列空间、零空间与秩

一、回顾：变换会”压缩”空间

可逆变换保持空间满维。但不可逆变换会压扁空间——这时就需要问两个问题：

1. 输出向量都”落在”哪里？→ 列空间
2. 哪些向量被压到了原点？→ 零空间

二、列空间（Column Space）

定义

矩阵 $M$ 的列空间（column space） 是所有可能输出的集合：

几何意义：变换后的空间长什么样。

为什么叫”列空间”

回想：$M\mathbf{x} = x_1\cdot(\text{第1列}) + x_2\cdot(\text{第2列}) + \cdots$

输出永远是列的线性组合！所以：

例：M = [[1, 2], [2, 4]]（第 2 列 = 第 1 列 × 2）
列空间 = span{(1,2)} = 一条直线
⟹ 这个变换的所有输出都落在 y = 2x 这条直线上

判断 $\mathbf{b}$ 是否在列空间

方程 $M\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 有解 ⟺ $\mathbf{b} \in \text{Col}(M)$。

几何上：$\mathbf{b}$ 必须落在变换后的空间里，才能有某个 $\mathbf{x}$ 映射到它。

三、零空间（Null Space）

定义

矩阵 $M$ 的零空间（null space） 是所有被映射到原点的向量集合：

几何意义：变换过程中”被压扁到原点”的那些向量。

四、秩（Rank）与维数定理

秩的定义

秩（rank） = 列空间的维度 = 变换后空间的维度。

• 满秩（rank = 2 for 2×2）：变换没压扁，可逆
• 欠秩（rank = 1）：压成一条线
• rank = 0：压成一个点

维数定理（Rank-Nullity Theorem）

其中 $n$ 是输入空间的维度（矩阵列数）。

几何直觉：输入空间被分成两部分——“变成输出空间的部分”（列空间）和”被压到原点的部分”（零空间）。两者加起来正好是输入空间的全部维度。

例：M = [[1, 2], [2, 4]]（2×2，压成直线）
列空间：一条线 → 维度 1
零空间：Mx = 0 的解是 x₂ = -x₁/2（一条线）→ 维度 1
维数定理：1 + 1 = 2 ✓

与行列式、可逆性的统一

输入空间 (n 维)
 ├── 映射到列空间的部分（维度 = rank）
 └── 压到零空间的部分（维度 = n − rank）
        ↓
列空间 + 零空间 = 输入空间     （维数定理）

五、一个完整例子

1. 列空间：两列共线，$\text{Col}(M) = \text{span}\{(1,2)\}$（直线，维数 1）
2. 零空间：解 $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
   • 得 $x_1 + 2x_2 = 0$，即 $\mathbf{x} = t\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$（直线，维数 1）
3. 秩：rank = 1
4. 验证维数定理：1 + 1 = 2 ✓
5. 结论：$M$ 不可逆，方程 $M\mathbf{x} = \mathbf{b}$ 要么无解（$\mathbf{b}$ 不在列空间），要么无穷多解

总结

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中英对照