c} = (c_1, c_2, c_3) 为邻边的平行六面体体积为：

V=∣∣a1a2a3b1b2b3c1c2c3∣∣V = \left| \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} \right|

例子： 计算以向量 (1,2)(1, 2) 和 (3,4)(3, 4) 为邻边的平行四边形面积。

解： S=∣∣1234∣∣=∣1×4−2×3∣=∣4−6∣=2S = \left| \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} \right| = |1 \times 4 - 2 \times 3| = |4 - 6| = 2

线性变换

雅可比行列式的几何意义

线性变换 T:Rn→RnT: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n 的雅可比行列式表示变换后体积的缩放比例。

体积变换公式

如果 TT 的矩阵为 AA，则：

vol(T(S))=∣det⁡(A)∣⋅vol(S)\text{vol}(T(S)) = |\det(A)| \cdot \text{vol}(S)

其中 SS 是 Rn\mathbb{R}^n 中的可测集。

例子： 线性变换 T(x,y)=(2x+y,x+3y)T(x, y) = (2x + y, x + 3y) 的雅可比行列式。

解： A=(2113)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}

det⁡(A)=2×3−1×1=5\det(A) = 2 \times 3 - 1 \times 1 = 5

所以变换将面积放大 5 倍。

特征值和特征向量

特征多项式

特征多项式

矩阵 AA 的特征多项式为：

p(λ)=det⁡(A−λI)p(\lambda) = \det(A - \lambda I)

特征值：特征多项式的根就是矩阵的特征值。

例子： 求矩阵 A=(2113)A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} 的特征值。

解： p(λ)=det⁡(A−λI)=∣2−λ113−λ∣p(\lambda) = \det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 3-\lambda \end{vmatrix}

=(2−λ)(3−λ)−1×1=λ2−5λ+5= (2-\lambda)(3-\lambda) - 1 \times 1 = \lambda^2 - 5\lambda + 5

解方程 λ2−5λ+5=0\lambda^2 - 5\lambda + 5 = 0 得： λ=5±52\lambda = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}

数值计算

条件数

条件数

矩阵 AA 的条件数定义为：

κ(A)=∥A∥⋅∥A−1∥\kappa(A) = \|A\| \cdot \|A^{-1}\|

其中 ∥A∥\|A\| 是矩阵的范数。

性质：如果 AA 可逆，则：

κ(A)=σmax⁡(A)σmin⁡(A)\kappa(A) = \frac{\sigma_{\max}(A)}{\sigma_{\min}(A)}

其中 σmax⁡(A)\sigma_{\max}(A) 和 σmin⁡(A)\sigma_{\min}(A) 分别是 AA 的最大和最小奇异值。

稳定性分析

条件数与解的稳定性

线性方程组 Ax=bAx = b 的解对系数扰动的敏感性与矩阵的条件数有关。

结论：条件数越大，方程组越不稳定。

练习题

练习 1

用克拉默法则解方程组： {3x+2y=82x+5y=12\begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ 2x + 5y = 12 \end{cases}

行列式线性方程组行列式应用克拉默法则

解题思路： 使用克拉默法则公式。

详细步骤：

  1. ∣A∣=∣3225∣=3×5−2×2=15−4=11|A| = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = 3 \times 5 - 2 \times 2 = 15 - 4 = 11

  2. ∣A1∣=∣82125∣=8×5−2×12=40−24=16|A_1| = \begin{vmatrix} 8 & 2 \\ 12 & 5 \end{vmatrix} = 8 \times 5 - 2 \times 12 = 40 - 24 = 16

  3. ∣A2∣=∣38212∣=3×12−8×2=36−16=20|A_2| = \begin{vmatrix} 3 & 8 \\ 2 & 12 \end{vmatrix} = 3 \times 12 - 8 \times 2 = 36 - 16 = 20

  4. x=1611x = \frac{16}{11}，y=2011y = \frac{20}{11}

最终答案：x=1611x = \frac{16}{11}，y=2011y = \frac{20}{11}。

练习 2

求矩阵 A=(1234)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} 的逆矩阵。

行列式线性方程组行列式应用伴随矩阵

解题思路： 使用伴随矩阵法。

详细步骤：

  1. ∣A∣=1×4−2×3=4−6=−2|A| = 1 \times 4 - 2 \times 3 = 4 - 6 = -2

  2. adj(A)=(4−2−31)\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}

  3. A−1=1−2(4−2−31)=(−2132−12)A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}

最终答案：A−1=(−2132−12)A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}。

练习 3

计算以向量 (1,1,1)(1, 1, 1)、(1,2,3)(1, 2, 3)、(1,4,9)(1, 4, 9) 为邻边的平行六面体体积。

行列式线性方程组行列式应用行列式计算

解题思路： 使用三阶行列式计算体积。

详细步骤：

  1. V=∣∣111123149∣∣V = \left| \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 4 & 9 \end{vmatrix} \right|

  2. =∣1∣2349∣−1∣1319∣+1∣1214∣∣= \left| 1 \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 9 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 9 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} \right|

  3. =∣1(18−12)−1(9−3)+1(4−2)∣=∣6−6+2∣=2= \left| 1(18-12) - 1(9-3) + 1(4-2) \right| = |6 - 6 + 2| = 2

最终答案：体积为 2。

练习 4

求矩阵 A=(1112)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} 的特征值。

行列式线性方程组行列式应用特征多项式

解题思路： 求特征多项式的根。

详细步骤：

  1. p(λ)=det⁡(A−λI)=∣1−λ112−λ∣p(\lambda) = \det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{vmatrix}

  2. =(1−λ)(2−λ)−1×1=λ2−3λ+1= (1-\lambda)(2-\lambda) - 1 \times 1 = \lambda^2 - 3\lambda + 1

  3. 解方程 λ2−3λ+1=0\lambda^2 - 3\lambda + 1 = 0 得： λ=3±52\lambda = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}

最终答案：特征值为 3+52\frac{3 + \sqrt{5}}{2} 和 3−52\frac{3 - \sqrt{5}}{2}。

练习 5

判断齐次方程组 {x+2y=02x+4y=0\begin{cases} x + 2y = 0 \\ 2x + 4y = 0 \end{cases} 是否有非零解。

行列式线性方程组行列式应用系数矩阵

解题思路： 计算系数矩阵的行列式。

详细步骤：

  1. ∣A∣=∣1224∣=1×4−2×2=4−4=0|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = 1 \times 4 - 2 \times 2 = 4 - 4 = 0

  2. 由于 ∣A∣=0|A| = 0，所以方程组有非零解。

最终答案：方程组有非零解。

总结

本文出现的符号

符号类型读音/说明在本文中的含义
det⁡(A)\det(A)数学符号determinant of A系数矩阵 AA 的行列式
Ax=bAx = b数学符号A x equals b线性方程组的矩阵形式
xi=det⁡(Ai)/det⁡(A)x_i = \det(A_i)/\det(A)数学符号x i equals A i over A克拉默法则，第 ii 个未知数的解
A−1A^{-1}数学符号A inverse矩阵 AA 的逆矩阵
adj(A)\text{adj}(A)数学符号adjugate of A矩阵 AA 的伴随矩阵
p(λ)=det⁡(A−λI)p(\lambda) = \det(A - \lambda I)数学符号characteristic polynomial矩阵 AA 的特征多项式
λ\lambda希腊字母Lambda（兰姆达）特征值，特征多项式的根
κ(A)\kappa(A)希腊字母Kappa（卡帕）矩阵 AA 的条件数

中英对照

中文术语英文术语音标说明
克拉默法则Cramer’s rule/ˈkrɑːməz ruːl/用行列式比值求解线性方程组
伴随矩阵adjugate matrix/ˈædʒʊɡeɪt ˈmeɪtrɪks/由代数余子式转置排列构成的矩阵 adj(A)\text{adj}(A)
逆矩阵inverse matrix/ˈɪnvɜːs ˈmeɪtrɪks/满足 AA−1=IAA^{-1}=I 的矩阵，A−1=adj(A)/det⁡(A)A^{-1}=\text{adj}(A)/\det(A)
齐次线性方程组homogeneous linear system/ˌhɒməˈdʒiːniəs ˈlɪniə ˈsɪstəm/常数项为零的方程组，det⁡(A)=0\det(A)=0 时有非零解
特征多项式characteristic polynomial/ˌkærəktəˈrɪstɪk ˌpɒliˈnəʊmiəl/p(λ)=det⁡(A−λI)p(\lambda)=\det(A-\lambda I)，其根为特征值
雅可比行列式Jacobian determinant/dʒəˈkəʊbiən dɪˈtɜːmɪnənt/线性变换的体积缩放比 det⁡(A)\det(A)
条件数condition number/kənˈdɪʃən ˈnʌmbə/衡量矩阵病态程度的量 κ(A)\kappa(A)
平行六面体parallelepiped/ˌpærəleˈlepɪpɪd/三维中三个向量张成的立体，体积为行列式绝对值
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行列式为零与退化
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